微练（十一）函数的对称性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数对称性判定与应用，通过从具体到抽象的题型设计，系统提炼对称关系转化、性质综合应用等方法，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关（单选）|8题|对称定义法（如f(a+x)=f(b-x)）、坐标变换法、导数性质法|从具体函数（指数、二次、绝对值）到抽象函数，构建“定义-性质-应用”链条| |基础过关（多选/填空）|5题|对称中心参数求解、周期与对称综合分析|结合单调性、奇偶性，深化对称与函数性质的关联| |素养提升（解答）|2题|对称中心充要条件证明、函数不等式恒成立|通过新定义问题，提升数学运算与逻辑推理能力|

微练(十一)　函数的对称性 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.(2026·聊城检测)函数y=2-x与y=-2x的图象(　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x轴对称 2.(2026·郑州模拟)已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象的对称中心的坐标为(　　) A.(-1,-3) B.(-1,3) C.(-1,-2) D.(-1,2) 3.若函数y=f(x)与函数y=2x+1-1的图象关于直线x=2对称,则f(4)的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是(　　) A.f(-1)<f(1)<f(2) B.f(1)<f(2)<f(-1) C.f(2)<f(-1)<f(1) D.f(-1)<f(2)<f(1) 5.已知函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,则a等于(　　) A.1 B.2 C.0 D.-2 6.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1,0)对称,则b=(　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 7.(2026·雅安诊断)已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),∀x∈R,f=f恒成立.当x2>x1≥1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0,f(0)=-f(2),则不等式f(x)(x2+2x+3)>0的解集为(　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(0,2) C.(-∞,0)∪(1,2) D.(0,1)∪(2,+∞) 8.已知定义在(0,1)上的函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.f(x)的图象关于x=对称 B.f(x)的图象关于对称 C.f(x)在(0,1)单调递增 D.f(x)有最小值 二、多项选择题 9.已知函数f(x)(x∈R)的导函数为f'(x),且满足f(x)-f(2-x)=0,则下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的图象关于点(1,1)对称 B.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 C.函数f'(x)的图象关于直线x=1对称 D.函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称 10.(2026·西安模拟)已知定义域为R的函数f(x)在(-1,0)上单调递增,满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)的图象关于点(2,0)对称,则以下结论正确的有(　　) A.f(x)=f(x+4) B.f(0)=f(-2) C.f(x)在(2,3)上单调递减 D.f(2 024)>f(2 025)>f(2 026) 11.(2026·漳州质检)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0,f(π)=0,且对任意的x,y∈R,有f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),则(　　) A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 D.2π是f(x)的一个周期 三、填空题 12.若函数f(x)=的图象关于点(1,2)对称,则a的值为　　　　.  13.设函数f(x)=x+的图象为C1,C1关于点A(2,-1)对称的图象为C2,C2对应的函数为g(x),则g(x)的解析式是　　　　.  14.设函数f(x)=若存在x∈R,使得f(1+x)=f(1-x)成立,则实数a的取值范围是　　　　.  素养提升 15.(2025·八省联考)已知曲线C:y=x3-,两条直线l1,l2均过坐标原点O,l1和C交于M,N两点,l2和C交于P,Q两点.若△OPM的面积为,则△MNQ的面积为　　　　.  16.对于定义在R上的函数f(x),可以证明“点A(m,n)是f(x)的图象的一个对称中心”的充要条件是“f(m-x)+f(m+x)=2n,x∈R”. (1)求函数f(x)=x3+3x2的图象的一个对称中心; (2)函数f(x)=ax3+(b-2)x2(a,b∈R)在R上是奇函数,求a,b满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否存在常数a,使得f(x)≥-x2+4x-2恒成立. 微练(十一)　函数的对称性 1.C　解析　令f(x)=2x,则-f(-x)=-2-x,因为y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称,所以y=2-x与y=-2x的图象关于原点对称. 2.C　解析　因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4,所以函数f(x)的图象关于点(-1,-2)对称.故选C. 3.A　解析　设g(x)=2x+1-1,因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(4)=g(0)=2-1=1. 4.D　解析　已知函数f(x)=-x2+bx+c,且f(x+1)是偶函数,则令g(x)=f(x+1)=-(x+1)2+b(x+1)+c=-x2+(b-2)x+c+b-1是偶函数,g(-x)=g(x),所以b=2,所以f(x)=-x2+2x+c,其对称轴为x=1,函数图象为抛物线开口朝下,函数f(x)=-x2+2x+c,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则f(-1),f(1),f(2)的大小关系是:f(-1)<f(2)<f(1),故选D. 5.B　解析　函数f(x)=2|x-a|的图象关于直线x=2对称,可得f(2+x)=f(2-x),即为2|2+x-a|=2|2-x-a|,即有|2+x-a|=|2-x-a|(*)恒成立,可得2+x-a=2-x-a或2+x-a+2-x-a=0,解得x=0或a=2,检验可得a=2时(*)式恒成立. 6.C　解析　因为函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)+f(2-x)=0,即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0,所以故选C. 7.A　解析　因为f=f,所以f(x)的图象关于直线x==1对称,所以f(0)=f(2).因为f(0)=-f(2),所以f(0)=f(2)=0.因为当x2>x1≥1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)>0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减.因为x2+2x+3=(x+1)2+2>0,所以f(x)(x2+2x+3)>0,等价于f(x)>0.当x≥1时,f(x)>0=f(2),结合单调性可知x>2;当x<1时,f(x)>0=f(0),结合单调性可知x<0.故f(x)(x2+2x+3)>0的解集为(-∞,0)∪(2,+∞). 8.A　解析　对于A,若x=∈(0,1)是有理数,且m,n(m<n)互质,则n-m,n也互质,即f==f=f,若x为无理数,则1-x也为无理数,则f(x)=f(1-x)=1,所以f(x)的图象关于x=对称,故A正确;对于B,f=1,f=1,不满足f(x)的图象关于对称,B错误;对于C,f=,f=,不满足f(x)在(0,1)单调递增,C错误;对于D,若x为有理数,则f(x)=,显然n→+∞时,函数无最小值,故D错误.故选A. 9.BD　解析　由f(x)-f(2-x)=0,可知函数f(x)的图象关于直线x=1对称.对f(x)-f(2-x)=0求导,得f'(x)+f'(2-x)=0,则函数f'(x)的图象关于点(1,0)对称,所以A,C错误,B,D正确. 10.ABC　解析　对A,f(x)的图象关于点(2,0)对称,则f(2+x)=-f(2-x),又f(1+x)=f(1-x)(说明f(x)的图象关于直线x=1对称),所以f(2+x)=-f(2-x)=-f[1+(1-x)]=-f[1-(1-x)]=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),A正确;对B,f(0)=f(1-1)=f(1+1)=f(2)=f(2-4)=f(-2),B正确;对C,f(x)在(-1,0)上单调递增,又f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)在(2,3)上单调递减,C正确;对D,由A知f(2 024)=f(0),f(2 026)=f(2),结合B知f(2 024)=f(2 026),D错,故选ABC. 11.ABC　解析　对于A,根据题意令x=y,则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),可得f(2x)+f(2x)=2f(2x)f(0),又f(x)不恒等于0,则f(0)=1,即A正确;对于B,令y=-x,可得f(2x)+f(-2x)=2f(0)f(2x)=2f(2x),所以f(2x)=f(-2x),即对任意的x∈R满足f(x)=f(-x),即f(x)是偶函数,所以B正确;对于C,令x+y=π,则由f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y),可得f(2π-2y)+f(2y)=2f(π)f(π-2y)=0,即f(x)满足f(2π-x)+f(x)=0,因此可得f(x)的图象关于点(π,0)中心对称,即C正确;对于D,由于f(x)是偶函数,所以满足f(x-2π)+f(x)=0,即f(x)+f(x+2π)=0,可得f(x-2π)=f(x+2π),即f(x)=f(x+4π),所以4π是f(x)的一个周期,即D错误. 12.2　解析　f(x)==a+的图象关于点(1,2)对称,则a=2. 13.g(x)=x-6+(x≠4)　解析　设P(x,y)为C2上任意一点,则P(x,y)关于点A(2,-1)的对称点为(4-x,-2-y),因为点(4-x,-2-y)在f(x)=x+的图象上,所以-2-y=4-x+,解得y=x-6+(x≠4),所以g(x)=x-6+(x≠4). 14.(1,+∞)　解析　在同一直角坐标系中画出函数y=x和y=-x2+2x的图象,如图所示.若存在x∈R,使得f(1+x)=f(1-x),则f(x)的图象上存在两个关于直线x=1对称的点(两点均不在直线x=1上),则a>1. 15.2　解析　因为函数y=x3-为奇函数,所以曲线C的图象关于原点对称,又两条直线l1和l2均过坐标原点O,则P,Q关于原点对称,M,N关于原点对称,则四边形PNQM为平行四边形.又S△OPM=,则S△MNQ=2. 16.解　(1)设A(m,n)为函数f(x)=x3+3x2的图象的一个对称中心,则f(m-x)+f(m+x)=2n对于x∈R恒成立,即(m-x)3+3(m-x)2+(m+x)3+3(m+x)2=2n对x∈R恒成立,所以(6m+6)x2+(2m3+6m2-2n)=0.由故函数f(x)的图象的一个对称中心为(-1,2). (2)由f(x)是奇函数,知a∈R,b=2.不存在常数a使f(x)≥-x2+4x-2对任意的x∈[-1,1]恒成立,理由如下:依题意,此时f(x)=ax3,令g(x)=-x2+4x-2,x∈[-1,1],所以g(x)∈[-7,1].若a=0,f(x)=0,不符合题意;若a>0,f(x)=ax3在区间[-1,1]上单调递增,f(x)min=-a,若存在a,则-a≥1,与a>0矛盾,不符合题意;若a<0,f(x)=ax3在区间[-1,1]上单调递减,f(x)min=a,若存在a,则a≥1,与a<0矛盾,不符合题意.综上可知,符合条件的a不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $