专题2-2 函数的单调性与最值（5重难点题型+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 该专项以函数单调性为核心，通过题型分类构建“概念-方法-应用”逻辑体系，整合定义法等多元判断策略与高考真题，培养数学思维与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性与单调区间|5题|定义法/图象法/直接法，复合函数“同增异减”|从单调性概念到复合函数，构建判断逻辑| |比较大小|5题|转化至同一单调区间|利用单调性实现函数值大小关系推理| |求最值|5题|单调区间端点求值结论|结合单调性与区间特征确定最值| |解不等式|6题|单调性转化不等式|运用单调性简化不等式求解| |求参数范围|5题|恒成立问题最值转化|通过单调性建立参数不等式关系|

重难点2-2 函数的单调性与最值 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是__________． 重难点题型1 函数的单调性与单调区间 1、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 2、复合函数单调性的判断方法 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 1．（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 4．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．的零点为3 C．在上为增函数 D．的定义域为 重难点题型2 利用单调性，比较大小 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减). 3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．设，，，，则比较，，的大小关系_______. 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型3 利用单调性，求函数的最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 5．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 重难点题型4 利用单调性，解不等式 1．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 6．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 重难点题型5 利用单调性，求参数范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 1．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 5．若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点2-2 函数的单调性与最值 1．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、画出具体函数图象 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 重难点题型1 函数的单调性与单调区间 1、函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 2、复合函数单调性的判断方法 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： ①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； ②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 1．（2026·河北沧州·一模）已知函数，则函数的单调递增区间为（   ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求函数的单调区间、对数型复合函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导后可得函数的单调区间，再求出函数定义域及其奇偶性，设，则，求出时的单调性即可得解. 【详解】，则当或时，，单调递减区间为， 当时，，单调递增， 对，有且， 则， 又，故为偶函数，故只需分析时的单调性， 令，则， 当时，，当时，，，故， 在上单调递减，则单调递增； 当时，，，故， 在上单调递减，上单调递增， 则当时，单调递减，时，单调递增； 故当时，单调递增区间为、， 单调递减区间为， 由偶函数性质可知，当时，单调递增区间为， 故函数的单调递增区间为，，. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求函数的单调区间、判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数单调性来确定单调减区间即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 是减函数，根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为． 故选：D. 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求函数的单调区间、分段函数的单调性 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 4．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A． B．的零点为3 C．在上为增函数 D．的定义域为 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、求函数的零点 【分析】由函数性质依次判断各选项可得出结果. 【详解】,可知函数的零点为3，可知A,B正确； 中，由，解得：， 故函数的定义域为，且函数在为增函数，故C错误，D正确. 故选：C 重难点题型2 利用单调性，比较大小 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减). 3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 1．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 2．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.6 【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【详解】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由，故，即， 综上，. 3．（2026·湖北·三模）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 4．设，，，，则比较，，的大小关系_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】分别判断函数在每段区间上的单调性，结合函数每一段上的值域可得到在上单调递增；利用指数函数和对数函数单调性，结合临界值可判断出的大小关系，利用单调性得到所求函数值的大小关系. 【详解】当时，，且在上单调递增 当时，，且在上单调递增 为上的增函数 又 即     本题正确结果： 【点睛】本题考查利用函数单调性比较函数值大小的问题，关键是能够利用分段函数单调性的判断方法得到函数的单调性，同时利用指数函数和对数函数的单调性，采用临界值的方式比较出自变量的大小关系. 5．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 重难点题型3 利用单调性，求函数的最值 利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： 1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． 2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． 4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． 5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 2．（2026·安徽·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据题意分、和三种情况讨论，结合函数单调性求值域即可. 【详解】因为函数， 当时，则，可得， 即，则，可得， 因为在上单调递增，所以； 当时，则，，不可能成立，不合题意； 当时，则， 设，对任意，且， 则，且，可得，即， 可知在上单调递增，则，即； 综上所述：的取值范围是. 3．（2026·湖北·二模）已知函数，则该函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【详解】， 令则，则原函数的值域等价于函数的值域， 时，恒成立，即单调递增， 当时，，时，， 所以值域为. 4．（2026·四川绵阳·模拟预测）函数的定义域和值域都为，则实数a的值为______. 【答案】/ 【难度】0.43 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、用导数判断或证明已知函数的单调性、已知函数最值求参数 【详解】由题意可知，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减，又， 所以要使函数的定义域和值域都为， 只需，解得：. 5．（25-26高三上·北京东城·阶段检测）已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值 【分析】利用一次函数和二次函数在各自区间，先求值域，再取并集即可；利用分类讨论，来分析一次函数和二次函数在各自区间的值域，再结合题意作出判断即可. 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 故答案为：， 重难点题型4 利用单调性，解不等式 1．（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 2．（2026·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.45 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】由奇函数的定义可知为奇函数，结合导数可判断单调递增，进而原问题化为恒成立，即恒成立，令，借助导数可得最大值进而即得. 【详解】，， 故，单调递增. 又，所以恒成立，等价于，等价于恒成立，即恒成立. 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当时，取得最大值， 故 3．（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】结合函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式 【详解】函数关于对称，且在上单调递增， 所以函数关于对称，且在上单调递增， 若，则，得. 5．（2026·江苏无锡·三模）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.53 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 6．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先判断函数为奇函数且为上的增函数，据此可求函数不等式的解. 【详解】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 重难点题型5 利用单调性，求参数范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 1．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 2．（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】根据函数的单调性求参数值、与二次函数相关的复合函数问题、判断指数型复合函数的单调性 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 3．（2026·河北保定·二模）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【详解】当时，，求导得， 在上单调递增； 当时，，函数单调递增，则， 当时，，当时，， 则，解得， ，即． 4．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 5．若函数，在上是增函数，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性列出不等式求解即得. 【详解】由函数在R上是增函数，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $