2027届高考数学一轮复习----5微专题强化七 构造法求数列通项公式

**基本信息** 以构造法为核心，系统覆盖不同递推类型的转化技巧，通过题型变式构建从递推关系到新数列的逻辑链条，培养数学推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础型递推|1,7题|aₙ₊₁=paₙ+q构造等比数列|通过加常数转化为等比数列定义式| |分式递推|2,4题|取倒数构造等差数列|倒数变形后符合等差数列定义| |含指数项递推|5题|同除指数构造等差数列|两边除2ⁿ转化为等差数列| |二阶递推|6题|构造{aₙ+aₙ₋₁}等比数列|递推式变形为新数列等比关系| |综合应用|10题|构造差式等比数列|通过代数变形建立新数列递推关系|

微练(四十八)　构造法求数列通项公式 　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.数列{an}中,an+1=2an+1,a1=1,则a100=(　　) A.2100+1 B.2101 C.2100-1 D.2100 2.(2026·重庆模拟)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N*),则(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 3.在数列{an}中,若a1=3,an+1=,则an=(　　) A.2n-1 B.3n-1 C. D. 4.已知数列{an}满足a2=,an-an+1=3anan+1,则数列的通项公式an=(　　) A. B. C.3n-2 D.3n+2 5.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+2n,n∈N*,则a4=(　　) A.64 B.56 C.32 D.24 6.已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10=(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 二、填空题 7.已知首项为1的数列{an}满足an+1=5an-3,则a4=　　　　.  8.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+an=3×2n,则S10=　　　　.  9.已知数列{an}的前n项和为Sn,其中a1=1,an+1=Sn+2n+1,则an=　　　　.  三、解答题 10.(2025·八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=. (1)证明:数列为等比数列; (2)求{an}的通项公式. 微练(四十八)　构造法求数列通项公式 1.C　解析　数列{an}中,an+1=2an+1,故an+1+1=2(an+1),a1+1=2≠0,所以{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an+1=2n,即an=2n-1,故a100=2100-1.故选C. 2.D　解析　易知an≠0,an+1=,即==4+,可得-=4,又a1=1,所以数列是首项为1,公差为4的等差数列,所以=1+4(n-1)=4n-3,即an=.故选D. 3.D　解析　由a1=3,an+1=知an>0,对an+1=两边取以3为底的对数得,log3an+1=2log3an,则数列{log3an}是以log3a1=1为首项,2为公比的等比数列,则log3an=1·2n-1=2n-1,即an=.故选D. 4.A　解析　由题得a1-a2=3a1a2,即a1-=a1,解得a1=1.由题意知an≠0,由an-an+1=3anan+1得-=3,又=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,则an=.故选A. 5.C　解析　由an+1=2an+2n得-=,而=,所以数列,公差为的等差数列,所以=+(n-1)×=,所以an=n·2n-1,所以a4=4×=32.故选C. 6.C　解析　由an=3an-1+4an-2(n≥3),得an+an-1=4(an-1+an-2),即=4(n≥3),又a1+a2=4,所以数列{an+an+1}是等比数列,公比为4,首项为4,所以a9+a10=49.故选C. 7.32　解析　由an+1=5an-3,得an+1-=5,因为a1=1,所以a1-=,进而an-≠0,所以数列,公比为5的等比数列,所以an-=×5n-1,即an=+×5n-1.则a4=32. 8.2 046　解析　解法一:因为an+1+an=3×2n,所以a2+a1=3×2,a4+a3=3×23,a6+a5=3×25,a8+a7=3×27,a10+a9=3×29,则S10=3×(2+23+25+27+29)=3×=2 046. 解法二:由an+1+an=3×2n,得an+1-2n+1=-(an-2n).又a1-21=-1,所以{an-2n}是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以an-2n=(-1)n,即an=2n+(-1)n,所以S10=21+22+…+29+210+(-1)+(-1)2+…+(-1)9+(-1)10==211-2=2 046. 9.3×2n-1-2　解析　因为an+1=Sn+2n+1,所以an+1=Sn+1-Sn=Sn+2n+1,因为Sn+1=2Sn+2n+1,设Sn+1+λ×2(n+1)+u=2(Sn+λ×2n+u),Sn+1=2Sn+2λn+u-2λ,所以所以Sn+1+2(n+1)+3=2(Sn+2n+3),因为S1+2×1+3=a1+2+3=6≠0,所以数列{Sn+2n+3}为等比数列.首项为6,公比为2.所以Sn+2n+3=6×2n-1=3×2n,所以Sn=3×2n-2n-3,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3×2n-2n-3-3×2n-1+2(n-1)+3=3×2n-1-2,当n=1时,a1=1符合上式,所以an=3×2n-1-2. 10.解　(1)证明:因为an+1=,a1=3>0,所以an>0,所以==+,所以1-=-=,1-=≠0,所以,公比为的等比数列. (2)由(1)知,1-=,an==. 学科网（北京）股份有限公司 $