2027届高考数学一轮复习专项训练----专题1-5 二次函数与一元二次方程、不等式（5重难点题型+高考真题）

**基本信息** 以“三个二次”内在联系为核心，通过5类重难点题型系统构建“解法-关系-应用”方法体系，融合高考真题与模拟题，强化数学思维与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不含参数不等式解法|4题|求根标轴+图象法|从方程根到不等式解集，构建数形结合思维| |含参数不等式解法|5题|分类讨论+数形结合|参数影响下解集动态分析，培养推理意识| |三个二次关系|4题|解集反推系数+关系转化|方程、函数、不等式概念互联，深化数学语言表达| |恒成立问题|4题|判别式/分离参数/最值法|从函数性质到参数范围，提升数学应用意识| |能成立问题|8题|命题真假转化+参数范围|存在性与恒成立对比，发展批判性思维|

专题1-5 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 3．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 重难点题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集 1．（2026·海南三亚·一模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 1．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 5．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 重难点题型3 三个两次间的关系 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 1．（24-25高三上·河南许昌·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025·河南许昌·三模）已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 4．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 重难点题型4 一元二次不等式恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 重难点题型5 一元二次不等式能成立问题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 7．若，使成立，则实数的取值范围是______________． 8．（2025·河北石家庄·二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-5 二次函数与一元二次方程、不等式 1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 3．（2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 重难点题型1 不含参数的一元二次不等式的解法 解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集 1．（2026·海南三亚·一模）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由，， 所以. 2．（2026·陕西咸阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】考查二次根式有意义的条件 ，要使二次根式有意义，即，然后求解这个不等式即可得到的取值范围. 【详解】，即，解得. 3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.9 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由题意得， 再根据交集的概念得. 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、求含sinx(型)函数的值域和最值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求M与N集合，再根据集合运算法则及正弦函数的值域即可求解. 【详解】集合，，所以，. 重难点题型2 含有参数的一元二次不等式的解法 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 1．（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 2．已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案. 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或． 故选：． 3．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次方程求出集合，再由得到，即可求出，再得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即，解得或， 所以或，因为且， 若时，若时，不符合题意，所以， 则或，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D 4．（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 5．（2025·上海·模拟预测） 的解集为 ，则 的解集为 ______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由不等式 的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式 的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 重难点题型3 三个两次间的关系 1、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为． 已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为． 3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式． 由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推． 4、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足； 7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足． 1．（24-25高三上·河南许昌·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、基本不等式求和的最小值 【分析】根据一元二次不等式解集与对应方程的根的关系可得b＝3a，c＝－4a，再由基本不等式计算即可得出结论． 【详解】由的解集为可知， 1和是方程的两个实数根，且a＜0， 由根与系数的关系可得，即可得，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立； 因此． 故选：D． 2．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【解析】本题首先可以令二次函数，则开口向上且对称轴为，然后结合题意与二次函数对称性得出，最后通过计算即可得出结果. 【详解】令二次函数， 则二次函数开口向上，且对称轴为， 根据二次函数对称性可知： 若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足， 即，解得， 故选：D. 【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数，主要考查二次函数的对称性的灵活应用，考查推理能力与计算能力，是简单题. 3．（2025·河南许昌·三模）已知区间是关于x的一元二次不等式的解集，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由题知，，，则可得，则，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值. 【详解】由题知是关于x的一元二次方程的两个不同的实数根， 则有，，，所以，且是两个不同的正数， 则有 ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是. 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 4．（2025·云南昆明·模拟预测）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 重难点题型4 一元二次不等式恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、条件等式求最值 【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得. 【详解】因为，且满足，， 即，则，即，当且仅当时，等号成立， 又因为恒成立，所以，即， 即，解得. 3．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为不等式恒成立， 所以. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以，所以，所以， 所以实数m的取值范围是． 4．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、含有一个量词的命题的否定的应用、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为，转化为求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解. 【详解】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以， 在区间上单调递增，当时，函数取得最大值，则，又⫋， 所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：B 重难点题型5 一元二次不等式能成立问题 1．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题“，使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】题意说明：“，恒成立”是真命题，然后对分类讨论可得. 【详解】命题“，使得不等式成立”为假命题，则命题：“，恒成立”是真命题， 时，不等式为恒成立，满足题意， 时，则，解得， 综上，的范围是. 2．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题可得，恒成立，由即可求出. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 4．（2025·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，命题“”的否定， 即命题“”真命题， 根据二次函数的性质可得，应有， 解得. 故选：C. 5．（2026·天津河东·二模）已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据的范围分类讨论，结合对于任意，都有成立，解不等式即可求解． 【详解】因为是一个区间，所以， 二次函数的对称轴为直线， ①当时，即，函数在上单调递增， 所以， 要使对于任意，都有成立，则， 所以，解得； ②当时，即时， 函数在处取得最小值，， 则，不等式无解； ③当时，即，函数在上单调递减， 所以， 则，不等式无解； 综上所述，的取值范围是． 6．（25-26高三上·辽宁·开学考试）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 7．若，使成立，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论. 【详解】由可得，， 因为，所以，根据题意，即可， 设，易知在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 故答案为： 8．（2025·河北石家庄·二模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【详解】由题意可知，不等式在上有解， ∴， ∴实数的取值范围为， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $