精品解析：贵州黔南州2025-2026学年度第二学期末学科素养练习高二数学试题

2025—2026学年度第二学期学科素养练习 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以，又，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】通过化简复数为代数形式后求模. 【详解】对的分子分母同乘分母的共轭复数，得：，  由虚数单位的性质，代入得：  ， 根据复数模的计算公式：对复数，，代入得： . 3. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以，解得. 4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件列方程求出，再代入向量夹角公式计算夹角即可. 【详解】由，可得：，即， 其中，，代入，得：， 计算化简得： ， 设与的夹角为，，由向量夹角公式： ， 代入已知值计算得：，结合，得. 5. 在中，角的对边分别为．若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，解得， 又因为，，所以或. 6. 由组成没有重复数字的四位偶数的个数是（    ） A. 84 B. 60 C. 48 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】按照个位是0和不是0分类求解． 【详解】个位数是0的有个，个位数不是0的有个，共有个． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将所求式换元成关于的三角式，利用诱导公式、二倍角余弦公式计算即可. 【详解】令，则，， 将代入所求角， 则. 8. 已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】先结合偶函数性质和已知等式推导函数周期，将待求自变量转化到已知解析式的区间内，代入计算即可得到结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数，故对任意，均有， 已知，将替换为，可得， 因此函数的周期， 由偶函数性质得，对2026做带余运算：， 因此， 因为，代入已知解析式得：，故. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式一共有5项 B. 展开式的二项式系数和为32 C. 展开式中含项的系数为80 D. 展开式所有项的系数和为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据展开式项数、二项式系数和、指定项系数、所有项系数和的计算，结合通项公式和赋值法即可判断. 【详解】选项A：二项式的展开式共有项，本题，故展开式共项，A错误； 选项B：二项式系数和为，代入得，B正确； 选项C：展开式通项为，令，得项的系数为，不是，C错误； 选项D：求所有项系数和可令，代入原式得，D正确. 10. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有2个红球、1个白球；乙盒中有1个红球、2个白球.所有小球除颜色外，大小形状完全相同.现从甲、乙两个盒子中不放回地任取一球，假设选择甲盒或选择乙盒是等可能的.记事件“从甲盒中取球”，事件“取到红球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用条件概率和全概率公式即可. 【详解】对于选项A，因为选择甲盒或选择乙盒是等可能的，所以，，故A正确； 对于选项B，因为，，所以. ，所以， 所以事件A与事件B不独立，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D正确. 11. 已知函数，，则（ ） A. 函数的图象的对称中心为 B. 若，则存在两个极值点 C. 若有三个不同的零点，则a的取值范围是 D. 若，且，是的两个极值点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用解析式判断是否成立即可，B对函数求导，判断导数是否存在两个变号零点即可；C问题化为有三个不同的根，进而有直线与函数的图象有三个交点，利用导数研究函数的性质确定参数范围判断；D由题设得是方程的两根，应用韦达定理判断等量关系是否成立. 【详解】A：对任意，有， 因此函数的图象的对称中心为，故A正确， B：由题设，若，则有两个不同的实数根， 显然是导数的两个变号零点，所以函数存在两个极值点，故B正确， C：令，得，显然不是方程的解， 所以可分离参数得，设， 求导得，令，解得， 当时，，在上单调递增，且时，时， 当时，，在上单调递增，且时， 当时，，在上单调递减，且时， 函数在处取得极大值， 要使有三个不同的零点，即直线与函数的图象有三个交点，必须满足，故C错误， D：当时，，， 是的两个极值点，即是方程的两根，所以，则， 所以，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等差数列，为的前n项和，若，，则______. 【答案】49 【解析】 【分析】利用等差数列的通项和前项和公式即可. 【详解】设数列公差为， 所以，即，得. 因为，即，得. 所以. 13. 已知随机变量，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线关于均值对称的性质，结合已知概率计算目标区间的概率. 【详解】对于正态分布，正态曲线关于直线对称，已知，因此正态曲线对称轴为, 因为和关于对称（），根据对称性可得：, 所以. 14. 如图1，在矩形ABCD中，M是CD边上的中点，且，.将沿着AM翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为______，此时三棱锥的外接球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知有，再由平面平面时体积最大，即可求体积最大值，构建合适的空间直角坐标系，设外接球的球心为，半径为，结合的坐标求参数值，即可得半径，进而求球体的表面积. 【详解】在原矩形中，，是中点， 因此，则，， 满足，故，翻折后仍成立， 当平面平面时，四棱锥的高最大，体积最大， 是等腰直角三角形，到的距离（即四棱锥的高）， 底面是梯形，面积， 因此体积最大值， 如图建立坐标系，则，，，， 设外接球的球心为，半径为，则，解得，，，， 因此外接球表面积. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用数列前n项和与通项的递推关系求出数列通项的递推式，利用等比数列定义即可求出通项； (2)利用错位相减法即可求得数列的前n项和. 【小问1详解】 由题意得，当时，， 两式作差得：，即， 当时，，符合上述递推关系， 因此是首项为1、公比为2的等比数列，通项公式为； 【小问2详解】 由(1)得，故， 则 ① ， 由①： ②， ①-②得： ， 因为， 代入得：  ， 整理得. 16. 某中学举办校园象棋双人对抗赛，随机抽取5名参赛选手，得到每周象棋训练时长x（单位：小时）与单人初赛得分y（单位：分）数据如下： 每周训练时长x/小时 1 1.5 2 3 初赛得分y/分 5 8 9 （1）从这5名参赛选手中随机抽取2人，记初赛得分高于分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望； （2）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测当时的初赛得分（最终计算结果四舍五入取整数）． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望 （2）经验回归方程为，当时预测初赛得分为分 【解析】 【分析】（1）先确定抽取人数，判定为超几何分布，求出相关概率并写出分布列，求出期望； （2）计算平均值及，，进而代入公式求出，，写出回归直线方程，最后代入预测得分值． 【小问1详解】 选手得分：，高于分2人，低于分3人，随机变量的取值为，服从超几何分布， ； ； ； 分布列为： X 0 1 2 P 数学期望：． 【小问2详解】 由题意得：， ， ， ， ， 故回归方程为， 时，(分)． 17. 如图，已知在直四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，其中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为四棱柱是直四棱柱， 所以平面，平面，则， 又因为，，，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）应用直四棱柱得出，进而应用余弦定理证明，即可证明平面； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线BD与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示的坐标系， 所以，，， 设平面的法向量为，可得， 即，令，则，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数在定义域上有三个零点，求a的取值范围； （3）若函数，求证：当时，存在（其中m，n为负整数），使得函数恒成立，且的最大值为. 【答案】（1） （2） （3），则， 令，则， 令，则， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 又， ， 所以存在，使得，此时， 当时，，此时，所以在上单调递减， 当时，，此时，所以在上单调递增， 所以当时，存在，使得函数恒成立， 且时的最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得函数的图象在点处的切线方程； （2）求导判断的单调性，求得极值，进而利用与的图象有三个交点，可求得a的取值范围； （3）求导，令，利用二次导数，可判断在上单调递增，结合，，运算可证得结论. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，又， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知， 令，得，解得或， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，， 当，，当，， 因为函数在定义域上有三个零点， 即与的图象有三个交点，所以， 所以a的取值范围是； 【小问3详解】 略. 19. 著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）可知，所以，所以右焦点为， 设过点的直线方程为， 将直线代入椭圆方程得， 整理得，设， 由韦达定理得， 因为直线与椭圆有两个交点，所以，解得. ； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用已知求得的关系式，进而求解即可； （2）（i）求得右焦点为，设过点的直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得，进而计算可证得结论.（ⅱ）利用，结合根与系数的关系可得，进而利用换元法与基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅱ） ， 令，所以， 所以， 当且仅当，即（此时）取等号. 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期学科素养练习 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 3. 已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 25 4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为．若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 由组成没有重复数字的四位偶数的个数是（    ） A. 84 B. 60 C. 48 D. 42 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且.当时，，则（ ） A. 8 B. 2 C. 1 D. 0 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分） 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式一共有5项 B. 展开式的二项式系数和为32 C. 展开式中含项的系数为80 D. 展开式所有项的系数和为 10. 有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒中有2个红球、1个白球；乙盒中有1个红球、2个白球.所有小球除颜色外，大小形状完全相同.现从甲、乙两个盒子中不放回地任取一球，假设选择甲盒或选择乙盒是等可能的.记事件“从甲盒中取球”，事件“取到红球”，则（ ） A. B. 事件A与事件B相互独立 C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. 函数的图象的对称中心为 B. 若，则存在两个极值点 C. 若有三个不同的零点，则a的取值范围是 D. 若，且，是的两个极值点，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列为等差数列，为的前n项和，若，，则______. 13. 已知随机变量，且，则的值为______. 14. 如图1，在矩形ABCD中，M是CD边上的中点，且，.将沿着AM翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，则四棱锥体积的最大值为______，此时三棱锥的外接球的表面积为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前n项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 某中学举办校园象棋双人对抗赛，随机抽取5名参赛选手，得到每周象棋训练时长x（单位：小时）与单人初赛得分y（单位：分）数据如下： 每周训练时长x/小时 1 1.5 2 3 初赛得分y/分 5 8 9 （1）从这5名参赛选手中随机抽取2人，记初赛得分高于分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列及数学期望； （2）已知y与x具有线性相关关系，求y关于x的经验回归方程，并预测当时的初赛得分（最终计算结果四舍五入取整数）． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 17. 如图，已知在直四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，其中，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数在定义域上有三个零点，求a的取值范围； （3）若函数，求证：当时，存在（其中m，n为负整数），使得函数恒成立，且的最大值为. 19. 著名的古希腊数学家阿基米德首次利用“逼近法”得到了椭圆的面积公式为：（其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长）.已知椭圆C：的面积为，左、右焦点分别为，，A是椭圆C上的动点，且点A到点，的距离之和为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）设椭圆C的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两点，设直线和的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ⅱ）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $