精品解析：贵州省黔南州2024-2025学年高二下学期期末质量监测数学试题

黔南州2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数，再根据复数模的定义求解即可． 【详解】因为， 所以， 则． 故选：B． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得集合，解指数不等式可得集合，然后求交集即可. 【详解】由题意可知，集合，. 故选：C. 3. 贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（ ） A. 20种 B. 18种 C. 16种 D. 14种 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，利用组合数计算. 【详解】因为镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，故可分为两种情况讨论； 当镇远古镇和西江千户苗寨只去一处时，则不同的选择方案为； 当镇远古镇和西江千户苗寨一处也不去时，则不同的选择方案为； 综上：满足题意的不同选择方案有（种）. 故选：C. 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，代入计算. 【详解】，则，所以. 故选：A. 5. 网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售额如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 51 63 75 87 99 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是（ ） A. 84万元 B. 98万元 C. 104万元 D. 111万元 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得样本中心，从而求得回归直线方程，代入数据，可得答案. 【详解】依题意，. 又线性回归方程为必过点，所以，解得， 所以，2026年的年份代号为6，所以当时，， 所以根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是111万元. 故选：D. 6. 已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 7. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为5，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上一点到其准线的距离为5，求出抛物线的方程，设直线：，联立抛物线方程求出，利用分割的思想，转化为同底的两个三角形面积之和即可求解． 【详解】由抛物线：上一点到其准线的距离为5， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，则焦点． 因为，则直线：．设点，． 由消去得， 则，．又， 所以． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 若随机变量，随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据正态分布的性质计算；对B，根据相关系数概念理解；对C，利用数学期望的公式计算；对D，根据二项分布的方差公式计算. 【详解】对于A：随机变量，由知，A正确； 对于B：相关系数越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，故B错误. 对于C：若随机变量满足，，则，故C正确； 对于D：因为随机变量， 故， ，故D正确. 故选：ACD 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. D. 函数在区间上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，代入图象中的已知点，根据正弦值，可得其正误；对于C，代入图象中另一点，结合函数周期，可得其正误；对于B，根据函数解析式，由正弦函数的对称性，可得其正误；对于D，利用整体思想，根据正弦函数的单调性，可得其正误. 【详解】由图可知，，，所以，故A错误； 由图可知，，所以，.由图知，解得，故，故C正确； 由，得的对称轴为，故B正确； 由，得的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为的极值点 B. 存在，使得在有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】由时，通过对的符号的分析得左右两侧的单调性可判断A；利用导数分和两种情况研究在上的单调性，进而得到在上的零点情况即可判断B；求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；通过将问题可转化为是否存在使成立求解即可判断D. 【详解】，所以. 对于A：令，解得. 当时，由得，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点； 当时，由得，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以为的极大值点； 所以当时，为的极值点，故A正确； 对于B：因为时，， 当时，在上单调递增，此时在内没有零点； 由选项A知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上取得极小值也是最小值，即. 因为在有且仅有一个零点，故， 解得，故B正确； 对于C：设切点，则切线斜率，故切线方程为，过点，则，所以，所以有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 对于D：当时，，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 的展开式中的系数是________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理写出通项，根据题意相应赋值，可得答案. 【详解】由的展开式的通项为， 则的展开式中的系数是. 故答案为：. 12. 2024年开始，贵州省实行新高考“3+1+2”选科模式，它是指考生需要参加三门全国统一高考科目，即语文、数学、外语.此外，考生还需在物理和历史两门科目中选择一门作为首选科目，以及在思想政治、地理、化学、生物学四门科目中选择两门作为再选科目；赋予了学生充分的自由选择权.已知黔南州某三所中学分别有，，的学生选了物理，这三所中学的学生人数之比为，现从这三所中学随机选取一名学生，则这名学生选了物理的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全概率公式，可得答案. 【详解】由全概率公式可知，所求概率为. 故答案为：. 13. 已知函数（且），，若函数与的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意建立方程并化简，根据方程与函数的关系，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【详解】令，由方程两边同时取对数，可得，即， 该方程有两个不同的根.令，则. 当时，，单调递增，当，，单调递减， 且，，，，，. 易知，当时，该方程有两个不同的根，即函数有两个不同的零点， 则函数与的图象有两个不同的交点，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列第项与前项和之间的关系，分情况并检验，可得答案； （2）利用裂项相消的求和方法，可得答案. 【小问1详解】 当时，； 当时，. 验证，当时，，符合， 综上，数列的通项公式为. 【小问2详解】 令. . 15. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，，，， ，，. 因为，， 所以，. 因为，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明，，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）由（1）得是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则，代入计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得是平面的一个法向量，. 设直线与平面所成的角为， 则， 故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 16. 端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分.在这个节日中，粽子备受喜爱.粽子是用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵.由于地域饮食文化差异，南方与北方居民对粽子口味偏好（甜粽/咸粽）存在显著差异.为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽样的方法，从全国代表性的城市选取居民300人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好（甜粽/咸粽），并记录其居住地域（南方/北方）.将调查数据整理如下表： 甜粽 咸粽 合计 南方居民 90 120 北方居民 120 合计 150 300 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”是否有关； （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取3人，记为其中偏好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求的分布列、数学期望和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有关 （2）分布列见解析，， 【解析】 【分析】（1）根据题目信息完成表格，计算，判断“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”是否有关； （2）根据古典概型概率公式，求出南方居民偏好甜粽的概率，随机变量服从二项分布，根据二项分布性质，写出分布列和期望、方差. 【小问1详解】 列联表，如图所示： 甜粽 咸粽 合计 南方居民 90 30 120 北方居民 60 120 180 合计 150 150 300 零假设为：“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”无关， 则. 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”有关. 【小问2详解】 由题意得南方居民偏好甜粽的概率为. 由已知得，， ，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以，. 17. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. （1）求双曲线的标准方程. （2）若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 【答案】（1） （2）（i）是定值，1；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题设条件求出的值，即得双曲线方程； （2）（i）设，可得，，利用和角公式即可推得；（ii）直线与双曲线联立，消元后得韦达定理，求出和的表达式，利用（i）已得建立方程，求解即得. 【小问1详解】 根据题意，得，， 解得，， 则双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）判断：为定值. 如图设， 则， 所以 所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知解得，且， 设，则 所以. 由（i）得，即，即， 所以，解得，可得. 因为两点均在第一象限， 所以，故， 综上，当时，. 18. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程的近似解为止.已知函数，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到. （1）求的单调区间； （2）设初始点为，按上述算法，求方程的一个近似根；（精确到0.01） （3）若对任意，恒成立，求整数的最大值. （参考值：） 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2）3.39 （3）3 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间. （2）求出在点处的切线方程，并求出该切线与轴交点横坐标即可. （3）求出在处切线方程，进而求得，再构造函数并求出最小值即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 设在点处的切线为：， 令，则， 由，则， 所以方程的一个近似根为3.39. 【小问3详解】 在处切线方程为， 令，得，， 不等式，令，求导得， 由（1）知，， 则存在，使得，即， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，， 则，整数的最大值为3， 所以整数的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黔南州2024-2025学年度第二学期期末质量监测 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上. 3.选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 贵州是中国旅游资源极为丰富的省份，目前集观光、度假和深度文化体验为一体的新型和谐旅游目的地正在悄然形成.世界旅游组织称赞贵州是“生态之州、文化之州、歌舞之州、美酒之州”.其中黄果树瀑布、梵净山、荔波小七孔、织金洞、镇远古镇、西江千户苗寨都是风景宜人的旅游胜地，小王同学计划在高考结束后从上面6个景点中选择3个游玩，其中镇远古镇和西江千户苗寨最多只去一处，若不考虑游玩顺序，则不同的选择方案有（ ） A. 20种 B. 18种 C. 16种 D. 14种 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 网上直播带货已成为电商主流模式之一，已知某一家网上官方旗舰店近五年“五一”黄金周期间的销售额如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代号 1 2 3 4 5 销售额（万元） 51 63 75 87 99 若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店2026年“五一”黄金周的销售额是（ ） A. 84万元 B. 98万元 C. 104万元 D. 111万元 6. 已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，若抛物线上一点到其准线的距离为5，过点且斜率为2的直线与抛物线交于，两点，则的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，，则 B. 若两个变量线性相关，则相关系数越大，线性相关程度越强 C. 若随机变量的分布列为，则 D. 若随机变量，随机变量，则 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是函数的一条对称轴 C. D. 函数在区间上单调递增 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，为的极值点 B. 存在，使得在有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 的展开式中的系数是________.（用数字作答） 12. 2024年开始，贵州省实行新高考“3+1+2”选科模式，它是指考生需要参加三门全国统一高考科目，即语文、数学、外语.此外，考生还需在物理和历史两门科目中选择一门作为首选科目，以及在思想政治、地理、化学、生物学四门科目中选择两门作为再选科目；赋予了学生充分的自由选择权.已知黔南州某三所中学分别有，，的学生选了物理，这三所中学的学生人数之比为，现从这三所中学随机选取一名学生，则这名学生选了物理的概率为________. 13. 已知函数（且），，若函数与的图象有两个不同的交点，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 15. 如图，在长方体中，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 端午节是中国传统节日之一，也是中华民族节日文化的重要组成部分.在这个节日中，粽子备受喜爱.粽子是用糯米和馅料包裹在竹叶中蒸煮成的食品，有着浓郁的文化内涵.由于地域饮食文化差异，南方与北方居民对粽子口味偏好（甜粽/咸粽）存在显著差异.为科学验证这种差异是否具有统计显著性，某研究机构用分层抽样的方法，从全国代表性的城市选取居民300人，记录其在端午节期间实际食用的粽子口味偏好（甜粽/咸粽），并记录其居住地域（南方/北方）.将调查数据整理如下表： 甜粽 咸粽 合计 南方居民 90 120 北方居民 120 合计 150 300 （1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“居民地域（南方/北方）”与“粽子口味偏好（甜粽/咸粽）”是否有关； （2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，现从南方居民中随机抽取3人，记为其中偏好甜粽的人数，假设每个人的粽子口味偏好相互独立，求的分布列、数学期望和方差. 附：，. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. （1）求双曲线的标准方程. （2）若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 18. 物理学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法，具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，切线与轴交于点，再作在点处的切线，以此类推，直到求得满足精度的方程的近似解为止.已知函数，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为，继续牛顿法的操作得到. （1）求的单调区间； （2）设初始点为，按上述算法，求方程的一个近似根；（精确到0.01） （3）若对任意，恒成立，求整数的最大值. （参考值：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $