精品解析：山东德州市德州经济技术开发区2025—2026学年第二学期期末测试七年级数学试题

2025-2026学年第二学期期末测试 七年级数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 汉字文化博大精深，许多汉字由相同部分组合而成．下列古文字中，可以看作由其中一部分平移得到的是（　　） A. 杯 B. 山 C. 火 D. 林 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，木条a与木条b垂直，木条b与木条c的夹角为．若将木条a绕点旋转后使其与木条c平行，两位同学给出了两个不同的方案： 方案Ⅰ：将木条a绕点逆时针旋转； 方案Ⅱ：将木条a绕点顺时针旋转 对于方案Ⅰ、Ⅱ，以下说法正确的是（ ）． A. 方案Ⅰ可行、方案Ⅱ不可行 B. 方案Ⅰ不可行、方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下表记录了年我国新能源汽车销量，若将此表的数据绘制在统计图中，则以下说法中不正确的是（ ） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 新能源汽车销量/万辆 50.7 77.7 125.6 120.6 136.7 352.1 688.7 A. 根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各数据点可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 C. 根据各数据点可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算2023年新能源汽车销量的准确值 8. 《九章算术》中有这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问人数、物价各是多少？若设人数为人，物价为元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 点A(2，−1)到x轴的距离是_______． 12. 请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 13. 如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．村民选择沿线段挖渠，理由是________． 14. 定义新运算：，若不等式 ，则 x 的取值范围是__________． 15. 已知正实数，满足，若为整数，则所有可能的值之和是_________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 世界地球日（月日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[ ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： ．垃圾分类[ ] ．节约用水用电[ ] ．减少塑料使用[ ] ．绿色出行[ ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查的总人数为 ，统计表中的值为 ． （2）请补全条形统计图． （3）根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 18. 如图，的顶点在格点上，点，也在格点上，按要求完成下列问题． （1）若点为原点，点坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）平移，使点移动到点位置，画出平移后的． （3）求平移后的的面积． 19. 阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“互”字． 图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（）， ∴， 又∵（已知）， ∴（）， ∴（）． 20. 解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； （2）请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 21. 阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克 48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 （1）成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； （2）求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； （3）根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 22. 我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． （1）化简：_____． （2）已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． （3）已知为实数，且满足，求． （4）计算：． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末测试 七年级数学·试题 一、选择题：本大题共10小题，共40分． 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解： 、是分数，属于有理数，该选项不符合题意； 、是有限小数，属于有理数， 该选项不符合题意； 、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，故属于无理数，该选项符合题意； 、，是整数，属于有理数，该选项不符合题意． 2. 汉字文化博大精深，许多汉字由相同部分组合而成．下列古文字中，可以看作由其中一部分平移得到的是（　　） A. 杯 B. 山 C. 火 D. 林 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的定义求解即可． 【详解】解：A． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； B． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； C． 不能看作由其中一部分平移得到，不符合题意； D． 能看作由其中一部分平移得到，符合题意； 3. 若，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、若，则，此项不成立； B、若，则，此项不成立； C、若，则，即，此项成立； D、若，则，此项不成立． 4. 如果方程与下面方程中的一个组成的方程组的解为，那么这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将解代入每个方程，使若方程两边相等则该组解是该方程的解，即为所求的方程． 【详解】解：将依次代入，得： A、12-4≠16，故该项不符合题意； B、1+2≠5，故该项不符合题意； C、2+3≠8，故该项不符合题意； D、6=6，故该项符合题意； 故选：D. 【点睛】此题考查二元一次方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解，正确计算是解题的关键. 5. 如图，木条a与木条b垂直，木条b与木条c的夹角为．若将木条a绕点旋转后使其与木条c平行，两位同学给出了两个不同的方案： 方案Ⅰ：将木条a绕点逆时针旋转； 方案Ⅱ：将木条a绕点顺时针旋转 对于方案Ⅰ、Ⅱ，以下说法正确的是（ ）． A. 方案Ⅰ可行、方案Ⅱ不可行 B. 方案Ⅰ不可行、方案Ⅱ可行 C. 方案Ⅰ、方案Ⅱ都可行 D. 方案Ⅰ、方案Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】已知，故、夹角为，与夹角．要让，分两种旋转方向讨论：逆时针小角度旋转、顺时针大角度旋转，结合平行线判定验证两种方案是否成立． 【详解】解：已知木条木条，所以与的夹角为，木条、夹角为． 验证方案Ⅰ：逆时针旋转：， 将木条绕点逆时针旋转后，与的夹角变为，此时、被所截形成相等同位角，根据同位角相等，两直线平行，旋转后，方案Ⅰ可行． 验证方案Ⅱ：顺时针旋转，先算补角：，将木条绕点顺时针旋转，等价于反向构造出与平行的直线，此时与内错角相等，满足平行判定条件，旋转后，方案Ⅱ可行． 综上，方案Ⅰ、Ⅱ都可行． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 在数轴上表示解集如图： 7. 下表记录了年我国新能源汽车销量，若将此表的数据绘制在统计图中，则以下说法中不正确的是（ ） 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 新能源汽车销量/万辆 50.7 77.7 125.6 120.6 136.7 352.1 688.7 A. 根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系 B. 根据各数据点可以绘制折线图，从折线图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 C. 根据各数据点可以绘制条形图，从条形图可以看出，新能源汽车销量整体呈现上升趋势 D. 利用数据表和统计图可以计算2023年新能源汽车销量的准确值 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、根据各数据点可以绘制趋势图，趋势图可以描述年份与销量之间的关系（趋势图可以直观体现两个变量之间的变化关系），此项说法正确； B、折线图可以清晰反映数据的变化趋势，观察表格数据，新能源汽车销量仅2019年小幅下降，整体呈现上升趋势，此项说法正确； C、条形图可以直观展示每年的销量大小，对比各年销量可得到销量整体上升的趋势，此项说法正确； D、已知数据仅为年的历史销量，数据表和统计图只能对未来销量做趋势预测，无法得到2023年销量的准确值，此项说法不正确． 8. 《九章算术》中有这样一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．意思是：有几个人一起去买物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问人数、物价各是多少？若设人数为人，物价为元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设人数为人，物价为元， ∵每人出8元，多3元， ∴， ∵每人出7元，少4元， ∴， 则可列方程组为． 9. 如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各行各列及对角线上三个数的和相等，列出关于的二元一次方程组，求解得到的值，再根据象限的坐标特征判断点的位置． 【详解】解：第一行三个数的和为 ， ∵第三列三个数的和与第一行和相等， ∴ ， 整理得， ∵左上到右下对角线的和与第一行和相等， ∴， 整理得， 用得， 解得， 把代入①得， 解得； ∴点的坐标为 ∵，， ∴点在第二象限． 10. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况：当点在之间时，当点在的下方时，当点在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点在之间时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故C正确； 当点在的下方时，如图，过点作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A正确； 当点在的上方时，如图，过点作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故B正确；D不可能． 二、填空题：本大题共5小题，共20分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 点A(2，−1)到x轴的距离是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，据此即可求解． 【详解】解：点A（2，-1）到x轴的距离是1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平面内的点到坐标轴的距离和点的坐标的关系．注意：平面内一点到x轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到y轴的距离是它的横坐标的绝对值． 12. 请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】通过平方数估算和的取值范围，即可找出两者之间的整数． 【详解】解：， ， 即， 又， ， 即， 因此介于和之间的整数为和． 即介于和之间的一个整数可以是． 13. 如图，点表示村庄，现要把河中的水引向村庄．村民选择沿线段挖渠，理由是________． 【答案】 垂线段最短 【解析】 【详解】解：由图可知，，即为点到直线的垂线段， 根据垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短， 所以村民选择沿线段挖渠，理由是垂线段最短． 14. 定义新运算：，若不等式 ，则 x 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算的定义，将不等式 转化为一元一次不等式，再按照一元一次不等式的解法求解即可． 【详解】解：根据定义新运算，得： ， ， 解得：． 15. 已知正实数，满足，若为整数，则所有可能的值之和是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】通过已知等式用含的式子表示，根据为正实数确定的取值范围，再结合为整数求出所有符合条件的的值，最后计算所有可能值的和． 【详解】解：∵正实数满足， ∴， 将代入得： ， 为正实数， ， 解得， ∴ ， 因此的可能整数值为，，， 当时，； 当时，； 当时，； ∴所有可能的值之和为：． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简算术平方根、立方根、二次根式的平方，再依次进行加减运算． （2）分别求解两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解①得． 解②得， 该不等式组的解集为． 17. 世界地球日（月日）是专为环境保护设立的全球性节日，旨在呼吁公众关注生态问题、践行绿色生活．某校针对学生的“日常环保行为”抽取了一部分学生进行问卷调查，并设计了如下调查问卷： “日常环保行为”调查问卷 请在下列选项中选择您的日常环保行为，在其后“[ ]”内打“√”，非常感谢您的合作（可多选）： ．垃圾分类[ ] ．节约用水用电[ ] ．减少塑料使用[ ] ．绿色出行[ ] 所有问卷全部收回且有效，并将统计结果绘制成不完整的统计图表： “日常环保行为”调查统计表 类别 占调查总人数的百分比 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）填空：参与本次问卷调查的总人数为 ，统计表中的值为 ． （2）请补全条形统计图． （3）根据上述调查结果，估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数． 【答案】（1）， （2）补图见解析 （3）名 【解析】 【分析】（）用类别人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的总人数，用减去其他三组类别的百分比可求出的值； （）求出类别的人数，即可补全条形统计图； （）用乘以选择“绿色出行”的百分比即可求解； 本题考查了条形统计图，统计表，样本估计总体，看懂统计图表是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴参与本次问卷调查的总人数为， ∵ ， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵， ∴选择类别的人数为， ∴补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校名学生中将“绿色出行”作为“日常环保行为”的学生人数为名． 18. 如图，的顶点在格点上，点，也在格点上，按要求完成下列问题． （1）若点为原点，点坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点的坐标； （2）平移，使点移动到点位置，画出平移后的． （3）求平移后的的面积． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图， ； （2）如图，为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）以点为原点、结合点确定横轴、纵轴，建立平面直角坐标系，根据网格读出坐标． （2）确定点到的平移方向与格数，将按相同规则平移，顺次连接对应顶点得到． （3）用矩形包围三角形，通过矩形面积减去周围三个直角三角形面积，求得目标三角形面积． 【小问1详解】 解：作图略，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 19. 阅读题目，完成下面推理过程． 问题：中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图是一个“互”字． 图是由图抽象的几何图形，其中，，点，，在同一直线上，点，，在同一直线上，且．求证：． 证明：如图，延长交于点， ∵（已知）， ∴（）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（）， ∴， 又∵（已知）， ∴（）， ∴（）． 【答案】两直线平行，内错角相等；（或）；同位角相等，两直线平行：两直线平行，同旁内角互补：同角的补角相等． 【解析】 【分析】根据平行线性质，逐步证明即可． 【详解】略 20. 解方程组：甲、乙同学的部分解题过程如下： 甲：将②①．得． 乙：由②得，把①代入③． （1）老师评价以上两种解题的方法都是正确的．但有一个同学的计算过程出现错误，其中过程出现错误的同学是_______（填“甲”或“乙”）．请将这个方法改正并解出该方程组的解； （2）请你参照甲、乙的解题范例，再写出一种解题思路，并完成解答． 【答案】（1）甲，解题过程见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法，代入消元法是解题的关键． （1）根据甲二元一次方程组的方法验证甲、乙同学的计算方法即可求解； （2）运用代入法计算即可求解． 【小问1详解】 解：②①得，， ∴出错的是甲同学， 正确解题过程：②①得，， 解得，， 把代入①得，， 整理得，， 解得，， ∴原方程组的解为， 故答案为：甲； 【小问2详解】 解：， 由①得，③， 把③代入②得，， 整理得，， 解得，， 把代入③得，， ∴原方程组的解为． 21. 阳光餐饮平台为在校就餐学生吃的营养、吃的健康、价格合理提供信息技术保障，让校园餐饮活动在阳光下良性运转．某中学餐厅在阳光餐饮平台上为学生设计了一份“总质量为300克，蛋白质总含量为”的A套餐（早餐）食品，具体包括一份牛奶、一份谷物食品和一个鸡蛋（一个鸡蛋的质量为60克，蛋白质含量占）；谷物食品和牛奶的部分营养成分如下表所示． 谷物食品 牛奶 项目 每100克 项目 每100克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 2215千焦 克 克 48.6克 280毫克 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钠 261千焦 3.0克 3.6克 4.5克 100毫克 （1）成分表中有两处被污损了，已知每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量占总质量的，碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍．则被污损的数字从上到下分别为______、______； （2）求该份A套餐中谷物食品和牛奶各有多少克； （3）根据中国营养学会推荐，建议中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克．小涵每天仅可选择A或B一份套餐（每份B套餐的营养成分见下图），应如何安排方案？（说明：一周按5天计算；两种套餐安排天数均大于0） 【答案】（1）9；32.4 （2）该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克 （3）共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 【解析】 【分析】（1）先计算出每100克谷物食品中，蛋白质和脂肪含量，根据碳水化合物的含量是脂肪含量的1.5倍，单独计算出脂肪含量，即可求蛋白质含量； （2）设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，根据“总质量为300克，蛋白质总含量为8%”，列二元一次方程组求解； （3）设选择A套餐天，根据中学生早餐蛋白质摄入总量每周不低于150克，列不等式求解． 【小问1详解】 解：每100克谷物食品中， 蛋白质和脂肪含量为：（克）， 脂肪含量为：（克）， 蛋白质含量为：（克）， ∴被污损的数字从上到下分别为9；32.4； 【小问2详解】 解：设该份A套餐中谷物食品和牛奶各有克、克，则： ， 解得：， 答：该份A套餐中谷物食品和牛奶各有130克、110克； 【小问3详解】 解：设选择A套餐天，则： ， 解得：， 又，且为整数， 可取值为1、2，共两种方案， 方案一：A套餐1天，B套餐4天； 方案二：A套餐2天，B套餐3天 22. 我们已经学习了平方根、立方根等概念，了解到：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道负数没有平方根，即在实数范围内的任何一个数都无法使得成立． 现在，我们设想引入一个新数，使得成立，且这个新数与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数与的相乘记作，任意实数与相加记作，由此，我们将形如（，均为实数）的数叫作复数，其中叫虚数单位，叫作复数的实部，叫作复数的虚部． 对于复数（，均为实数），当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数0；当时，它叫作虚数：当且时，它是纯虚数． 例如：，，都是虚数，它们的实部分别是，，，虚部分别是，，并且以上虚数中只有是纯虚数． （1）化简：_____． （2）已知复数（是实数）是纯虚数，则实数_____． （3）已知为实数，且满足，求． （4）计算：． 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）将拆分为，代入完成化简． （2）根据纯虚数定义，联立实部等于0、虚部不等于0的不等式组，求解实数的值． （3）复数等于0时实部、虚部均为0，据此列出二元一次方程组，解方程组得到的值． （4）先计算前四项的和寻找循环周期，利用周期规律求出2026项包含的完整周期个数与剩余项，再计算最终结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵复数（是实数）是纯虚数， ∴，， ∴或，且， ； 【小问3详解】 解：∵为实数，且满足， ∴， 解得． 【小问4详解】 解：， ， ， ， ， ， …， 每4个一组循环， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段向右平移个单位长度得到线段，点为线段上一动点，连接． （1）证明：； （2）过点作直线，在直线上取点． ①当，且点恰好运动到与原点重合，点在点下方，此时三角形的面积为14，求点的坐标； ②若，探索与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）过点P作，可证明，得到，再由角的和差关系可证明结论； （2）①设直线交x轴于点K，根据题意可得，，轴，则；根据，求出，据此可得答案；②分点Q在点D上方和点Q在点D下方这两种情况，分别画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 证明：如图所示，过点P作， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图所示，设直线交x轴于点K， ∵， ∴，； ∵，点P与原点重合， ∴，即轴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图3-1所示，当点Q在点D上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图3-2所示，当点Q在点D下方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $