15.1.2 第1课时线段的垂直平分线的性质和判定教案 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦线段垂直平分线的性质与判定，通过几何画板动态演示测量PA、PB长度引导归纳规律，类比角的平分线性质与判定搭建知识支架，梳理前后知识脉络。 资料以几何画板直观演示培养几何直观（数学眼光），引导证明结论发展推理意识（数学思维），例题涵盖性质计算、判定应用等培养数学语言表达。助力学生提升探究与逻辑推理能力，为教师提供丰富教学素材与清晰流程。

15.1.2　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 教师备课　素材示例 ●归纳导入　通过几何画板课件的演示，探索线段垂直平分线的性质． 探究（一）　演示课件：如图，点P在线段AB的垂直平分线上运动，测量PA，PB的长度，你能发现什么规律？　PA＝PB　. PA PB 1.90 cm 1.90 cm 1.48 cm 1.48 cm 1.75 cm 1.75 cm 1.57 cm 1.57 cm 1.80 cm 1.80 cm 0.75 cm 0.75 cm 0.50 cm 0.50 cm 探究（二）　证明结论：利用几何画板中的图形证明所得结论．　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　． 【教学与建议】教学：利用几何画板的测量功能能表明PA＝PB，但需要证明．建议：学生独立观察教师演示的课件，很容易归纳结论．证明过程可以指定学生板演证明过程，其余同学在练习本上完成． ●类比导入　1.前面我们学习了角的平分线的性质和判定，具体内容是什么？ 2．我们学习了线段的垂直平分线，既然“角的平分线”与“线段的垂直平分线”都是“平分线”，那么它们之间有哪些相似之处呢？ 3．你能证明你发现的结论是正确的吗？ 【教学与建议】教学：利用角的平分线与线段的垂直平分线的相似之处猜想结论．建议：启发学生画图观察，仿照角的平分线从定义、性质和判定三个角度思考，类比角的平分线定义可以得出倍半关系，类比角的平分线性质与判定分别得到线段的垂直平分线的性质与判定． · 命题角度1　利用线段垂直平分线的性质进行有关的计算与证明 (1)利用线段垂直平分线的性质解决问题，一般需要连接直线上某一点与线段两端点的线段（常用的添加辅助线的方法），从而由性质可以直接得到相等的两条线段； (2)把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知的线段． 【例1】如图，在△ABC中，AC＝12，BC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　20　． 【例2】如图，已知CD垂直平分AB，若AC＝4 cm，AD＝5 cm，则四边形ADBC的周长是　18　cm. 【例3】如图，AB＝CD，线段AC的垂直平分线与线段BD的垂直平分线相交于点E.求证：∠ABE＝∠CDE. 证明：如图，连接AE，CE. ∵线段AC的垂直平分线与BD的垂直平分线相交于点E， ∴AE＝CE，BE＝DE.在△ABE和△CDE中， ∴△ABE≌△CDE(SSS). ∴∠ABE＝∠CDE. · 命题角度2　线段垂直平分线的判定 一点与一条线段的两个端点距离相等，可判定该点在这条线段的垂直平分线上． 【例4】如图，在△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是 (D) A.点P是∠ACB的平分线与AB的交点 B．点P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点 C．点P是AC的垂直平分线与AB的交点 D．点P是BC的垂直平分线与AB的交点 【例5】如图，AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵MB＝MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． · 命题角度3　综合运用线段的垂直平分线的性质和判定 (1)利用线段垂直平分线的性质可证明两线段相等； (2)利用线段垂直平分线的判定可证明垂直关系和线段相等关系． 【例6】如图，已知AB＝AC，DB＝DC，P是AD上的一点．求证：∠ABP＝∠ACP. 证明：连接BC.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AD是线段BC的垂直平分线． ∵点P在直线AD上，∴PB＝PC. 在△ABP和△ACP中 ∴△ABP≌△ACP(SSS).∴∠ABP＝∠ACP. 高效课堂　教学设计 1．掌握线段垂直平分线的概念． 2．理解线段垂直平分线的性质和判定定理． 3．运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题． ▲重点 掌握线段垂直平分线的性质和判定，并学会运用． ▲难点 运用线段垂直平分线的性质和判定定理解决几何问题． ◆活动1　新课导入 1．经过线段　中点　并且　垂直　于这条线段的　直线　，叫作这条线段的垂直平分线． 2．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，还是轴对称图形，其　对称轴　都是任意一对对称点所连线段的垂直平分线． ◆活动2　探究新知 1．教材P65　探究． 提出问题： (1)比较点P1，P2，P3……到点A与点B的距离，你有什么发现？ (2)你能否通过理论验证你的发现？ 学生完成并交流展示． 2．教材P66　第1个思考． 提出问题： (1)线段垂直平分线的性质的题设和结论分别是什么？ (2)如果把线段垂直平分线的结论和题设反过来，得到的命题是什么？ (3)此命题是真命题吗？能否通过证明验证此命题？ 学生完成并交流展示． 3．教材P66　第2个思考． 提出问题： (1)互逆命题、原命题、逆命题的定义分别是什么？ (2)举例说一说原命题与逆命题的真假关系？ (3)互逆定理的定义是什么？互逆定理是真命题还是假命题？ (4)举例几何中的互逆定理． 学生完成并交流展示． ◆活动3　知识归纳 1．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离　相等　. 2．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的　垂直平分线上　. 3．两个命题的题设、结论正好　相反　，我们把具有这种关系的两个命题叫作　互逆命题　，如果把其中一个叫作　原命题　，那么另一个叫作它的　逆命题　. 4．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个　定理　，这两个定理叫作　互逆定理　，其中一个定理叫作另一个定理的　逆定理　. ◆活动4　例题与练习 例1　如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上，若AB＝5 cm，BD＝3 cm，求BE的长． 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC. ∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE. ∵AB＝5 cm，BD＝3 cm， ∴CE＝AC＝AB＝5 cm，CD＝BD＝3 cm， ∴BE＝BD＋DC＋CE＝3＋3＋5＝11(cm). 例2　如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)求∠PAQ的度数； (2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求PQ的长． 解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z. ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ. 由轴对称的性质可知∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y. ∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°， 即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°. ∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°； (2)∵△APQ的周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12. ∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12， 即CQ＋BQ＋2PQ＝12. ∴BC＋2PQ＝12.又∵BC＝8，∴PQ＝2. 例3　写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立． (1)两直线平行，内错角相等； (2)若a＝b，则a2＝b2； (3)如果一个三角形是直角三角形，那么两个锐角互余． 解：(1)如果内错角相等，那么这两条直线平行，真命题； (2)如果a2＝b2，那么a＝b，假命题； (3)如果在一个三角形中的两锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，真命题． 练习 1．教材P67　练习第1，2，3题． 2．如图，△ABC的周长为30 cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交边BC于点D，交边AC于点E.若△ABD的周长是22 cm，则AE的长为　 (C) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 　　　　　　　　 3．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是　16　. 4．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD＋AD，则点D在　AC　的垂直平分线上． ◆活动5　课堂小结 1．线段垂直平分线的性质、判定及运用． 2．互逆命题与互逆定理． 1．作业布置 (1)教材P70　习题15.1第4，5，6题； (2)对应课时练习． 2．教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $