第1章 反比例函数全章重难点题型汇总（12大题型） 数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 以12个重难点为框架，系统整合定义、性质、几何意义等核心知识，通过“定义-性质-应用”递进逻辑，结合例题与变式题提炼解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义|1例2变式|解析式形式与自变量范围辨析|从概念本质出发，夯实基础| |性质|1例2变式|k值与象限、单调性关系判断|性质是后续应用的核心依据| |k几何意义|1例2变式|矩形/三角形面积与|从几何直观建立代数关系| |综合应用|1例2变式|函数交点与方程、不等式转化|体现模型意识与应用能力|

重难点专题1 反比例函数章节重难点复习 直击考点 重难点一 反比例函数的定义 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．k是比例系数. 例1.下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义判断即可； 【详解】中，的次数是2，不符合题意，故A错误；是正比例函数，故B不符合题意；y＝5x+6是一次函数，故C不符合题意；是反比例函数，故D正确；故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。准确分析判断是解题的关键． 【变式1-1】下列函数中，为反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案. 【详解】根据反比例函数解析式的三种形式：，，，其中； A. 为正比例函数，错误；B. 为正比例函数，错误； C. 不是反比例函数，错误；D. 是反比例函数，正确；故答案选D. 【点睛】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握函数解析式的三种形式是本题解题关键. 【变式1-2】当________时，函数是反比例函数． 【答案】0 【分析】根据反比例函数的定义即可求得结果，注意反比例系数 k≠0． 【详解】解：由题意得：，解得：m=0．故答案为：0． 【点睛】本题考查反比例函数的定义和性质，解题关键是掌握反比例函数（k≠0）的形式． 重难点二 反比例函数的性质 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 例2.对于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时，的值随的增大而增大 B．当时，的值随的增大而减小 C．它的图象分布在第一、三象限 D．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质依次判断即可． 【详解】解：∵反比例 函数 ，k=6>0，∴当 x>0 时， y 的值随 x 的增大而减小，故A项符合题意； 当 x<0 时， y 的值随 x 的增大而减小，故B项不符合题意； 它的图象分布在第一、三象限，故C项不符合题意； 它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故D项不符合题意；故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数的性质及图像特点，难度一般，理解反比例函数的性质是关键． 【变式2-1】若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】考查反比例函数的图象和性质，由2﹣k＞0即可解得答案． 【答案】解：∵y＝的图象位于第一、第三象限， ∴2﹣k＞0， k＜2． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解答：解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，∴3−m＜0，解得m＞3．故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 重难点三 反比例函数值大小比较 根据反比例函数解析式的k值判断图像所在象限，再根据x的大小关系和函数的性质，可以判断出y的大小关系. 例3.已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像上两点的函数值确定k的符号，列不等式求解即可． 【详解】解:∵点A（－1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2， ∴3＋2m＜0，∴m＜，∴m的取值范围是m＜．故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当k＞0时，y随x的增大而减小，当k＜0时，y随x的增大而增大． 【变式3-1】若点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数解析式的特点找到图像所在象限，再根据函数的性质，可以判断出，，的大小关系，本题得以解决． 【详解】解：∵反比例函数（a为常数）中， ∴函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，-2＜0＜1＜3， ∴B、C在第一象限，A在第三象限，∴，故选：B． 【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 【变式3-2】在反比例函数中有三点，，，已知，则，，的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出 、、的大小． 【详解】解：，，三点在反比例函数图象上表示为： ，函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 又，点，，，在第三象限，点，在第一象限， ．故选：B． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 重难点四 与反比例函数有关的图象问题 分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 例4.在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】分k大于0和小于0两种情况分别讨论两个函数的图象所经过的象限，判断正确选项即可． 【详解】解：当时，一次函数过一二三象限，反比例函数过一三象限； 当时，一次函数过一二四象限，反比例函数过二四象限；综上所述，只有B符合，故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，熟悉相关性质是解题的关键． 【变式4-1】函数与（m≠0）在同一平直角坐标系中的大致图象是（ ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的图像和性质，分为，两种情况讨论，即可求解． 【详解】A.反比例的图像在一、三象限，所以， 一次函数在一、二、四象限，所以，不符题意； B.反比例的图像在一、三象限，所以， 一次函数在一、三、四象限，所以，符合题意； C.一次函数在一、二、三象限，所以，矛盾，不符题意； D.一次函数在二、三、四象限，所以，矛盾，不符题意．故选B． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的图像的综合运用，解题的关键是掌握一次函数与反比例函数的图像性质． 【变式4-2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝过一、三象限； ②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象限；y＝过二、四象限， A．由反比例函数知k<0，一次函数y＝kx+k应过二、三、四象限，故该选项不正确； B．由反比例函数知k<0，一次函数y＝kx+k中k0，故该选项不正确； C．由反比例函数知k0，一次函数y＝kx+k应过一、二、三象限，故该选项不正确； D．由反比例函数知k0，一次函数y＝kx+k应过一、二、三象限，故该选项正确．故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，分两种情况讨论是解题的关键． 重难点五 利用反比例函数的图象解不等式 利用函数图像求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义，根据函数图像和两个函数的交点横坐标求解即可． 例5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【变式5-1】如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据函数图象和两个函数的交点横坐标求解即可． 【详解】解：由图象可得，或， 故答案为：或． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，反比例函数y=（x>0）的图象过点A（m，4）和点B，且点B的横坐标大于1，过A作x轴的垂线,垂足为C（1，0），过点B作y轴的垂线，垂足为D，且△ABD的面积等于4．记直线AB的函数解析式为y=ax+b（a≠0）． （1）求点B的坐标； （2）求直线AB的函数解析式； （3）请直接写出>ax+b成立时，对应的x的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为（3，）；（2）y=-x+；（3）0<x<1或x>3． 【分析】（1）直接将A的值代入函数y=中，即可得出k的值，然后根据△ABD的面积等于4即可求出点B的坐标；（2）根据A点和B点的坐标，用待定系数法可求出直线AB的解析式；（3）根据图象直接解答即可； 【详解】解：（1）由题意可知A(1，4)．∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A(1，4)， ∴k=4，∴反比例函数解析式为y=(x>0)，∴设点B的坐标为(x，)，则点D的坐标为(0，)． ∴△ABD的面积为·x·(4-)=4，解得x=3，且x=3是分式方程的解，则点B的坐标为(3，)． （2）将A(1，4)，B(3，)的坐标代入y=ax+b(a≠0)， 得，解得，∴直线AB的函数解析式为y=-x+． （3）当>ax+b成立时，从图象可知x的取值范围为：0<x<1或x>3． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，利用函数图形解不等式，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 重难点六 反比例函数k的几何意义 1.过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 例6.如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出反比例函数的解析式，然后设，则，得到点E的坐标，把点E代入反比例函数的解析式，求出，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵，，∴，将点坐标代入，， ∴反比例函数解析式为，设正方形的边长，则． ∵四边形是正方形，∴．∴点坐标为． ∵点在反比例函数的图象上，∴．整理，得．解得，． ∵，∴．∴正方形的边长为，∴正方形的面积为．故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，求反比例函数的解析式，解一元二次方程，正方形的性质，解题的关键是正确求出反比例函数的解析式． 【变式6-1】如图，点A为反比例函数图象上的一点，过点A作 轴于点B，点C为x轴上的一个动点，的面积为3，则 k的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，可得，根据反比例函数 的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接，轴，轴，，即： ， ，或（不合题意，舍去），故选：． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的关键． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在直线上，且点的横坐标是2，过点分别向轴、轴作垂线，交反比例函数的图象于点、点，则四边形的面积是（ ） A．4 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据反比例函数“k”的几何意义得到和的面积，根据一次函数解析式求出P点坐标得到矩形OCPD的面积，再用割补法求出四边形OAPB的面积． 【解析】解：如图，PAx轴于点C，PDy轴于点D， 当时，，即点，， 点、点在反比例函数的图象上， ，．故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数“k”的几何意义，解题的关键是利用反比例函数的性质求出三角形的面积再利用割补法求四边形面积． 重难点七 求反比例函数的解析式 1、设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）； 2、把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； 3、解方程，求出待定系数； 4、写出解析式． 例7.已知与成反比例，且当时，． （1）求出与的函数关系式；（2）求当时，的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由与成反比例，可设，再把当时，，代入求解即可； （2）根据（1）求的结果把代入即可求解 【详解】解：（1）与成反比例，设， 当时，，，解得，与的函数解析式为； （2）当时，．则． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式． 【变式7-1】已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【分析】根据题意设出函数关系式，把x＝﹣1时y＝3，当x＝2时，y＝﹣3．代入y与x间的函数关系式便可求出未知数的值，从而求出其解析式． 【答案】解：∵y1与x2成正比例， ∴y1＝k1x2． ∵y2与x﹣1成反比例， ∴y2＝． y＝k1x2+． 当x＝﹣1时，y＝3； x＝2时，y＝﹣3； ∴． 解得：． ∴y＝x2﹣． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式和正比例函数的解析式，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解本题的关键． 【变式7-2】已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【分析】（1）可设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0），把已知条件代入则可求得y与x的函数解析式； （2）把x＝8代入（1）求得函数解析式求解． 【答案】解：（1）由题意可设y1＝k1（x﹣1），y2＝（k1≠0，k2≠0）， ∴y＝y1+y2＝k1（x﹣1）+． 把x＝2，y＝5；x＝﹣2，y＝﹣9代入可得：， 解得， ∴y关于x的函数解析式为y＝2（x﹣1）+； （2）当x＝8时，y＝2×（8﹣1）+＝． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分． 重难点八 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式，可以把交点坐标代入反比例函数和一次函数解析式求出k或得到关系式再求代数式的值，三角形面积转化到特殊位置或通过分割面积求出点坐标. 例8.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C 【详解】∵函数与的图像交于点P(，)， ∴，，即，，∴．故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 【变式8-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的解析式为y1=x+1，反比例函数的解析式为y2=；（2）C点的坐标（-1+，1+）． 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k2的值，把点B的纵坐标代入求得横坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；（2）根据题意点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点，求得平移后的直线解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得C的坐标． 【详解】解：（1）把点A（1，2）代入反比例函数y2=得，k2=1×2=2， ∴反比例函数的解析式为y2=，将y=-1代入y2=得，-1=，交点x=-2，∴B（-2，-1）， 将A、B的坐标代入y1=k1x+b得，解得，∴一次函数的解析式为y1=x+1； （2）∵y1=x+1，∴直线与y轴的交点为（0，1）， ∵点C为反比例函数图象上的一点，且点C在点A的上方，S△CAB=S△AOB， ∴点C就是直线y=x+1向上平移1个单位后与反比例函数的交点， 将直线y=x+1向上平移1个单位后得到y=x+2， 解得或（舍） ，∴C点的坐标为（-1+，1+）． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【变式8-2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）　　，　　； （2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是　　 ； （3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式． 【分析】（1）先把B点坐标代入入y1＝k1x+2可确定一次函数解析式，再把B（﹣8，﹣2）代入y2＝可确定反比例函数解析式； （2）观察函数图象得到当﹣8＜x＜0或x＞4，一次函数图象都在反比例函数图象上方； （3）先确定点A的坐标是（4，4），点C的坐标是（0，2），再计算出S梯形ODAC＝12，由S梯形ODAC：S△ODE＝3：1可求得S△ODE，可求得DE＝2，则可求得E的坐标为，然后确定直线OP的解析式． 【答案】解：（1）把B（﹣8，﹣2）代入y1＝k1x+2得﹣8k1+2＝﹣2，解得k1＝， ∴一次函数解析式为y1＝x+2； 把B（﹣8，﹣2）代入y2＝得k2＝﹣8×（﹣2）＝16， ∴反比例函数解析式为y2＝， 故答案为：，16； （2）∵当y1＞y2时即直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围， ∴﹣8＜x＜0或x＞4； 故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4； （3）把A（4，m）代入y2＝得4m＝16，解得m＝4， ∴点A的坐标是（4，4），而点C的坐标是（0，2）， ∴CO＝2，AD＝OD＝4． ∴S梯形ODAC＝×（2+4）×4＝12， ∵S梯形ODAC：S△ODE＝3：1， ∴S△ODE＝×12＝4， ∴OD•DE＝4， ∴DE＝2， ∴点E的坐标为（4，2）． 设直线OP的解析式为y＝kx，把E（4，2）代入得4k＝2，解得k＝， ∴直线OP的解析式为y＝x． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，在（1）中注意函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；在（3）中求得E点的坐标是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 重难点九 反比例函数的实际应用 用待定系数法设出一次函数和反比例函数解析式，把图像上的特殊点代入解析式求出一次函数和反比例函数解析式，再根据题意解决问题即可. 例9.学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为． （1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值． （2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？ 【答案】（1）， ；（2） 【分析】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为，然后把，代入，把代入求解即可；（2）把分别代入一次函数与反比例函数解析式求出对应的x的值，有次求解即可． 【详解】（1）设线段解析式为，双曲线的解析式为 代入得， 解得 ∴线段AB的解析式，代入得，解得 ∴双曲线的解析式为∴解得； （2）反比例函数解析式为，当时，代入线段 ，解得， 代入反比例函数得，解得x=20所以不适宜饮水的持续时间为分． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式9-1】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求与（）的函数表达式； （2）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）；（2）恒温系统最多可以关闭小时，才能使蔬菜避免受到伤害. 【分析】（1）当时，设 把代入从而可得答案； （2）先求解时，对应的反比例函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案. 【详解】解：（1）当时，设 把代入得： 所以： （2）当时， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以恒温系统最多可以关闭小时，才能使蔬菜避免受到伤害. 【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解题的关键. 【变式9-2】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 【答案】（1）20；（2）能，见解析 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值 （2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论 【详解】解：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上， ∴， ∴．将x=45代入 将x=45代入得： 点对应的指标值为． （2）设直线的解析式为，将、代入中， 得，解得． ∴直线的解析式为． 由题得，解得． ∵， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题是中考的常考题型。 重难点十 反比例函数新定义题型 反比例函数新定义题型，关键是把新定义知识转化为反比例函数相关知识进行解答. 例10.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)， 都是“相等点”，显然“相等点”有无数个． （1）若点P（3，m） 是反比例函数 （ n为常数， ）的图象上的“相等点”，求这个反比 例函数的解析式． （2）一次函数（ k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，（，） 【分析】（1）根据相等点的定义求得m的值，再用待定系数法求得解析式； （2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，代入解析式求得m即可． 【解析】解：（1）∵点P（3，m）是反比例函数（n为常数，n≠0）的图象上的“相等点”， ∴m=3，∴P（3，3），把P（3，3）代入中，得n=3×3=9，∴反比例的解析式为； （2）设（m，m）是一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”，则mk-1=m，（k-1）m=1， 当k-1=0，即k=1时，方程无解，则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”， 当k-1≠0，即k≠1时，得m=， 则此时一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，）， 故当k=1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上不存在“相等点”；当k≠1时，一次函数y=kx-1（k为常数，k≠0）的图象上的“相等点”是（，）． 【点睛】本题是新定义与一次函数、反比例函数结合的一个综合题，关键是把新定义知识转化为常规知识 进行解答，有一定的难度． 【变式10-1】当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整； （1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为_______． （2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且． ①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有． 证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为_________． 请你继续完成证明的后续过程： ②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式． 【答案】（1）；（2）①，；证明见解析；②． 【分析】（1）联立直线与反比例函数，然后求解即可； （2）①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，然后可得直线的解析式，进而可得点C坐标，同理可得点D坐标，如图，过点作 轴于点，则点的坐标为，则有，进而可进行求解； ②根据题意可分两种情况进行分类求解，即当时和当时，则的面积为与t的函数关系式可求解． 【解析】解：（1）∵①与②，联立①②解得，（是的纵横坐标）， 故答案为：； ①设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得， 则直线的解析式为，令，，则点的坐标为， 同理．直线的解析式为； 令，，，点的坐标为， 如图，过点作 轴于点，则点的坐标为， ；，， 为的中点，垂直平分，，故答案为； ②当时，， 当时，． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键． 【变式10-2】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab． 易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab． 若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab． [类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b　 　2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”） [几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2． [结论应用]若a＞0，则当a＝　 　时，代数式a+有最小值为　 　． [问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ． 【答案】[类比论证]≥；[几何验证]见解析；[结论应用]2 ，4；[问题解决]（1）当x=6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低为6.2元；（2）24． 【分析】类比论证利用完全平方公式可求解； 几何验证由直角三角形的中线性质可得，通过勾股定理求出，即可求解； 结论应用利用材料的结论，可求解； 问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元，由题意可得，即可求解； （2）先求出点，点坐标，设点，由可求，，由四边形面积，即可求解． 【详解】解：类比论证，，，故答案为：； 几何验证设CD=x，∵CD⊥AB，∴AC2=AD2+CD2=a2+x2，BC2=BD2+CD2=b2+x2 ∵，∴AB2=AC2+BC2，∴(a+b)2= a2+x2+ b2+x2，∴x2=ab，∴x= ∵CE为ΔABC的中线，∴CE=AB=(a+b)， ∵CD⊥AB，∴CE≥CD（点D和点E重合时CE=CD），∴(a+b) ≥，即 结论应用，，， 当时，有最小值为4，，故答案为：2，4； 问题解决（1）设设备每生产一个零件的运营成本为元， 由题意可得：，， ， 当时，即时，有最小值为1.2， 的最小值为6.2元， 答：当为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元； （2）直线与坐标轴分别交于点、， 点，点，设点，，点，，， 四边形面积， ，，当时，即当时，有最小值为6， 四边形面积的最小值为24，故答案为：24． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容. 重难点十一 与反比例函数有关的存在性问题 与反比例函数有关的存在性问题，关键是利用四边形的性质和判定求出点坐标. 例11.如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）点在轴上，反比例函数图象上存在点，使得四边形为平行四边形，求的面积． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）根据S△BPC＝S△APC﹣S△APB，▱BPCM的面积＝2 S△BPC，只要求出△APC，△APB的面积即可； 【答案】解：（1）∵直线y1＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（﹣4，0），B（0，1） 过C作CD⊥x轴于D， ∵AB＝BC， ∴D（4，0），C（4，2）， ∵点C（4，2）反比例函数y2＝（x＞0）的图象上， ∴k＝8， ∴反比例函数y2的解析式y2＝； （2）），∵四边形BPCM为平行四边形， ∴G为BC、MP的中点， 由BG＝CG，则G（2，）， 设M（m，），P（n，0）， 由MG＝PG，∴， ∴m＝，n＝，即P（，0）， S△APC＝AP•CD＝×（4+）×2＝，S△ABP＝×AP•OB＝×（4+）×1＝ S△BPC＝S△APC﹣S△APB＝， ∴▱BPCM的面积＝2 S△BPC＝． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用分割法求三角形面积，属于中考常考题型． 【变式11-1】如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量的取值范围； （3）若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到点，在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设反比例函数的解析式为y＝，把A坐标代入y＝2x求出m的值，确定出A坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式； （2）根据题意，利用对称性求出D的坐标，由A与D坐标，找出一次函数位于反比例函数图象下方时x的范围即可； （3）求得B、C点的坐标，先证得四边形为菱形，然后求得AC和OB，从而求得四边形的面积，根据三角形的面积公式得出方程，解方程即可求得． 【答案】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝（k＞0）， ∵A（m，﹣2）在y＝2x上， ∴﹣2＝2m， ∴m＝﹣1， ∴A（﹣1，﹣2）， 又点A在y＝上， ∴﹣2＝， ∴k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝； （2）由A的坐标为（﹣1，﹣2），得到D（1，2）， 由图象得：正比例函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜1； （3）∵C（2，n）在上， ∴n＝1，即C（2，1） ∴，，， ∴四边形OABC为菱形，直线OC为：y＝x， ∴AB的解析式， 由正比例函数为y＝2x求得BC的解析式为y＝2x﹣3， 解得， ∴B（1，﹣1）， ∴AC＝＝3，OB＝＝， ∴S四边形OABC＝AC×OB＝××3＝3， 假设在x轴上存在P（a，0）使， ∴， ∴a＝±2， ∴在x轴上存在点P1（2，0），P2（﹣2，0）使S△OCP＝． 【点睛】此题属于反比例函数一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【变式11-2】如图，已知直线与双曲线上交于、两点，且点的纵坐标为-2． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积； （3）若、、、为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点的反比例函数解析式． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由两函数解析式交点A的纵坐标坐标为−2，将y＝−2代入y＝−2x中，得：x＝1，确定出交点坐标，将交点坐标代入反比例函数解析式中，即可求出k的值． （2）根据k的几何意义可知S△COE＝S△BOF，所以S梯形CEFB＝S△BOC． （3）分两种情况画出图形，根据正方形的性质得出P点的坐标即可得到过点P的反比例函数解析式． 【详解】解：（1）由题得在上，且，则得，∴. 又在双曲线上，∴. （2）如图，连接BC，过点C、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F， 把y＝代入y＝−得，＝−，解得x＝−4，∴C（−4，）， ∵直线y＝−2x与双曲线上交于A、B两点，∴A、B关于原点对称， ∵A（1，−2），∴B（−1，2），∵点C、B都在双曲线y＝−上，∴S△COE＝S△BOF＝1． ∵S△BOF＋S梯形CEFB＝S△COB＋S△COE．∴S△BOC＝S梯形CEFB． ∵S梯形CEFB＝×（＋2）×（−1＋4）＝，∴S△BOC＝． （3）①当是正方形的边时，如图所示，过正方形的顶点分别作坐标轴的平行线， 根据正方形的性质可得：或，∴解析式为； ②当时正方形的边时，可得点在轴上，或， ∴P在轴上，不存在反比例函数， ③当是正方形的对角线时，或，∴过点的解析式为 综上：过点的解析式为或． 【点睛】主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y＝中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 重难点十二 反比例函数与图形变换综合 例12.如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第二象限交于点A（m，3），将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限交于点C，如果△AOC的面积为24，则平移后的直线的函数表达式是 ______________． 【答案】 【分析】 将A点坐标代入直线yx中求出m的值，确定出A的坐标（﹣6，3），根据直线的平移规律设直线BC的解析式为yx+b，由同底等高的两三角形面积相等可得△ACO与△ABO面积相等，根据△ABO的面积为24列出方程，解方程求出OB＝8，即b＝8，进而得出直线BC的解析式． 【详解】 解：设平移后的直线交y轴于点B，连接AB， ∵直线yx过点A（m，3）， ∴m＝3， 解得m＝﹣6， ∴A（﹣6，3）． 设平移后的解析式为yx+b， ∵S△AOC＝S△AOBOB•6＝24， ∴OB＝8， ∴b＝8， ∴直线BC的解析式为yx+8， 故答案为：yx+8． 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、一次函数图象的平移，三角形的面积公式以及平行线间的距离公式，运用平行线间的距离相等作出辅助线是解决本题的关键． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，且点C的坐标为（﹣2，0），∠CBO＝30°，将△BCO沿着BC翻折得到△BCA，点O的对应点A恰好落在反比例函数y的图象上，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，不等式kx+b0的解集． 思路点拨：（1）根据题意得到CEAC＝1，AE，即可得到点A的坐标为（﹣3，），代入y即可求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）解析式联立成方程组，解方程组求得D的坐标，然后根据图象即可求得当x＞0时，不等式kx+b0的解集． 解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于点E， 在Rt△BOC中，OC＝2，∠CBO＝30°， ∴∠BCO＝60°， 由翻折可知∠ABC＝∠CBO＝30°，∠ACB＝∠BCO＝60°，AC＝OC＝2， ∴．∠ACE＝60°，∠CAE＝30°， ∴CEAC＝1，AECE， ∴EO＝3， ∴点A的坐标为（﹣3，）， 将点A的坐标代入反比例函数的解析式可得， 解得m＝﹣3， 故反比例函数的解析式为y； 将点A，C的坐标代入一次函数的解析式可得， 解得， 故一次函数的解析式为yx﹣2； （2）联立得，解得或， ∴．点D的坐标为（1，﹣3）． 由图象可得当x＞0时，不等式kx+b0的解集为0＜x＜1． 点睛：本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了轴对称的性质，解直角三角形，待定系数法求函数的解析式，不等式与函数的性质，数形结合是解题的关键． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，3），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y上，当CE长度最小时，k的值为（　　） A． B． C． D．6 思路点拨：根据三角形三边关系可得当点A，E，C三点共线时，CE最小．过点E作EM⊥OA于点M，由平行线分线段成比例可得AM和FM的长，进而可得点E的坐标，由点E在双曲线y上，可得k的值． 解：由折叠可知，AE＝AB，∠AED＝∠B＝90°， ∴CE≥AC﹣AE＝2， ∴当且仅当点A，E，C三点共线时，CE最小． ∵OA＝4，OC＝3， ∴AC＝5． 如图，过点E作EM⊥OA于点M， ∴EM：OC＝AE：AC＝AM：OA＝3：5， 解得EM，AM， ∴OM． ∴E（，）， ∵点E在双曲线y上， ∴k． 故选：A． 点睛：本题考查折叠的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征以及平行线段分线段成比例，求出点E的坐标是解题关键，综合性较强． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题1 反比例函数章节重难点复习 直击考点 重难点一 反比例函数的定义 一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．k是比例系数. 例1.下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C．y＝5x+6 D． 【变式1-1】下列函数中，为反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】当________时，函数是反比例函数． 重难点二 反比例函数的性质 当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 例2.对于函数，下列说法错误的是（ ） A．当时，的值随的增大而增大 B．当时，的值随的增大而减小 C．它的图象分布在第一、三象限 D．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形 【变式2-1】若反比例函数的图象位于第一、第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】已知在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 重难点三 反比例函数值大小比较 根据反比例函数解析式的k值判断图像所在象限，再根据x的大小关系和函数的性质，可以判断出y的大小关系. 例3.已知，两点在双曲线上，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】若点，，在反比例函数（a为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】在反比例函数中有三点，，，已知，则，，的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 重难点四 与反比例函数有关的图象问题 分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，对选项一一分析符合题意者即为正确答案． 例4.在同一直角坐标系中，函数和函数（k是常数且 ）的图象只可能是（ ） A．B．C． D． 【变式4-1】函数与（m≠0）在同一平直角坐标系中的大致图象是（ ） A．B．C． D． 【变式4-2】在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 重难点五 利用反比例函数的图象解不等式 利用函数图像求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义，根据函数图像和两个函数的交点横坐标求解即可． 例5.如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为______________． 【变式5-1】如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，若A、B的横坐标分别为1、2，则不等式的解集为______________． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系内，反比例函数y=（x>0）的图象过点A（m，4）和点B，且点B的横坐标大于1，过A作x轴的垂线,垂足为C（1，0），过点B作y轴的垂线，垂足为D，且△ABD的面积等于4．记直线AB的函数解析式为y=ax+b（a≠0）． （1）求点B的坐标； （2）求直线AB的函数解析式； （3）请直接写出>ax+b成立时，对应的x的取值范围． 重难点六 反比例函数k的几何意义 1.过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 例6.如图，四边形是矩形，是正方形，点，在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点，在反比例函数的图象上，，，则正方形的面积为(        ) A． B． C． D． 【变式6-1】如图，点A为反比例函数图象上的一点，过点A作 轴于点B，点C为x轴上的一个动点，的面积为3，则 k的值为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在直线上，且点的横坐标是2，过点分别向轴、轴作垂线，交反比例函数的图象于点、点，则四边形的面积是（ ） A．4 B． C． D．5 重难点七 求反比例函数的解析式 1、设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）； 2、把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； 3、解方程，求出待定系数； 4、写出解析式． 例7.已知与成反比例，且当时，． （1）求出与的函数关系式； （2）求当时，的值． 【变式7-1】已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，，求与之间的函数关系式． 【变式7-2】已知：，并且与成正比例，与成反比例．当时，；当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）求当时的函数值． 重难点八 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式，可以把交点坐标代入反比例函数和一次函数解析式求出k或得到关系式再求代数式的值，三角形面积转化到特殊位置或通过分割面积求出点坐标. 例8.如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的纵坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）点为反比例函数图象上的一点，且点在点的上方，当时，求点的坐标． 【变式8-2】如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）　　，　　； （2）根据函数图象可知，当时，的取值范围是　　 ； （3）过点作轴于点，点是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线与线段交于点，当时，求直线的解析式． 重难点九 反比例函数的实际应用 用待定系数法设出一次函数和反比例函数解析式，把图像上的特殊点代入解析式求出一次函数和反比例函数解析式，再根据题意解决问题即可. 例9.学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为（分）与对应的水温为（℃）函数图象关系，已知段为线段，段为双曲线一部分，点为，点为，点为． （1）求出段加热过程的与的函数关系式和的值． （2）若水温（℃）在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？ 【变式9-1】某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求与（）的函数表达式； （2）若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【变式9-2】通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分． （1）求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 重难点十 反比例函数新定义题型 反比例函数新定义题型，关键是把新定义知识转化为反比例函数相关知识进行解答. 例10.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“相等点”，例如点(1，1)，(0．5，0．5)，(-2，-2)， 都是“相等点”，显然“相等点”有无数个． （1）若点P（3，m） 是反比例函数 （ n为常数， ）的图象上的“相等点”，求这个反比 例函数的解析式． （2）一次函数（ k为常数，）的图象上存在“相等点”吗？若存在，请用含k的式子表示出“相等点”的坐标，若不存在，说明理由． 【变式10-1】当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数"，可以通过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整； （1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A的坐标为(-2，-1)，点B的坐标为____ ___． （2）点是函数在第一象限内的图象上一个动点（点不与点重合)，设点的坐标为，其中且． ①结论1：作直线分别与轴交于点，则在点运动的过程中，总有． 证明：设直线的解析式为，将点和点的坐标代入，得，解得 则直线的解析式为，令，可得，则点的坐标为，同理可求，直线的解析式为，点的坐标为____________． 请你继续完成证明的后续过程： ②结论2：设的面积为，则是的函数．请你直接写出与的函数表达式． 【变式10-2】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab． 易知当a＝b时，（a﹣b）2＝0，即：a2﹣2ab+b2＝0，所以a2+b2＝2ab． 若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab． [类比论证]对于任意正实数a、b，∵≥0，∴a+b　 　2ab（填“＜”、“＞”、“≤”或“≥”） [几何验证]如图（1），在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE为△ABC的中线，若AD＝a，BD=b，试根据图形证明：a+b≥2． [结论应用]若a＞0，则当a＝　 　时，代数式a+有最小值为　 　． [问题解决]（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个．当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？ （2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y＝（x＞0）上的任意一点，过点M作MC⊥x轴于点C, MD⊥y轴于点D．则四边形ABCD面积的最小值为 ． 重难点十一 与反比例函数有关的存在性问题 与反比例函数有关的存在性问题，关键是利用四边形的性质和判定求出点坐标. 例11.如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且． （1）求点的坐标和反比例函数的解析式； （2）点在轴上，反比例函数图象上存在点，使得四边形为平行四边形，求的面积． 【变式11-1】如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出正比例函数值小于反比例函数值时自变量的取值范围； （3）若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到点，在轴上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】如图，已知直线与双曲线上交于、两点，且点的纵坐标为-2． （1）求的值； （2）若双曲线上一点的纵坐标为，求的面积； （3）若、、、为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点的反比例函数解析式． 重难点十二 反比例函数与图形变换综合 例12.如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第二象限交于点A（m，3），将直线向上平移后与反比例函数的图象在第二象限交于点C，如果△AOC的面积为24，则平移后的直线的函数表达式是 ______________． 【变式12-1】如图，在平面直角坐标系中，点B在y轴正半轴上，点C在x轴负半轴上，且点C的坐标为（﹣2，0），∠CBO＝30°，将△BCO沿着BC翻折得到△BCA，点O的对应点A恰好落在反比例函数y的图象上，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出当x＞0时，不等式kx+b0的解集． 【变式12-2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（4，0），（0，3），动点D在边BC上，且不与点B重合，连结AD，把△ABD沿AD翻折得到△AED，点E落在双曲线y上，当CE长度最小时，k的值为（　　） A． B． C． D．6 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $