第1章 反比例函数单元复习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本单元复习同步练通过基础巩固、中档应用、拔高探究三层设计，覆盖反比例函数概念、几何应用及综合探究，梯度合理，适配单元教学目标，培养数学抽象、推理及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数基本概念（k值、图像性质）|选择填空为主，如1-4题直接考查概念辨析，9-12题强化基础运算| |中档|几何与函数结合（面积、中点、图形变换）|融入几何情境，如5-8题结合中点、菱形，13-16题涉及图形面积与坐标| |拔高|综合探究与实际应用（函数综合、项目式学习）|含项目式探究（24题）及跨知识综合题（21-23题），培养创新思维与问题解决能力|

第1章 反比例函数 单元复习 一、单选题 1．已知点在反比例函数的图象上，则k的值为（     ） A．6 B． C．12 D． 2．下列各点，不在函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象在第一、三象限 B．当时，y的值随x的增大而减小 C．当时， D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 4．已知点，，在反比例函数的图像上，那么，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则（     ） A．12 B．15 C．30 D．10 6．如图，第一象限的角平分线与反比例函数的图象交于点．点、点分别在轴和轴的正半轴上，分别连接、，若，且四边形的面积为．则的值为（     ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上，轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 二、填空题 9．若反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值可以是________． 10．已知一个反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则的值为_________． 11．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 12．在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是______． 13．如图，的直角顶点在轴上，函数的图象经过边的中点，且交于点，连接，则______． 14．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，则代数式的值为__________． 15．如图，已知，将线段向右平移个单位长度后，点，恰好同时落在反比例函数的图像上，且对应点分别为点，，则_____． 16．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 三、解答题 17．已知反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点是否在这个反比例函数的图象上． 18．已知反比例函数（k为常数，）图象经过一、三象限． (1)若反比例函数经过点． ①求反比例函数解析式； ②若点在这个函数图象上，求m的值． (2) 若点和点都在反比例函数图象上，试比较a，b，c的大小关系． 19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)动点P在x轴上，当的面积等于9时，请求点P的坐标． 20． 已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 21．已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5． (1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式； (2)求点的坐标； (3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．【模型认识】如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证得，因直线，线段，线段组成的图形形似字母“”，所以我们将这个模型称为“形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题： 【模型运用】 (1)如图1，在等腰中，，，以为原点作平面直角坐标系，与轴重合，点，求点的坐标； (2)如图2，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，将点绕点顺时针旋转得到点，恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，点是直线上的一点，连接，，，当满足，且时，请直接写出此时点的坐标． 24．项目式学习 在数学综合实践活动中，某小组开展反比例函数与几何角度项目探究学习，阅读下列材料并完成探究问题． 用固定双曲线三等分锐角 阅读材料 古希腊有著名的三等分角难题，仅用圆规和直尺是不可能将任意锐角三等分．数学家帕普斯借助反比例函数构图，给出了一种“三等分锐角”的方法，作图步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以的长为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 问题解决 (1)任务1：设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上． (2)任务2：证明： (3)任务3：结合上面项目探究的构图方法、图形特征以及归纳得到的规律进行解答．如图2，若直线与反比例函数交于点C；D为反比例函数第一象限上的点，且，根据材料中提供的构图方法求出D点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：把点代入可得． 2．D 【分析】根据题意可知，横纵坐标的乘积为的点才在该反比例函数的图象上，且横坐标不为0，据此逐个验证选项即可． 【详解】解：由题意得，反比例函数图象上的任意点满足，且． A选项：，满足条件，点在图象上． B选项：，满足条件，点在图象上． C选项：，满足条件，点在图象上． D选项：，此时函数无意义，且，不满足条件，点不在图象上． 3．D 【分析】根据反比例函数的性质，结合，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象分布在第二、四象限，选项A错误； ∵，当时，y的值随x的增大而增大，选项B错误； 当时，，当时，，包含的情况，因此不是所有满足的y都满足，选项C错误； 若点在函数图象上，则，整理得，即， 因此点满足函数解析式，故也在该函数图象上，选项D正确． 4．C 【分析】先根据确定反比例函数的图像位置与增减性，再结合各点横坐标的符号判断的正负，最后比较同一象限内的函数值大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴函数图像分布在第二、四象限，且每个象限内随的增大而增大． ∵，，， ∴点在第二象限，点在第四象限． ∴，，，可得且． 又∵，根据函数增减性可得． ∴三者大小关系为． 5．A 【分析】由题意易得，根据勾股定理可得，然后由中点坐标公式可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，点C为的中点，， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴根据中点坐标公式可得，即， ∵反比例函数的图象经过点C． ∴． 6．A 【分析】过点作轴，轴，可证四边形是正方形、，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的面积公式可以求出点的坐标为，用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，轴， ， 四边形是矩形， ∴， ， 是第一象限的角平分线， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 点的坐标为， 代入反比例函数的解析式， 可得：， ． 7．B 【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解. 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 8．C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 9． （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据反比例函数的图象性质，当图象位于第一、三象限时，比例系数大于0，由此得到关于的不等式，求出的取值范围，再取范围内任意一个值即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ，解不等式得， 因此的取值可以是任意大于的数，可以取（答案不唯一，任意满足的实数均可）． 10． 【分析】设反比例函数解析式为，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于比例系数列等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 反比例函数图象经过点和， ， 整理得 ， 解得 ． 11． 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 12．1 【分析】过点作垂直于轴，过点作垂直于轴，根据点的坐标求出的长度，利用勾股定理求出的长度，再通过解直角三角形求出的长度，最后利用“字模型”求出的距离，根据的几何意义求解． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为点，过点作垂直于轴，垂足为点， ∴， ∵点， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即，解得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴， 又∵， ∴， 又∵反比例函数图像在第一象限， ∴． 13．9 【分析】设，得到，求出，即，然后得到，求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过边的中点 ∴设 ∴ ∵的直角顶点在轴上 ∴轴 ∴点D的横坐标为 将代入 ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 14．/ 【分析】由题意，得到，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可． 【详解】解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ，则， ． 15．5 【分析】先根据平移得到点的坐标，然后根据平移后的点在反比例函数图像上可得到结果． 【详解】解：∵， ∴右平移d个单位长度后，得到， ∵点，恰好同时落在反比例函数的图像上 ∴， 解得：． 16． 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2)点不在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式； （2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可． 【详解】（1）将点代入，解得： ， ， 所以反比例函数解析式是：． （2）将点的横坐标代入，解得： ， ， 所以点不在这个反比例函数的图象上． 18．(1)①；②， (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求出反比例解析式即可； 将点代入（1）中的函数解析式中，求出m的值即可； （2）根据反比例函数的性质及点、的坐标可得点、在第一象限，据此列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①反比例函数经过点， ， 解得， 反比例函数解析式， ②点在这个函数图象上， ，即， 解得：或， 因此，m的值为或； （2）反比例函数图象经过一、三象限， 在每一象限内随x的增大而减小， 点和点都在反比例函数图象上， ， 解得：， a，b，c的大小关系为：． 19．(1)， (2)或 【分析】（1）根据点坐标求出，得到反比例函数解析式，据此求出点坐标，再将，代入求出一次函数解析式； （2）设点的坐标为，求出直线与轴交点，再结合的面积为9得到关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ，则， 反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：如图， ∵点P在x轴上， ∴设点的坐标为， 对于直线，令，则，解得， 直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴ 解得：或， 或． 20． 与的函数关系式为；当时， 【分析】先根据正比例和反比例的定义，分别设出y与x、z与y的解析式，利用待定系数法求出对应系数，再整理得到z与x的函数关系式，最后代入x的值计算z即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； ∵与成反比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； 把代入，得， ∴， 即与的函数关系式为， 当时，代入得． 21．(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据函数图象即可求解； （3）分两种情况：以为腰和以为底边，分别进行解答即可． 【详解】（1）将代入中，得， ∴反比例函数的表达式为； ∵在的图象上， ∴， 将、坐标代入得， ， 解得 ∴一次函数的表达式为； （2）由函数图象可知： 当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）①当以为腰时， ∵， ∴， ∴点P的坐标为，或； ②当以为底边时， 如图，过点A作轴于点D，连接， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵此时点P在x轴负半轴， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题、一次函数图象的性质，涉及到反比例函数性质，等腰三角形的判定及其性质、勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论的数学思想． 22．(1)，，反比例函数解析式为 (2) (3)点坐标为或或或, 【分析】（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标； （2）过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点 、 关于原点对称， ； 综上，，，反比例函数解析式为； （2）过作轴，交于点， 设， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （3）， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于 轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ,； 综上，点坐标为或或或,． 23．(1) (2)反比例函数的表达式为，直线的函数表达式为； (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据证明，结合全等三角形性质推出点坐标，设直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，结合一次函数图象与性质，以及全等三角形性质推出点的坐标，再设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为，利用待定系数法求解，即可解题； （3）设点的坐标为，过点作于点，过点作于点，根据点是直线上的一点，分两种情况①当点在轴上方时，②当点在轴下方时，结合全等三角形性质与判定，以及勾股定理分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ， 点， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：过点作轴于点， 由题知， 由（1）同理可证，， 一次函数的图象交轴于点，交轴于点， 且当时，，当时，， ，即， ， ， ， 设反比例函数的表达式为和直线的函数表达式为， 则， 反比例函数的表达式为， 又有， 解得， 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为， 过点作于点，过点作于点， ①当点在轴上方时， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； ②当点在轴下方时， 同理可求得， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24．(1) 证明：直线的函数表达式为， 的坐标满足， 点在直线上. (2)证明：连接，交于点，如图，由题意得四边形是矩形， ，，， ， ， ． 是的半径，且的半径是 ， ， ， ． 轴， ， ，即 (3)； 【分析】（1）根据矩形的性质和点的坐标，求出和点坐标，将代入正比例函数即可求出直线的解析式，将点代入即可判断是否满足在直线的解析上． （2）根据矩形的性质求出，利用等腰对等角和外角的性质即可求出和的关系，根据平行线的性质判断和的关系，利用作图的思想判断出和的关系，通过等量转化即可证明． （3）根据题中的作图法以及前两位的所得到的规律，先求出点的坐标，根据矩形的性质设点的坐标参数，几何勾股定理即可求出参数的值，从而求出坐标，即可知道点坐标，联立直线解析式和反比例函数即可求出的坐标． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 由题意得， 四边形为矩形， ，， ，， 把点代入得， 直线的函数表达式为， （2）证明：略 （3）解：当点在下方时，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得，（舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去） 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 同理，当点在上方，以点为圆心，以为半径作弧交函数的图象交于点，分别过点和作轴、和轴的平行线交分别于点． 联立方程， 解得，（舍去）， ， ， 由作图可知，， 四边形为矩形， 设，则，， 在中， ， ， ，（负值舍去） ． ， ， （舍去）， 时，， ， 在直线上，设直线的解析式为， ， 联立直线解析式和反比例函数得， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，矩形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键在于第三问要分情况讨论，解题的易错点在于开方容易出错． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $