2.2.3一元二次方程解法-公式法专项练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程公式法的判别式应用与求解，通过选择、填空、解答题梯度训练，构建“概念理解-根的判断-公式应用-参数探究”的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础理解|15题（选择8+填空7）|判别式计算、根的情况判断、参数取值范围|从判别式概念（Δ=b²-4ac）到根的三种情况判断，夯实公式法应用基础| |综合应用|5题|公式法解方程、根的存在性证明、参数最值探究|从直接求解到含参问题论证，体现“概念-推理-应用”的数学思维过程|

2.2.3一元二次方程解法-公式法 专项练习答案与解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每题 3 分，共 24 分） 1、答案：A 解析：将方程整理为一元二次方程的一般形式，移项得：，因此，，。 2、答案：A 解析：一元二次方程能用公式法求解，前提是方程有实数根，即根的判别式。对于方程，，，，因此需要满足。 3、答案：B 解析：对于方程，计算判别式： ， 因此方程有两个相等的实数根。 4、答案：D 解析：逐个计算各选项的判别式： A 选项：，，无实根； B 选项：，，两个相等的实根； C 选项：，，无实根； D 选项：，，两个不相等的实根。 5、答案：A 解析：对于方程，，，， 判别式， 代入求根公式得：，即。 6、答案：B 解析：对于方程，，，， 判别式，因此方程有两个不相等的实数根。 代入求根公式得：，解得。 7、答案：C 解析：方程是一元二次方程，因此， 方程有两个相等的实数根，因此判别式， 解得，。 8、答案：C 解析：方程是一元二次方程，因此，即。 方程有实数根，因此判别式， 即，解得。 综上，的取值范围是且。 二、填空题（本大题共 7 小题，每题 3 分，共 21 分） 9、答案：17 解析：对于方程，判别式。 10、答案：有两个不相等的实数根 解析：对于方程，判别式，因此方程有两个不相等的实数根。 自查：判别式计算正确，根的情况判断无误。 11、答案： 解析：已知方程的判别式为 25，即， 解得，，。 因此原方程为，代入求根公式得： ，解得。 12、答案：不存在这样的实数（或无解） 解析：对于方程，若它是一元二次方程，则， 其判别式。 对配方得：，其最小值为，即恒大于 0， 因此无论取何值，该方程（无论是一元二次还是一次方程）都有实数根，不存在使得方程无实根的。 13、答案：或 解析：方程有两个相等的实数根，因此判别式，解得。 相等的实数根为： 当时，； 当时，。 因此方程的根为或。 14、答案：6 或 解析：先解方程，判别式，根为，即两根为 4 和 6。 分两种情况讨论直角三角形的斜边： 若 6 是直角边，则 4 也是直角边，斜边为； 若 6 是斜边，则 4 是直角边，符合直角三角形的边长要求。 因此斜边长为 6 或。 15、答案：2 解析：对于方程，其判别式， 即， 展开得：， 整理得：，解得或。 因为该方程是一元二次方程，所以，因此。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 55 分） 16、解析与答案 （1）解方程 这里，，， 判别式， 代入求根公式：， 解得：。 （2）解方程 这里，，， 判别式， 代入求根公式：， 解得：。 （3）解方程 这里，，， 判别式， 代入求根公式：， 解得：。 （4）解方程 先整理为一般形式：， 这里，，， 判别式， 代入求根公式：， 解得：。 17、解析与答案 因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为 0，即，解得。 方程有实数根，因此根的判别式， 即， 化简得：，解得。 综上，的取值范围是且。 18、解析与答案 证明：对于方程，计算其判别式： 配方得：。 因为无论取何实数，都有， 所以， 因此无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根。 19、解析与答案 方程有实数根，因此判别式， 计算判别式： 。 令，即，解得。 因此的最小值为。 20、解析与答案 （1）证明：方程总有两个实数根 对于一元二次方程x2−(k+3)x+2k+2=0，计算其根的判别式： Δ=[−(k+3)]2−4×1×(2k+2)=k2+6k+9−8k−8=k2−2k+1=(k−1)2​ 因为无论k取任意实数，都有(k−1)2≥0，即Δ≥0，因此该方程总有两个实数根。 （2）对原方程进行因式分解（或用公式法求解）：原方程可整理为：(x−2)(x−(k+1))=0，因此方程的两个根为：x1=2，x2=k+1。 已知方程有一个根小于 2，而其中一个根x1=2不满足 “小于 2” 的条件，因此需要另一个根满足：k+1<2解得：k<1。 综上，k的取值范围是k<1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2.3一元二次方程解法-公式法 专项练习 一、选择题（本大题共 8小题，每题3分，共24分） 1、用公式法解时，先求出的值，则依次为（） A. B. C. D. 2、如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是 () A. B. C. D. 3、一元二次方程的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 4、下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（） A. B. C. D. 5、用公式法解方程，得到的根是（） A. B. C. D. 6、用公式法解方程，下列说法正确的是（） A. 方程有两个相等的实数根 B. 方程有两个不相等的实数根， C. 方程没有实数根 D. 方程的根为 7、若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（） A. B. C. D. 8、若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 二、填空题 9、一元二次方程的判别式的值是 。 10、不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 。 11、关于的一元二次方程根的判别式的值是，则此方程的解为 。 12、若关于的方程无实根，则的取值范围是 。 13、若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是 。 14、已知的两边长是方程的两个根，则的斜边长为 。 15、关于的一元二次方程，其根的判别式的值为，则的值为 。 三、解答题 16、用公式法解方程： （1）。 （2）。 （3）。 （4）。 17、已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围。 18、求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根。 19、若方程有实数根，求的最小值。 20、关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于2，求k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $