2.2一元二次方程的解法同步练习2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-综合应用-创新拓展”为梯度，覆盖一元二次方程解法全知识点，通过不同题型培养运算能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法基本应用|以选择、填空、解答题强化基本运算，如解方程题直接考查解法步骤| |提升层|判别式应用、根与系数关系、实际情境应用|结合等腰三角形周长计算等情境，培养推理意识，如单选题5综合方程根与三角形性质| |拓展层|换元法、新定义运算、证明题|通过换元法解方程（23题）、证明非等边三角形（22题），发展创新意识与数学语言表达|

2.2一元二次方程的解法 同步练习 一、单选题 1．方程x2﹣1＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根 2．方程的根是（    ） A． B．或 C． D．或 3．在用公式法解方程时，下列求根公式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 5．已知是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰的一边长为3，若恰好是另外两边长，则周长为 （   ） A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 6．方程有两个相等的实数根，则m的值为（     ） A． B． C． D． 7．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（     ） A． B． C． D． 8．已知是方程的一个根，那么的值是（    ）. A．或－1 B．或1 C．或1 D． 9．若一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根，则k的取值范围是(   ) A．k≤ B．k＜ C．k≤且k≠1 D．k≥ 10．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（   ） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 二、填空题 11．方程的根是__________． 12．将方程化为的形式为________． 13．若关于的方程有一根是，则另一个根是___________． 14．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______ ． 15．已知代数式x2－4与代数式x2的值互为相反数，那么x的值为______． 16．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)； (3)． 18． 用适当的方法解方程：． 19．解方程： (1)； (2)． 20．若代数式与的值互为相反数，求的值． 21．用因式分解法解下列方程： （1）；（补全解题过程） 解：原方程可变形为， 分解因式，得______________________________． ∴，或． ∴，． （2） ． 22． 已知关于x的方程的两根不相等，且a、b、c为的三边长．求证：不是等边三角形． 23．解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，，当时，即，解得；当时，即，解得，所以原方程的解为，；解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为 ，解得，，当时，即，解得，；当时，即，解得，；所以原方程的解为，，，；以上解法称为换元法． 请利用这种方法解方程： (1)； (2)． 24．我们知道可以用公式来分解因式解一元二次方程． 例如：，方程分解为______， ，方程分解为______． 爱钻研的小明同学发现二次项系数不是１的方程也可以借助此方法解一元二次方程． 例如：． 解：方程分解为，从而可以快速求出方程的解． (1)补全题中空白部分的内容． (2)请利用此方法解方程． (3)请利用此方法解关于x的一元二次方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据解一元二次方程﹣直接开平方法解方程即可． 【详解】解：x2﹣1＝0， x2＝1， ∴x1＝1，x2＝﹣1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 2．B 【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： 移项，得 解得：或 故选B． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 3．D 【解析】略 4．A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 5．A 【分析】本题考查一元二次方程的根与等腰三角形的性质．需分两种情况讨论：3为腰长或底边长．当3为腰长时，代入方程求出m的值并验证三角形三边关系；当3为底边时，方程需有相等实根，求出m的值并验证．最终符合条件的周长为9． 【详解】解：当3为腰长时：将代入方程，得：， 解得：或． 当时，方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 当时，方程为，解得：，． 三边为3，3，7，则，无法构成三角形； 当3为底边时：此时方程需有相等实根（两腰相等），即判别式： 则，解得：， 此时方程为，解得：，三边为3、3、3，周长为． 综上，符合条件的周长为， 故选：A． 6．D 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数即可求解的值． 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 代入系数得 ，即 ，解得 ． 7．C 【详解】解：A、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； B、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根； C、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根； D、∵在方程中，， ∴这个方程根的判别式为，没有实数根． 8．B 【分析】把x=1代入方程，得出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】把x=1代入方程（m2﹣1）x2﹣mx+m2=0得：（m2﹣1）﹣m+m2=0，即2m2﹣m﹣1=0，（2m+1）（m﹣1）=0，解得：m或1． 故选B． 【点睛】本题考查了方程的解和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是得出关于m的方程． 9．C 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程(k－1)x2＋2kx＋k＋3＝0有实数根， ∴且， 解得：k≤且k≠1． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 10．C 【分析】先直接开平方求得a2+b2﹣3＝±5，然后再整体求出a2+b2即可． 【详解】解：∵（a2+b2﹣3）2＝25， ∴a2+b2﹣3＝±5， ∴a2+b2＝3±5， ∴ a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2 ∵a2+b2≥0 ∴a2+b2＝8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法和代数式求值，掌握运用直接开平方法解一元二次方程和整体思想是解答本题的关键． 11．， 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 12． 【分析】将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果． 【详解】x2-2x-3=0， 移项得：x2-2x=3， 配方得：x2-2x+1=4，即（x-1）2=4． 故答案是：（x-1）2=4． 【点睛】考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 13． 【分析】将已知根代入一元二次方程，求出参数的值，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入方程， 可得， 解得， 则原方程为， 可得， 解得，， 故方程的另一个根是． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得， 所以的值为． 故答案为：． 15．± 【分析】根据相反数的性质列出关于x的方程，再利用直接开平方法求解可得． 【详解】根据题意 整理得 X=± 【点睛】本题考查相反数及解二元一次方程，熟练掌握计算法则是解题关键. 16． 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 17．(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 解得或 所以，原方程的根是，． （2）解： 整理得 或 解得或 所以，原方程的根是，． （3）解： 移项，得 或 解得或 所以，原方程的根是，． 18．， 【详解】解：， ∴ ， ∴或， 解得，． 19．(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 20． 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵代数式与的值互为相反数， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 21．（1）；（2） 【分析】（1）把5-x看成一个整体，当公因式提出来即可得出答案. （2）利用配方法即可求出答案. 【详解】解：（1） （2）原方程可变形为． ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法：因式分解法，属于一元二次方程的基础知识比较简单. 22．见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和等边三角形的判定，先将方程整理，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根，知，假设为等边三角形，则，可得与题干矛盾，假设不成立即可得出答案． 【详解】解：原方程整理得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 假设为等边三角形，则， 那么，矛盾， ∴不是等边三角形． 23．(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了换元法解特殊形式的一元二次方程，因式分解法解一元二次方程； （1）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，再求得x的值即可； （2）根据方程的特点，设，则原方程化为，解此方程求得y的值，分别代入中，再解一元二次方程，求得x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 解得：，； 当时，即，解得； 当时，即，解得， 所以原方程的解为，； （2）解：设，则原方程化为， 解得：，； 当时，即，解得，； 当时，即，解得，； 所以原方程的解为，，，． 24．(1)； (2)， (3)或 【分析】（1）根据题意因式分解，即可求解． （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴可以分解为， ∵， ∴可以分解为； 故答案为：；． （2）∵， ∴可分解为， ∴或， ∴，． （3）∵， ∴可分解为， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $