25.1一元二次方程暑假预习同步训练2026-2027学年九年级上册数学人教版

**基本信息** 以“概念辨析-技能应用-综合拓展”为梯度，通过选择、填空、解答题分层设计，覆盖一元二次方程定义、一般形式及根的核心考点，适配暑假分层巩固，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|定义判断、系数确定|单选8考定义三条件，填空14区分一元二次与一次方程| |技能应用层|根的性质、方程转化|单选3结合根求参数，填空11考根的判别式| |综合拓展层|证明与跨知应用|解答题16证根的存在性，19融合解法与根与系数关系|

25.1一元二次方程同步训练 一、一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 判断时必须同时满足三个条件： （1）是整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数） （2）只含一个未知数 （3）未知数的最高次数是2（化简后） 注意：必须先化简再判断！例如展开后二次项抵消，是一元一次方程，不是一元二次方程。 二、一般形式 任何一个一元二次方程经过整理都可以化为： 名称 表达式 说明 二次项 a是二次项系数，要求 一次项 bx b是一次项系数（b可为0） 常数项 c （c可为0） 注意：为什么？若 a=0，方程变为 bx+c=0，退化为一元一次方程，不符合"二次"的要求。 找系数前必须先化为一般形式，且系数要带前面的符号！ 例：将 3x(x−1)=5(x+2)化为一般形式 展开： 移项合并： 二次项系数 a=3，一次项系数 b=−8，常数项 c=−10 3、 一元二次方程的根（解） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做它的根（解）。 判断方法：将数值代入原方程，若左边＝右边，则是根。 常用结论（常考）：若 x=1是根 → a+b+c=0；若 x=−1是根 → a−b+c=0 方程 是否是一元二次方程 理由 是 满足三条件 否 分母含未知数（分式方程） 否 含两个未知数 否 最高次是3次 否 二次项抵消，甚至不是方程 四、快速判断示例 一、单选题 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的有关定义，解题的关键是掌握相关定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，一般形式为，其中，，分别为二次项，一次项和常数项．先将一元二次方程化为一般式，即可求解． 【详解】解：由可得， 则常数项为，D选项符合题意． 2．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】C 【分析】将代入原方程，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根 ∴将代入原方程得， ∴ ，即的值为． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 4．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 5．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 【答案】C 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴． 6．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 7．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 8．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 9．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 10．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 二、填空题 11．，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根，说明该方程为一元二次方程，二次项系数不为，且根的判别式大于等于，再利用图象法解不等式即可． 【详解】解：，为方程的两个实数根， 该方程为一元二次方程，可得， 这里，，， ． 方程有两个实数根， ，即， 整理得，， 故令，其函数图象如下图所示： 当时，即， ，即，， 由图象可知，当时，即， 此时，， 综上，的取值范围是且． 12．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】需分类讨论求解，当时方程为一元一次方程，直接判断根的情况，当时方程为一元二次方程，根据根的判别式判断取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 方程有实数根， ， 化简得， 解得且， 综上，的取值范围是． 13．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是一元二次方程， ． 方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上可得，实数的取值范围是且． 14．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 【答案】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到，求解即可； （2）根据一元一次方程的定义得到，求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． （2）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴． 15．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 三、解答题 16．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】(1) 解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【详解】（1）略 （2）解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 17．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 【答案】(1)不是原方程的解； (2)，． 【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断； （）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：将代入得，左边，右边， ∵左边右边， ∴不是原方程的解； （2）解：， ， 或， ∴，． 18．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 19．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【答案】(1) (2)选择方程①，，（答案不唯一）； (3) 【分析】（1）由一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程即可得； （2）根据解一元二次方程的方法解答即可； （3）本题考查根与系数的关系，与一元二次方程解的定义，先利用方程的解的定义对式子进行化简，再由根与系数的关系：，即可得． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 20．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答； （2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得， ∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11． （2）解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴或， ∴或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1一元二次方程同步训练 一、一元二次方程的定义 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 判断时必须同时满足三个条件： （1）是整式方程（分母不含未知数，根号内不含未知数） （2）只含一个未知数 （3）未知数的最高次数是2（化简后） 注意：必须先化简再判断！例如展开后二次项抵消，是一元一次方程，不是一元二次方程。 二、一般形式 任何一个一元二次方程经过整理都可以化为： 名称 表达式 说明 二次项 a是二次项系数，要求 一次项 bx b是一次项系数（b可为0） 常数项 c （c可为0） 注意：为什么？若 a=0，方程变为 bx+c=0，退化为一元一次方程，不符合"二次"的要求。 找系数前必须先化为一般形式，且系数要带前面的符号！ 例：将 3x(x−1)=5(x+2)化为一般形式 展开： 移项合并： 二次项系数 a=3，一次项系数 b=−8，常数项 c=−10 3、 一元二次方程的根（解） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做它的根（解）。 判断方法：将数值代入原方程，若左边＝右边，则是根。 常用结论（常考）：若 x=1是根 → a+b+c=0；若 x=−1是根 → a−b+c=0 方程 是否是一元二次方程 理由 是 满足三条件 否 分母含未知数（分式方程） 否 含两个未知数 否 最高次是3次 否 二次项抵消，甚至不是方程 四、快速判断示例 一、单选题 1．一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C．5 D． 2．若1是方程的根，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D． 3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 4．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 5．若是关于x的一元二次方程，则（     ） A． B．且 C． D．p为一切实数 6．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 7．将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 8．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 9．若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 10．若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．，为方程的两个实数根，则k的取值范围为_____． 12．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 13．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________． 14．（1）关于x的方程是一元二次方程，则m_________； （2）关于x的方程是一元一次方程，则m_________． 15．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 三、解答题 16．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个不等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求代数式的值． 17．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示： 小江同学： 解：， 所以或， 所以，． (1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）； (2)请选择合适的方法解原方程． 18．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 19．一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3) 【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 20．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $