1.4.2.2空间中的夹角问题暑期自我训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.2.2　空间中的夹角问题

A级——基础过关练

1．平面α的一个法向量为n＝(1，－，0)，则y轴与平面α所成的角的大小为(　　)

A． B．

C． D．

2．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于(　　)

A． B．

C． D．

3．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

4．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)

A． B．

C． D．

5．在正四棱锥P－ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，则异面直线PE与DB所成的角为(　　)

A． B．

C． D．

6．(多选)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内．下列结论正确的有(　　)

A．直线CM与平面ABCD所成角的余弦值为

B．||的最大值为2

C．cos ∠A1D1P的取值范围为

D．若D1P⊥CM，则△PBC的面积的最小值为

7．已知直线l的方向向量为s＝(－1，1，1)，平面α的法向量为n＝(1，2，－3)，则直线与平面夹角的余弦值为________．

8．在空间中，已知平面α过点(3，0，0)和点(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，那么a＝________．

9．如图，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝CD＝4，AD＝2．

(1)求AP与平面CMB所成角的正弦值；

(2)求二面角M－CB－P的余弦值．

B级——综合运用练

11．(多选)如图，已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，则(　　)

A．A1D与B1D1是异面直线

B．A1D与EF所成角的大小为45°

C．A1F与平面B1EB所成角的余弦值为

D．二面角C－D1B1－B的余弦值为

12．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点，则异面直线A1E，CF所成角的大小为________；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为________．

13．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在棱A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．

C级——创新拓展练

14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，D′O＝．

(1)求证：D′H⊥平面ABCD；

(2)求平面ABD′与平面ACD′夹角的余弦值．