1.4.2用空间向量研究距离 夹角问题 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.4.2用空间向量研究距离.夹角问题 1． 知识梳理 1.点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为μ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设=a，则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=. 2.两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离. (二)､点到平面的距离､两个平行平面之间的距离 点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则点P到平面α的距离为PQ=. 2.如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. 3.两个平行平面之间距离 如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解. 2． 每日一练 一、单选题 1．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知△ABC的顶点A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则BC边上的中线长为（ ） A． B． C． D． 3．四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1＝3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，E是O1A的中点，则点E到平面O1BC的距离为（ ） A．2 B．1 C． D．3 4．已知Rt△EFG的直角顶点E在平面α内，斜边FG∥α，且FG＝6cm，EF，EG与平面α分别成30°和45°角，则FG到平面α的距离是（ ） A．cm B．cm C．2cm D．2cm 5．已知四边形ABCD为正方形，P为平面ABCD外一点，PD⊥AD，PD＝AD＝2，二面角P-AD-C为60°，则P到AB的距离是（ ） A．2 B． C．2 D． 6．如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 8．在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，为正方体，下列结论中正确的是（　　） A．平面 B．平面 C．与底面所成角的正切值是 D．过点与异面直线与成角的直线有条 10．如图，在正方体中，、、分别为、、的中点，则（ ） A． B．平面 C． D．向量与向量的夹角是 11．在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C．平面的一个法向量为 D．二面角的余弦值为 12．三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小可能为（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．如图，在正三棱柱中，分别是的中点．设D是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与所成角的余弦值为，则线段的长为_______． 14．已知在棱长为a的正方体ABCD-A′B′C′D′中，E是BC的中点，则直线A′C与DE所成角的余弦值为________． 15．如图所示，ABCD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足，则P点到直线AB的距离为________． 16．已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是________________.（结果用反三角函数值表示） 四、解答题 17．如图，在三棱柱中，底面，，. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 18．如图所示，在直三棱柱中，侧面为长方形，，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线和平面所成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.且Q为线段的中点 （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求直线与平面所成角的大小 20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.直线与平面所成的角为. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 21．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平