1.1.1 空间向量及其线性运算课后同步练习-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量线性运算，通过基础、中档、提升三层设计，实现从单一运算到综合应用的知识巩固，适配暑假复习与能力提升。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础（1-5题）|空间向量线性运算、共线条件|单选形式，直接考查概念应用，培养运算能力与空间观念| |中档（6-11题）|共面判断、命题辨析|多选与单选结合，综合多个知识点，发展推理能力与几何直观| |提升（12-16题）|向量化简、四点共面证明|填空与解答题，强调综合应用，体现模型观念与应用意识|

1.1.1 空间向量及其线性运算课后同步练习 1．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 5．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 6．（25-26高二上·海南·阶段检测）对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线性运算法则，结合三点共线的性质，即可判断（1）的正误；根据线性运算法则，结合向量共面的性质，可判断（2）、（3）的正误，即可得答案. 【详解】对于（1）：若，则 ， 所以，即， 说明A在直线BC上，故三点共线，充分性成立； 若三点共线，则存在，使得， 所以，整理得， 此时，必要性成立， 所以是三点共线的充要条件，故（1）正确. 对于（2）：因为， 所以是共面向量，故（2）正确； 对于（3）：由题意 ， 因为点M在平面ABC内， 所以，解得，故（3）错误. 故选：C 7．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 8．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 9．（25-26高二上·广西桂林·期末）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 11．（25-26高二上·辽宁本溪·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【分析】根据向量的共线向量定理、共面向量定理及平行概念，再结合充要条件即可求解. 【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确； 对于B，由反向共线，可得，故B不正确； 对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则 ，即， 所以四点共面，故C正确； 对于D,若为空间四点，且有（不共线）， 当，即时，可得，即， 所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件， 故D正确. 故选：ACD. 12．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】； ； ； 故答案为：；；. 13．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 【答案】3 【分析】由空间四点共面的向量表示即可求解. 【详解】由题意得，则， 因为A，B，C，D四点共面，所以，解得. 故答案为：3 15．（25-26高二上·全国·期中）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    【答案】证明见解析 【分析】取中点，连接，，.先证明，再证明，即可证明. 【详解】取中点，连接，，，如图所示. 因为点是中点，所以. 因为点为的中点，所以， 因为， 所以， 因为，点是中点，所以G为HD的中点. 又点为的中点，所以为的中位线， 所以， 所以，，，四点共面.    16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1 空间向量及其线性运算课后同步练习 1．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·海南·阶段检测）对于下列命题： （1）若为空间不重合的四点(无三点共线)，且有，则是三点共线的充要条件. （2）对于空间的任意三个向量，它们一定是共面向量. （3）已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则的值为. 正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 8．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广西桂林·期末）（多选）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·辽宁丹东·期末）（多选）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 11．（25-26高二上·辽宁本溪·期末）（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 12．（25-26高二上·青海海南·阶段检测）如图，在四面体中，，，分别是，，的中点，化简：______，______，______．    13．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 14．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）已知三棱锥中，点平面ABC，若，则__________. 15．（25-26高二上·全国·期中）在正方体中，，分别为，的中点，若点满足，证明：，，，四点共面.    16．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $