1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步练习-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量数量积同步练习分层设计科学，从概念辨析到几何体综合应用梯度递进，强化运算能力与空间观念，适配暑假巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积性质辨析|单选考定义与性质，培养数学思维的推理意识| |中档层|几何体中数量积、投影计算|结合长方体、三棱锥情境，提升几何直观与运算能力| |提升层|动点、翻折问题综合应用|解答题含向量表示与长度计算，发展空间观念与创新意识|

1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步练习 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 4．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 5．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以， 即， 所以， 解得. 8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 9．（2026·江西·模拟预测）（多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 【答案】BCD 【分析】根据题意，可得平面，则，可判断A；根据面面平行的判断定理判断B；根据，则解得，进而求得，判断C；过点作于点，则平面，故为平行六面体的高，求体积判断D. 【详解】连接，∵底面是边长为1的菱形，， 平面平面，， 平面，平面， 平面，，A错误； ，四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，同理可知平面， 又平面， 平面平面B正确； 平面平面， ， 则， 即， 又， 设的长度为，故，解得，负值舍去， 又， 故   ， C正确； ， 又， 故，故， 过点作于点，则， 平面平面，， 平面为相交直线， 平面，故为平行六面体的高， 菱形的面积为， 则平行六面体的体积为D正确． 10．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量线性运算，可判断A正确；利用空间向量数量积的运算性质与运算，可判断B错误，C正确；根据投影的定义及计算公式，可判断D错误. 【详解】对于A：由，可得， 则，所以A正确； 对于B，由 ，所以，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，向量在方向上的投影数量为，所以D错误； 故选：AC. 11．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 【答案】BCD 【分析】根据相等向量、空间向量垂直、投影向量、投影数量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图，和是相反向量，A错误. 根据正四棱台的性质可知，则，B正确. 设上底面在下底面的射影为， 延长交于点，连接. 根据正四棱台的性质可知， 平面， 平面平面，， 向量在向量上的投影向量为. ， 则向量在向量上的投影向量为，C正确. 向量在向量上的投影数量为，D正确. 故选：BCD    12．（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 【答案】 【分析】取的中点连接、，依题意可得三棱锥为正四面体，即可证明平面，从而得到，即可求出，再由为等边三角形得到. 【详解】取的中点，连接、， 因为为正三棱锥且，所以三棱锥为正四面体， 所以、，又，平面， 所以平面， 又平面，所以，所以，所以， 又为等边三角形，所以， 所以. 故答案为：； 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 14．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 【答案】 【详解】是平行四边形，是对角线交点， 则， 已知， ， ． 15．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 16．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算课后同步练习 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，是异面直线，且，，分别为直线，的单位方向向量，且，，，则实数的值为（   ） A． B．6 C．3 D． 8．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 9．（2026·江西·模拟预测）（多选）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，平面，则（     ）    A．直线与直线所成角为 B．平面平面 C． D．平行六面体的体积为 10．（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）（多选）如图，点，分别是棱长为1的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 11．（25-26高二上·广西钦州·阶段检测）（多选）在正四棱台中，，则（    ） A．和是相等向量 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量在向量上的投影数量为2 12．（25-26高二·全国·寒假作业）如图在正三棱锥中，，则________；________． 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 14．（25-26高二下·江苏盐城·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，则线段的长度为__________． 15．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 16．（2026·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $