1.1.2空间向量的数量积 暑假作业-（新高二）2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修一

1.1.2 空间向量的数量积运算 一．知识梳理 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). 两个向量数量积的性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔_______ ②若a与b同向，则a·b＝______；若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝____或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______ ④|a·b|≤|a|·|b| 二每日一练 一、单选题 1．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则，且是l⊥α的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若均为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ） A．5 B．10 C．12 D．不能确定 5．如图，面，为矩形，连接､､､､，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．设为空间的一个标准正交基底，，，则等于（ ） A．7 B． C．23 D．11 7．已知非零向量不平行，且，则与之间的关系是（ ） A．垂直 B．同向共线 C．反向共线 D．以上都可能 8．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=，各棱长均为1.则下列命题中正确的是（ ） A．不是空间的一个基底 B． C． D．BD⊥平面ACC1A1 10．若是空间任意三个向量，，下列关系中，不成立的是（ ） A． B． C． D． 11．已知是正方体，以下正确命题有（ ） A．； B．； C．向量与向量的夹角为； D．正方体的体积为. 12．(多选)设是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 13．若平面向量为单位向量，， 空间向量满足，，，则对任意的实数，的最小值为___________． 14．已知，，，则________． 15．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E1，F1两点分别在A1B1，C1D1上，且 E1B1＝A1B1，D1F1＝D1C1，求BE1与DF1所成角的余弦值． 16．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________. 四、解答题 17．如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离． 18．三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设. （1）试用表示向量； （2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长. 19．如图所示，在平行六面体中，AB＝AD＝A＝1，∠AD＝∠AB＝∠BAD＝60°，求： （1）A的长； （2）B的长. 20．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长． 21．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60