1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习-2026年暑假预习高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、概念辨析、综合应用三层设计，实现空间向量坐标运算从单一到综合的进阶，适配课时目标，培养空间观念与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算、投影向量等单一概念|8道单选题聚焦基本公式应用，如向量坐标求解、对称点判断| |中档|基底性质、夹角余弦等概念辨析|3道多选题+3道填空题，如四点共面条件、投影向量坐标计算| |提升|空间几何证明与计算综合应用|5道解答题，如四棱锥中线面垂直证明、动点最值问题，融合推理与模型观念|

1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得. 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的数量积运算、向量模长计算、投影向量的定义与公式计算可得. 【详解】在上的投影向量为 . 故选：C 3．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】由空间向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数值，进而得，再应用空间向量模长的坐标运算求结果. 【详解】由，，，， ，解得， 又，则，解得， 所以，， 则，可得. 故选：C 4．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出平面的法向量，结合向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】设， 则，即，令，则，所以. 因为，所以，即，整理得， 解得. 5．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中： 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即，选项A正确； 关于平面对称，平面上的点满足，对称时变为相反数，、不变，即，选项B正确； 关于轴对称，坐标不变，、坐标变为相反数，即.选项C中是关于平面对称得到的坐标，故选项C错误； 关于原点对称，、、坐标都变为相反数，即，选项D正确. 6．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   7．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 8．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用空间向量平行的性质判断A；利用空间向量垂直的性质判断B；根据空间向量坐标运算计算出，利用模长公式计算判断C；利用空间向量夹角余弦的坐标表示判断D. 【详解】对于A，当时，；故A 正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，， 所以，，故C正确； 对于D，当时，， 则， ， 所以，故D错误. 11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 【答案】ABD 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】由题可得， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确， 在上的投影向量的坐标是，故B正确； 与夹角的余弦值是，故C错误； A、B两点间的距离即，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若四点共面，则______. 【答案】/ 【分析】根据空间向量共面定理，可设，根据对应坐标相等求得 【详解】由四点共面，可知存在实数m，n，使得， 即， 则有，解得 故答案为： 13．设，，，，且，，____ ． 【答案】 【分析】先求出的值，再写出的坐标，进行计算即可. 【详解】因为⊥，所以， 解得，可得， 又因为，且， 所以，解得，，则， 又因为，所以， 由模长公式得． 14．已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________.    【答案】/ 【分析】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量求出，，从而求出，利用三角形面积公式求得的面积和的面积，相加即可得到四边形的面积. 【详解】因为四棱锥平面，且，所以如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，则. 设，则. 因为平面，则存在实数，使得. 所以，解得. 所以. ， 所以. ， 所以. 所以的面积为 的面积为. 所以四边形的面积为. 故答案为：    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算进行计算即得； （2）先通过空间向量的坐标运算求得，再由数量积得不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 得 （2） 因为，所以. 解得：或. 16．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以, 所以； （2）因为， 所以， 所以， ，， 设与的夹角为， 则， 又，得； （3）因为， 所以，， 因为与垂直，所以， 故，解得. 17．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断PA与AB的垂直关系，再根据面面垂直的性质定理，推出平面 （2）先建立空间直角坐标系，写出相关点和向量坐标，根据可由和线性表示，列出方程求解计算即可 【详解】（1）因为与都是等腰直角三角形，，， 所以， 中，， 故，即 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面 （2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立直角坐标系，如图所示 ， ，， 设，则， 因为平面，，所以可由和线性表示， 设，则，解得 所以， 所以 18．已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 19．如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． (1)试用，，表示，并求； (2)若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线线角的空间向量计算公式求解即可； （2）根据题意可得M在线段上，N在平面上，结合数量积的定义可得，进而求得最值. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形是边长为2的正方形，则，因为，，所以， 则， 则 . （2）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 取BD的中点为O，MN的中点为G，连接OE，OF，则， 所以，，，， 所以，，，则， 所以. ，，则，又为中点， 所以，，平面， 所以平面， 因为（）， 所以M在线段OE上. 因为， 所以，故N在平面上. 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则 ； 所以， 故， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 空间向量及其运算的坐标表示课时同步练习卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．设x，，向量，，，且，，则 （    ） A． B．3 C． D．4 4．已知向量，，，平面的法向量，若，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中任意一点，则下列叙述错误的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 6．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 10．已知空间向量，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若四点共面，则______. 13．设，，，，且，，____ ． 14．已知四棱锥平面，，点为中点，平面交于点，则四边形的面积为__________.    四、解答题：本大题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 16．已知向量. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数t的值． 17．如图，四棱锥中，与都是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上． (1)证明：平面； (2)若平面，求线段PM长度． 18．已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 19．如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． (1)试用，，表示，并求； (2)若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $