圆锥曲线　极点极线问题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学圆锥曲线极点极线讲义通过知识框架系统梳理核心内容，以椭圆为基础类比双曲线、抛物线，用表格对比三类曲线极线公式，按“定义-几何性质-解题应用”递进呈现，突出位置关系、对偶性等重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于“场景化解题应用”设计，如切点弦、焦点弦等高考高频场景，结合对偶性转化共线/共点问题，培养数学思维与几何直观。例题涵盖选择、解答题，变式训练分层递进，附易错点提醒与技巧总结，助力学生自主突破，教师可据此实施精准复习教学。

圆锥曲线：极点极线问题讲义 圆锥曲线：极点极线问题讲义 知识点解析 1.极点与极线的核心定义（以椭圆为例，双曲线、抛物线可类比） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 补充：双曲线、抛物线的极线公式 曲线类型 标准方程 点对应的极线方程 双曲线 抛物线 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （3）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 3.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 3.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 五、易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. 例题分析 例1．（2025·江苏南通·一模）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·山东济南·期中）法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 例3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段链接）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 例4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 变式训练 变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为 ．    变式2．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 变式3．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 变式4．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 课后提升训练 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征．已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． 其中，极点与极线有以下基本性质和定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹． 根据上述材料回答下面问题：已知椭圆过点，离心率为，其左右顶点分别为．已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点， (1)若，证明：极线恒过定点； (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程； (3)若，极线交的椭圆于两点，点在轴上方，直线，直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：极点极线问题讲义 圆锥曲线：极点极线问题讲义 知识点解析 1.极点与极线的核心定义（以椭圆为例，双曲线、抛物线可类比） 设椭圆方程为，点为平面内任意一点，则： （1）极线：对应点的极线方程为； （2）极点：若直线是某点的极线，则该点（极点）坐标可通过极线方程反推：将直线方程化为，对比极线标准形式，得极点为（时极线过原点，极点在无穷远）. 补充：双曲线、抛物线的极线公式 曲线类型 标准方程 点对应的极线方程 双曲线 抛物线 2.极点与极线的几何性质（核心） （1）位置关系：极点位置决定极线位置 ①若极点在曲线上，则极线为曲线在点的切线（验证：代入满足椭圆方程，极线方程即为切线方程）； ②若极点在曲线外，则极线为过作曲线两条切线的切点连线（切点弦）； ③若极点在曲线内，则极线为曲线的一条弦的极点轨迹（过的弦的两端点切线交点轨迹即为极线）. （2）对偶性（核心思想） ①点在点的极线上点在点的极线上（互极原理）； ②直线过极点极点对应的极线过直线的极点； ③推论：共线点的极线共点，共点线的极点共线。 （3）特殊极点与极线 ①椭圆的焦点对应的极线为准线（双曲线、抛物线同理：焦点极线为准线）； ②原点对应的极线为 “无穷远直线”（无实际几何意义，仅用于射影几何）； ③对称轴上的点对应的极线垂直于对称轴（椭圆 / 双曲线中为垂直于轴的直线）. 3.极点极线的解题应用（高考高频场景） 场景 1：切点弦问题（极点在曲线外） 场景 2：切线交点问题（极点在曲线内） 场景 3：焦点弦相关问题（利用焦点极线为准线） 场景 4：共线 / 共点问题（利用对偶性） 3.解题技巧总结 （1）公式优先：遇到切点弦、切线交点、焦点弦切线交点问题，直接套用极线公式，避免联立方程的复杂计算； （2）对偶转化：将 “点在直线上” 转化为 “直线过点的极点”，将共线 / 共点问题转化为极线的共点 / 共线问题； （3）特殊点验证：焦点、准线、原点等特殊点的极线性质可快速验证结论是否正确； 五、易错点提醒 （1）极线公式中，点坐标与曲线方程的对应关系：椭圆 / 双曲线的分母是，抛物线是，切勿混淆； （2）极点在曲线内时，极线无实际切点，但仍可作为切线交点的轨迹； （3）双曲线的极线公式中有负号，需与椭圆区分. 例题分析 例1．（2025·江苏南通·一模）已知椭圆，称点和直线是椭圆的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系当在圆外时，其极线是椭圆从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）结合阅读材料回答下面的问题：已知是直线上的一个动点，过点向椭圆引两条切线，切点分别为，直线恒过定点，当时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设,则的直线方程为，， 整理得, 由解得，，定点 ，则为中点， ，即． 故选：A. 例2．（25-26高二上·山东济南·期中）法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即. （2）①设，设直线AB的方程为：，    又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②连接QM，QN，      由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 例3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段链接）阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【详解】（1）因为椭圆过点P(4,0)， 则，得，又， 所以，所以， 所以椭圆C的方程为. 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即； （2）由题意，设点Q的坐标为(,)， 因为点Q在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得， 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上. 当时，T是线段MN的中点， 设，直线MN的斜率为， 则，两式相减，整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即. 例4．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. 的标准方程为：. （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. ，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii）解：，， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. ，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 变式训练 变式1．（24-25高二下·上海·月考）已知，从椭圆：外一点向椭圆引两条切线，切点分别为、，则直线称为点关于椭圆的极线，其方程为．如图，现有两个椭圆、，中心都是坐标原点，对称轴都是坐标轴，离心率分别为、，在内，椭圆上的任意一点关于椭圆的极线为．若到的距离为定值1，则的最大值为 ．    【答案】/0.125 【详解】设椭圆:，（），则. 设椭圆:，（），则. 设， 由题意可得方程为：， 因为原点到直线的距离恒为1，所以. 又因为为椭圆上的点，所以， 所以，， 所以， 设，则， ， 当时，取得最大值，为. 故答案为： 变式2．（2025·海南·模拟预测）定义：对椭圆及任意一点，称直线为关于点的“极线”. 结论1：若点在椭圆上，则关于点的极线就是在点处的切线. 结论2（椭圆的光学性质）：从椭圆一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点. 试根据上面的定义和结论解决下列问题： 已知是椭圆的两个焦点，关于点的极线与相交于两点. (1)求； (2)设在点处的切线为，在点处的切线为，过在上且在外一点作的两条切线，切点分别为,证明：直线相交于一点； (3)若是上除顶点以外的任意一点，直线和分别与直线相交于点，证明：为定值. 【答案】(1)3 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）根据定义，可得的方程为，即， 将其代入的方程得，解得， 不妨取，所以. （2）根据所给结论可知分别是关于点的极线， 如图（1），取，则. 由解得所以和交于点， 要证明直线相交于一点，只需证明直线过点即可. 设. 根据所给结论，可知直线，直线. 因为直线和都经过点，所以， 所以直线的方程为，将代入，得，方程也成立， 所以直线过点，故直线相交于一点. （3）由题意，在点处的切线方程为，则与平行，且经过坐标原点. 如图（2）所示，由椭圆的光学性质，可知. 又因为，所以，所以，所以. 过作，与交于点，则，所以. 另一方面，因为，所以， 从而，所以. 因此，故为定值. 变式3．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 变式4．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、. (1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程； (2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线； (3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以， 因为右焦点是，所以，所以， 所以椭圆C的方程为； （2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点， 可得，化简可得： ， 由题可得： 化简可得：，该方程只有一个根，记作， ，为切点的横坐标， 切点的纵坐标， 由于，则， 则切线方程为：， 化简得：． 当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程， 综上上一点,的切线方程为； 同理上一点,的切线方程为； 设，点在两个切线上，所以， 所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线； （3）由题意，设点的坐标为(,)， 因为点在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切， 所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得，所以存在定点恒在直线上. 当时，T是线段的中点， 设，直线的斜率为， 则，两式相减， 整理得，即， 所以当时，直线的方程为，即. 课后提升训练 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）阅读材料：极点与极线，是法国数学家吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591-1661）于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征．已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线．事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系． 其中，极点与极线有以下基本性质和定理： ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹． 根据上述材料回答下面问题：已知椭圆过点，离心率为，其左右顶点分别为．已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与椭圆交于点， (1)若，证明：极线恒过定点； (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程； (3)若，极线交的椭圆于两点，点在轴上方，直线，直线分别交轴于两点，点为坐标原点，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意解得故椭圆的方程为． 因为点在直线，设， 则极线为，即. 则，所以，即极线过定点； （2）若定点为的中点，设， 因为两点均在椭圆上，所以， 两式相减得， 因为，所以，得方程， 经检验，，所以极线AB方程； （3）设，此时极线的方程为， 联立，消去并整理得， 设，由韦达定理得， 直线AQ：，解得， 直线，解得． 因为， 所以． 2．（24-25高二上·山西晋城·月考）几何学伴随着人类文明而产生，对人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.在现代数学里，几何学与代数、分析、数论等多个方向关系极为密切，几何的思想成为了数学最重要的思想之一，几何对物理、化学、生物、工程等各个领域也有着极其重要的作用.目前，几何学大致包含了欧式几何、射影几何、解析几何等几类不同思路的研究方法.其中，射影几何学中的极点与极线理论对于研究圆锥曲线提供了新的思考方式.对于椭圆，极点（不是坐标原点）对应的极线为：.已知椭圆：的长轴长为，左焦点与抛物线的焦点重合，对于椭圆，极点对应的极线为，过点的直线与椭圆交于，两点，在极线上任取一点，设直线MQ，NQ，PQ的斜率分别为，，（，，均存在）. (1)求极线的方程； (2)求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆：的长轴长为， 则，解得， 又椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合， 所以，解得. 所以椭圆的方程为. 由题意可知，对于椭圆， 极点对应的极线的方程为，即. （2）如图：    显然不存在时，不存在交点，∴一定存在， 设， 联立方程组，整理得， ，即， 设交点，则，， 设，则，，， ， ， ， ， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $