精品解析：广西南宁2025-2026学年高一下学期期末学业评估数学试题

2026年春季期高一年级期末学业评估 数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（ ） A. 2人 B. 4人 C. 6人 D. 8人 4. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 5. 如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 7. 已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ） A. M在第一象限 B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，已知，，，则 B. 向量，，则 C. 向量，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 11. 已知圆锥的底面圆的面积为，母线为，是底面圆的直径，点是底面圆上的动点（不与，重合），则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 直线与所成角为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取到最大值时，若为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知指数函数且经过点，则 ________ 13. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 14. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记，则的最小值为______： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，，，求： （1）的值域，最小正周期； （2）的对称轴、对称中心； 16. 如图，直三棱柱的体积为6，是的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）估计本次数学建模大赛成绩的平均分. 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期高一年级期末学业评估 数学科试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数为，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，， . 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求解. 【详解】由题意，， 又集合，，所以， 所以. 3. 某高中高一、高二、高三年级学生人数分别为550，550，500，为了解各年级学生每天体育活动的时间，通过分层随机抽样的方法抽取容量为64的样本，其中高二学生比高三学生多（ ） A. 2人 B. 4人 C. 6人 D. 8人 【答案】A 【解析】 【详解】三个年级的总人数. 根据分层随机抽样的定义，抽样比， 则高二年级抽取人数为； 高三年级抽取人数为. 因此高二抽取的学生比高三多的人数为人.  4. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 【答案】D 【解析】 【分析】应用百分位数的定义求数据的第40百分位数. 【详解】数学成绩从小到大为， 所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为. 故选：D 5. 如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为的中点，则直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线线平行可得或其补角为所求角，即可利用三角形的边角关系，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取的中点N，连接，易得，则所成的角即为直线所成的角． 由为等腰直角三角形，斜边，得， 所以均为正三角形， 则， 在中，由余弦定理，得， 所以直线所成角的余弦值为， 故选:A． 6. 如图，设，，线段DE与BC交于点F，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】用两种方式表示点的位置，然后利用向量基，底不共线，对应系数相等，得到. 【详解】依题意，, 所以，所以， 又因为，设， 所以， 即，因为，不共线，所以，所以， 所以. 7. 已知且，则在方向上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数，再应用投影向量的定义求解. 【详解】由，则，可得，故， 所以在方向上的投影向量的坐标是. 故选：B 8. 由正弦二倍角公式，我们发现一个有趣事实. 同理，由此请计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用诱导公式化目标式为，结合已知及诱导公式化简求值. 【详解】由，，原式可化为， 由，故. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ） A. M在第一象限 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知复数，写出对应点坐标和共轭复数，再应用复数加法、乘法等运算依次判断各项的正误. 【详解】由，对应点为在第一象限，且， 所以，，， 所以A、D对，B、C错. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在中，已知，，，则 B. 向量，，则 C. 向量，可以作为平面向量的一组基底 D. 已知点，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，应用正弦定理求解即可；对于B，，再计算模长即可判断；对于C，判断是否共线即可；对于D，设，分和求解即可． 【详解】对于A，，，， 由正弦定理得，即，解得，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，不共线， 即向量，可以作为平面向量的一组基底，故C正确； 对于D，点P是线段的三等分点，设， ①，即，解得，； ②，即，解得，； 则点P的坐标不可能为，故D错误． 故选：AC． 11. 已知圆锥的底面圆的面积为，母线为，是底面圆的直径，点是底面圆上的动点（不与，重合），则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 直线与所成角为 C. 圆锥外接球的表面积为 D. 当三棱锥体积取到最大值时，若为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用表面积公式可判断A，利用异面直线所成角可判断B，利用勾股定理求出球的半径可判断C，利用展开图结合余弦定理可判断D. 【详解】对于A，因为圆锥的底面圆的面积为，所以，且，其表面积为，A正确； 对于B， 取的中点，取的中点，连接，所以，所以直线与所成角为 所以，所以不是等边三角形，所以，B不正确； 对于C，设外接球的球心为，半径为，， 因为圆锥的外接球球心在高上，所以,因为，所以,解得， 所以圆锥SO外接球的表面积为，C正确； 对于D，三棱锥的底面积最大为，所以三棱锥体积的最大值为， 当且仅当时体积最大，所以，把绕边旋转，使其与共面， 如图，连接，交于点，此时取得最小值， 在中，,所以， 所以, 由余弦定理， 所以的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知指数函数且经过点，则 ________ 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数过点求参数值，再应用对数运算求值即可. 【详解】由题设且，，可得， 所以. 故答案为： 13. 若，，，的方差为2，则，，，的方差为_____________. 【答案】18 【解析】 【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定义直接求解. 【详解】方法一：因为，，，的方差为2 所以，，，的方差为； 方法二：设，，，的平均数为，则， 显然，，，的平均数为：， 所以它们的方差为, 故答案为：18. 14. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记，则的最小值为______： 【答案】## 【解析】 【分析】和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值. 【详解】在中，，， 在中，，， ， 令，由已知，则， ， 当且仅当，即时取等号. 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设，，，求： （1）的值域，最小正周期； （2）的对称轴、对称中心； 【答案】（1）的值域为，最小正周期为； （2）对称轴为，对称中心为. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示，利用辅助角公式整理可得正弦型函数，根据正弦函数性质计算求解； （2）根据正弦函数性质计算求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 易知，最小正周期， 【小问2详解】 由（1）可得， 令，，解得，； 令，，解得，. 所以函数的对称轴为直线；对称中心为. 16. 如图，直三棱柱的体积为6，是的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）连接，交于点，连接，则为的中点， 因为是的中点，所以，又因为面，面， 所以平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）应用中位线得出，再运用线面平行的判定定理证明； （2）利用等体积法再结合柱体体积求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得面， 所以. 17. 某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中. （1）求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） （2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； （3）估计本次数学建模大赛成绩的平均分. 【答案】（1），众数为 （2）138分. （3）分. 【解析】 【分析】（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可； （2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可； （3）由平均数的计算公式计算即可. 【小问1详解】 依题意可知，， 又，解得，   由图可知样本数据的众数落在区间内， 所以估计样本数据的众数为125． 【小问2详解】 由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中．     设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． 【小问3详解】 设本次数学建模大赛成绩的平均分为， 分. 18. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． 【小问2详解】 ①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点. （1）求证：平面平面； （2）试作出二面角，并求二面角的正切值； （3）点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值.（注：本题建系不得分） 【答案】（1） ，， 则， ； 又，，、平面， 平面，平面， 平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合勾股定理，利用线线垂直证明线面垂直，进而证明面面垂直； （2）结合直角三角形边长可确定为等边三角形，取中点可得底面，再过点作于点，结合线线垂直可证线面垂直，进而可得二面角的平面角，进而确定二面角正切值； （3）（法一）作平面，可得，，共线，再在平面作交于点，可得平面，设线交线于点，则，进而可证平面，即可得，易知，因为，所以与平面所成的最大角的正弦值为； （法二）过点作交于点，连接，.设，，，可得.又，，，于是. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 侧棱，点为中点， ， 又， 为正三角形，取中点，则，， 因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 过点作交延长线于点，连接，. 平面，所以， 又，，、平面， 所以平面，又平面，， 根据定义，即为二面角的平面角. ， . 【小问3详解】 （法一）作平面， 则，为在平面内的射影，所以点，，共线， 再在平面作交于点， 又，，、平面， 平面， 设线交线于点，则， 又，，、平面， 平面，平面，得， ，， 又因为， 所以与平面所成的最大角的正弦值为， 当点为线与的交点时取到最大角； （法二）过点作交于点，连接，. 设，，， 则，， 从而. ， ，， 于是， 当且仅当，即点为与交点时，等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $