精品解析：广西壮族自治区来宾市联考2025-2026学年高一下学期期末综合练习数学试题

2026年春季学期综合练习题高一数学 （总分：150分用时：120分钟） 注意：请在答题卡上答题，在本试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由，可得实部为，虚部为，对应点坐标为， 所以该点位于第四象限. 2. 一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解. 【详解】由题意可知 抽取男运动员的人数为. 故选：B. 3. 已知向量，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得，进而可求得模长. 【详解】因为，所以， 故选：C 【点睛】本题考查向量模长的求解，涉及到平面向量的坐标运算，属于简单题. 4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】A选项，，，则可能平行，相交，异面，故A错误； B选项，，，则可能，故B错误； C选项，，，则可能，也可能，故C错误； D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确. 故选：D. 5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】设该圆台的高为，母线为， 由圆台的体积公式，得， 所以. 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件结合独立事件概率乘法公式运算求解. 【详解】记甲、乙能破译密码分别为事件， 由题意可知：，可得， 所以这份密码被成功破译的概率为. 故选：B. 7. 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知条件求出的值，再利用正弦定理得到和，的关系，最后结合余弦定理求出的值，进而求出的值，再求出的值，最后根据三角形外接圆半径公式求出半径. 【详解】已知，即，因为，所以, 即，又由余弦定理得，联立两式并代入条件得到：， 即，解得. ，即， 根据正弦定理，解得，即. 8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，由向量加减法可得，据此可得答案. 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】，的虚部为，则选项A错误；，则选项B错误； ，则选项C正确；，则选项D正确. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 线段长度的最小值为 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】取中点，可证得平面平面，由此可确定点轨迹为线段； 对于A，利用特殊点即可知A错误； 对于B，利用体积桥，由可知B正确； 对于C，所求最小值即为点到线段的距离，利用面积桥可构造方程求得结果，知C正确； 对于D，设，，根据可求得，由此可知D正确. 【详解】取中点，连接， 易知，平面，平面，平面； 同理可得：平面，又，平面， 平面平面，又平面，平面， 又为四边形内一点（包含边界），. 对于A，当在处时，与不垂直，A错误； 对于B，为定值，到平面的距离等于平面的距离，即， ，B正确； 对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离， 在中，，，， 设点到线段的距离为，则，解得：， 即线段长度的最小值为，C正确； 对于D，设，，则， （当且仅当时等号成立）， 又，的最小值是，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹相关问题的求解，解题关键是能够利用面面平行确定动点的轨迹，进而将各选项中的求解内容进行转化，借助于临界点来确定结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 【答案】 11 【解析】 【详解】因为，所以第40百分位数为第4个数据11. 13. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知，则边的实际长度是________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，将直观图化成平面图，由斜二测画法可知， ，，，则. 14. 已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意及余弦定理得，由三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，利用长方体的性质求外接球半径，即可得表面积. 【详解】在中，， 故，即， 则折成的三棱锥中，，，， 即此三棱锥的对棱相等，故此三棱锥的三组对棱是一个长方体的六个面的对角线，如下图， 设长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为a，b，c，则，解得， 此长方体的外接球是三棱锥的外接球， 设外接球的直径，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为 （1）求； （2）求； （3）若向量与相互垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助数量积公式计算即可得； （2）借助模长与数量积关系计算即可得； （3）借助向量垂直的性质计算即可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由题意可得，解得. 16. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简可得，进而求解角； （2）利用余弦定理建立与、的关系，进而求解的值，再结合三角形面积公式计算面积. 【小问1详解】 根据正弦定理，整理可得： ， 则， 即， 因为，，所以，而， 故. 【小问2详解】 由余弦定理可得，结合， 代入可得：， 整理得：，解得. 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，由已知可得，然后根据线面平行的判定定理得出证明； （2）建立空间直角坐标系，求出以及平面的法向量的坐标，根据向量法求解即可得出答案. 【小问1详解】 连接，交于点，则是的中点，连接. 因为分别是的中点，所以. 又因平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因平面，底面为正方形，即两两垂直， 故可以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，. 易得即为平面的一个法向量. 设直线与平面所成角为， 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题. （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数； （3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率. 【答案】（1）频数､频率分别是 （2）平均数､众数分别是、； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，再根据频率、和频数公式计算可得； （2）由平均数、众数的计算公式计算可得； （3）首先求出成绩在、的人数，利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得. 【小问1详解】 解：由频率分布直方图的性质知，，解得， 这一组的频率为，频数为． 【小问2详解】 解：这次竞赛成绩的平均数为， 这一组的频率最大，人数最多，众数为， 【小问3详解】 解：样本中成绩在的有人，分别记作、、、， 成绩在的有人，分别记作、， 从这人中选人有、、、、、、、、、、、、、、共个结果， 其中满足两人在同一分数段有、、、、、、共个结果， 故他们在同一分数段的概率. 19. （用坐标法不给分）如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为． （1）设平面与平面的交线为，求直线与直线所成的角； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求． 【答案】（1）； （2）因为,故为二面角的平面角, 即,当时,即有, 又因为, 平面, 所以平面, 又因平面,所以, 由（1）中的图，可知, , 又因为,所以, 所以为直角三角形，即, 又因为平面, , 所以平面； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理可得平面，再由性质定理可得，从而将问题转化为求直线与直线所成的角，在图1中，过作于，由已知条件可得四边形为正方形，即可得答案； （2）由二面角的定义可得，当时，由线面垂直的判定定理可得平面，从而得，在中，由勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的判定定理即可得证； （3）利用等体积法可得，从而得，根据三棱锥的体积公式及，求解即可. 【小问1详解】 因为，即在图2中，， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面平面，平面， 故得， 所以直线与直线所成的角，等于直线与直线所成的角， 在图1中，过作于， 因为，，则， 又因，故 故直线与直线所成的角为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知， 又因为，所以， 由，解得 因为， 所以， 即，所以， 又因为， 所以或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期综合练习题高一数学 （总分：150分用时：120分钟） 注意：请在答题卡上答题，在本试卷上作答无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 一支田径队有运动员84人，其中女运动员有48人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本．如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 已知向量，则（ ） A. B. 5 C. D. 4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 若一个圆台的两个底面半径分别为1和2，体积为，则它的母线长为（ ） A. B. C. D. 2 6. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为，乙能破译密码的概率为，则这份密码被成功破译的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别为，若，则外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（ ） A. 9 B. 6 C. 7 D. 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的有（ ） A. 的虚部为 B. C. D. 10. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ） A. B与D互斥 B. A与D互为对立事件 C. D. 11. 在棱长为的正方体中，为的中点，为四边形内一点（包含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为定值 C. 线段长度的最小值为 D. 的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 13. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的已知，则边的实际长度是________. 14. 已知四边形为平行四边形，，，现将沿直线BD翻折，得到三棱锥，若，则三棱锥的外接球表面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，，与的夹角为 （1）求； （2）求； （3）若向量与相互垂直，求实数的值． 16. 在中，内角对应的边分别是，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为中点． （1）求证：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题. （1）这一组的频数､频率分别是多少？ （2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数； （3）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率. 19. （用坐标法不给分）如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为． （1）设平面与平面的交线为，求直线与直线所成的角； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $