精品解析：广西南宁市第三十六中学2024-2025高一下学期期末考试数学试题

南宁市第三十六中学2024-2025 (下)期考试题 高一数学 (考试时间120分钟，满分150分) 出题人：周显宇 审题人：紫增赞 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2.回答选择圆时，选出每小圈答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试给束后，请将答卷书交回. 一、单选题(本题共8小题、每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 2. 设，，若，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 3. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. B. C. D. 2 4. 一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（ ） A. 18海里 B. 16海里 C. 14海里 D. 12海里 5. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 6. 据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（ ） A. 和是互斥事件但不是对立事件 B. 和是互斥事件不是对立事件 C. D. 7. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ） A. B. 点是函数的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是_______. 13. 在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为______，方差为______． 14. 在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为．求的周长． 16. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 17. 天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 （1）已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） （2）如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； （3）如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 18. 在中，，E为中点，与交于点. （1）设，求实数的值； （2）若，，，设是上一点，且，求的值. 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第三十六中学2024-2025 (下)期考试题 高一数学 (考试时间120分钟，满分150分) 出题人：周显宇 审题人：紫增赞 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上，贴好条形码. 2.回答选择圆时，选出每小圈答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后、再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试给束后，请将答卷书交回. 一、单选题(本题共8小题、每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 2. 设，，若，则（ ） A. B. 0 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量垂直的坐标运算建立方程，求解参数即可. 【详解】，，且， ，解得，故D正确. 故选：D． 3. 某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是， 故选：C. 4. 一艘轮船北偏西方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为海里，该轮船以海里时的速度沿南偏西的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为（ ） A. 18海里 B. 16海里 C. 14海里 D. 12海里 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出图示，然后利用余弦定理求解出结果. 【详解】记轮船的初始位置为，灯塔的位置为，半小时后轮船的位置为，如图所示. 依题意得海里，海里，. 在中，由余弦定理得， 所以海里，即行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为海里. 故选：C. 5. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 6. 据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，则下列说法正确的是（ ） A. 和是互斥事件但不是对立事件 B. 和是互斥事件不是对立事件 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可. 【详解】事件“选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”、“选择历史学科”、“选择地理学科”， 所以事件“选择政治学科”，包含于事件，故事件、可以同时发生，不是互斥事件，A错； 事件“选择一门理科学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 且必有一个事件发生，故和是互斥事件也是对立事件，B错； 由题意可知，，所以，C错； 事件事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”，不能同时发生， 故和是互斥事件，所以，D对. 故选：D. 7. 如图，有两个相同的直三棱柱，高为1，底面三角形的三边长分别为，用这两个三棱柱拼成一个三棱柱，在所有可能组成的三棱柱中，表面积不可能为（ ） A. 36 B. 38 C. 40 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的特征能拼成的三棱柱的情况有三种情况，分别求出其表面积即可求解. 【详解】当拼成三棱柱时有三种情况，如图①②③，表面积分别为. 故选：B. 8. 中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简得到，从而得到，得到，，利用正弦定理得到，从而得到的取值范围. 【详解】， 在中，，故或， 当时，，故，不合要求，舍去， 所以，， 因为，所以，即， 因为，所以， 由正弦定理得， 故因为，所以， 故， 因为，所以， 故， 因为，所以，，， 故. 故选：B 【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ） A. B. 点是函数的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C. 【详解】∵的两条相邻对称轴距离为. ∴，∴.∴. ∵，∴，又，则. ∴.∴选项A正确； 选项B：由， 可得函数对称中心的横坐标：. 当时，对称中心为.B正确； 选项C：当时，，， ∴在上不递增，C错误； 选项D：由，. 可得对称轴：，.∴不是对称轴. 或验证法把代入得，∴不是对称轴. ∴D错误； 故选：AB. 10. 在中，，D为边BC上一动点，则（ ） A. B. △ABC的外接圆半径为 C. 当D为BC中点时， D. 当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B. 存在点，使得直线平面 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积不变 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可①②③确定ABC的正误，利用展开法和点距离的三角不等式，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A， ∵正方体的对面互相平行， ∴过三点的平面截正方体的对面所得截线互相平行， 又∵为线段的中点，∴截面交BC于其中点G， 连接，则四边形即为所求截面，显然为等腰梯形， 且， 梯形的高， 面积为，故A正确； 如图所示，设为的中点， 因为，平面，平面， 所以平面， 假设直线平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为分别为正方形的边的中点，所以， 又因为， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 而直线与平面相交，所以直线与平面相交， 这与平面矛盾，故假设直线平面不成立，故B错误. ∵，平面，不在平面内， ∴平面， 又∵，∴到平面AD1C的距离为定值，又∵的面积为定值， ∴当在线段上运动时，三棱锥的体积不变，故C正确； 将等腰直角三角形展开到与矩形在同一平面内， ， 当共线时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知向量 向量 则在上的投影向量坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】由，得， ∴向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13. 在某次活动中，登记的8个数据的平均数为8，方差为16，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据14，则修正后的9个数据的平均数为______，方差为______． 【答案】 ①. 9 ②. ## 【解析】 【分析】由题意可求出，，再利用平均数以及方差公式即可求出修正后的平均值以及方差. 【详解】由题意知修正前，则， 修正后，故修正后的9个数据的平均数为； 修正前， 即得， 故修正后的方差为 ， 故答案为：9； 14. 在三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为平面，所以三棱锥外接球的球心在上， 设球心为，外接球的半径为，连接，则， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，的面积为．求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用和差角正弦公式得，由三角形内角的性质即可求角的大小； （2）由三角形面积公式得，再应用余弦定理可得，即可得周长. 【小问1详解】 在， 由已知，得，而，则， 又，所以． 【小问2详解】 由，得，即， 又，则，整理得， 因此，解得，所以的周长为． 16. 树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； （2）为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； （3）根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】（1）0.01，88.33； （2）10人； （3）“美食”工作需要进一步整改，理由：由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【小问1详解】 由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. 【小问2详解】 低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. 【小问3详解】 略 17. 天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 （1）已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） （2）如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； （3）如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】（1） （2）天狼星、牛郎星、织女星 （3）该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】 【分析】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【小问1详解】 设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. 【小问2详解】 因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. 【小问3详解】 若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 18. 在中，，E为中点，与交于点. （1）设，求实数的值； （2）若，，，设是上一点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）取向量为基底，利用向量线性运算，结合共线向量定理的推论列式求解. （2）结合（1）的结论，利用数量积的定义及运算律求解. 【小问1详解】 在中，由，得，则， 而E为中点，则，又，因此， 又点共线，于是，所以. 【小问2详解】 由，得， 由（1）得，， 由，，，得， 所以 . 19. 如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． 在图2中： （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得，根据线面垂直的性质定理得平面，然后根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）结合等体积法，利用锥体的体积求高即可； （3）根据二面角平面角的定义作出二面角，然后利用直角三角形的性质求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，， 则，故， 又，且，平面，故平面， 而平面，故平面平面． 【小问2详解】 由可得，由（1）知平面， 所以， 又，所以． 【小问3详解】 在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面，平面，故， 因为，，平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又， ，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $