29.1 圆的有关概念《知识解读·题型专练》2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的描述性与集合性定义、点与圆的位置关系（d与r比较）、弦、直径、弧、圆心角等关键概念，构建从基础定义到位置关系再到相关概念的学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖圆的认识、位置关系判断及利用性质求角度、长度、坐标、最值等，通过变式题与随堂检测，培养学生几何直观与推理意识，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

29.1 圆的有关概念（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆的认识】 2 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 5 【题型4 与圆有关的概念】 7 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 8 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 12 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 14 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 17 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 圆的认识】 【例1】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的直径与半径和周长的关系．根据圆的直径与半径的关系，半径等于直径的一半；周长等于圆周率乘以直径，即可求解． 【详解】解：圆的直径为， 半径为，周长为， 故答案为：，． 【变式1-1】明明用圆规画一个周长是31.4的圆，圆规两脚间的距离是（   ）． A． B．5 C．10 D．1 【答案】B 【分析】本题考查圆的周长公式，圆规两脚间的距离是半径，根据周长公式即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1-2】如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得,,再根据题意得,即可得出答案． 【详解】解：∵在中， ∴,, 根据题意，得, ∴． 【变式1-3】在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【答案】D 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是熟练应用定义判断；根据弦、弧、弓形及扇形的定义判断即可． 【详解】解：A：弦是连接圆上两点的线段，是弦； B：弧是圆上两点及其之间的部分，是弧； C：弓形是由弦和弧围成的图形，与其所对的弧围成的图形即是弓形； D：扇形是由两条半径和一段弧围成的图形，图中没有半径，也没有扇形； 故选：D ． 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 【变式2-1】若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【答案】A 【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，当时点在圆外，当时点在圆上，当时点在圆内； 【详解】 的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是点在圆外． 【变式2-2】已知的半径为6，点在同一平面内，，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，掌握“，则点在圆内，则点在圆上，则点在圆外”是解题关键． 根据点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】∵的半径，点到圆的距离， ∴， ∴点在内， 故选：A． 【变式2-3】如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了直线与圆的关系，30度角的直角三角形的性质． 根据30度角的直角三角形的性质，得，再与半径比较即可作答． 【详解】解：在中，，，， 设，则， 又，即， 解得， ， 即点A在外． 故选：A． 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系，根据点在外的性质，可知的长度大于圆的半径，结合选项即可得出答案． 【详解】解： 的半径是，点是外一点， ， 只有满足， 故选：D． 【变式3-1】已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆的基本性质，利用“圆上任意一点到圆心的距离等于圆的半径”这一性质即可求解 【详解】解：∵点P在半径为2的上， ∴是的半径， ∴． 故选：B． 【变式3-2】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式3-3】已知点到圆心的距离为4，若点在圆内，则的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据点与圆的位置关系判断得出即可． 【详解】解：∵点P在圆内，且， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：①点P在圆外⇔，②点P在圆上⇔，③点P在圆内⇔． 【题型4 与圆有关的概念】 【例4】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【变式4-1】现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，熟练掌握圆的相关概念是做题的关键．根据弧，半圆和等弧的定义进行分析解答即可． 【详解】解：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是圆的一半，是弧的一种，故甲正确； 等弧指在同圆或等圆中能完全重合的弧，仅长度相等不一定能重合，故乙错误， 说法正确的是甲． 故选：A． 【变式4-2】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 【变式4-3】下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，掌握知识点是解题的关键．正确理解弦、直径、弧、等弧和对称轴的定义是解题关键，注意细节区别． 根据圆的基本概念，包括弦、弧、等弧和对称轴的定义，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：∵ 弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，但并非所有弦都是直径，∴ A错误； ∵ 等弧要求长度相等且在同圆或等圆中，仅长度相等不一定构成等弧，∴ B错误； ∵ 圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不是直线，∴ C错误； ∵ 半圆是圆的一条弧，其度数为180°，∴ D正确． 故选D． 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 【例5】如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆与三角形综合，熟练掌握圆的基本性质，等腰三角形性质，是解题的关键 连接，由圆的半径相等得，由平行线性质得，由等腰三角形性质即得． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式5-1】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由得，由，根据两直线平行，内错角相等得，再由求出，然后根据即可求解． 【详解】如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的有关概念，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，先求得，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再根据与互余求解即可，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-3】如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查圆的半径性质、等腰三角形性质、三角形外角定理．解题关键是利用“半径相等”将转化为等腰三角形的腰，通过外角定理推导角的倍数关系；易错点是遗漏连接辅助线，或混淆外角与内角的关系． 首先连接，由，得是等腰三角形，故；其次由三角形外角定理，得；然后由，得是等腰三角形，故；最后再由外角定理，得． 【详解】解：连接，如图， ，， ， ， 而， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 【例6】如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理以及圆的性质，根据勾股定理求出，再根据半径相等可得出，最后利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点． ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】如图，作，，；以A为圆心，以AC长为半径画弧，交斜边AB与点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC与点E．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出AB，再根据圆的定义可求得AD=AC，BE=BD即可求解． 【详解】解：∵，， ∴AC=3， 在中，，由勾股定理得： ， 由题意，AD=AC=3，BE=BD=AB－AD=－3， ∴CE=BC－BE=6－（－3）=9－， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的定义、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 【变式6-2】如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，可得，根据垂直平分线的性质可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵，，是上的点， ∴， ∵，垂足为点，且为的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式6-3】如图，已知，以点为圆心，的长为半径画圆，交轴正半轴于点，则线段的长度等于___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与圆的半径性质，熟练掌握“利用勾股定理计算线段长度、结合圆的半径相等确定点的坐标”是解题的关键． 先利用勾股定理求出的长度，再结合圆的半径相等得到的长度，进而确定点的坐标，最后用勾股定理计算的长度． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，． 在中，． ∵ 以为圆心，为半径画圆， ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． 在中， ． 故答案为：． 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点．连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标为， ， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， （等腰三角形的三线合一）， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 【变式7-1】如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理、圆的定义，属于基础题，明确直角三角形斜边中线等于斜边一半是关键．先由勾股定理求，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的长，由半径相等得长，从而写出的坐标． 【详解】解：， ， ， ， 为边的中线， ， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查圆周长公式，平面直角坐标系坐标表示．根据题意先求出圆周长即可得到本题答案． 【详解】解：∵半径为1的圆， ∴圆周长为：， ∴圆心的坐标为：． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图及性质，连接，设交于，由作图方法可得垂直平分，则，，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由作图方法可得垂直平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B．    【题型8 利用圆的基本性质求最值】 【例8】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又 的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 【变式8-1】如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， 当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值，利用矩形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接交于点O，交于点N， ∵， ∴当点E，P，M三点共线时，取得最小值，此时为， ∵点E是上动点， ∴当E与点O重合时，最小，此时为， ∴当点E与点O重合，点P与点N重合时，此时取得最小值， ∵矩形中，，以A为圆心，2为半径作． ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质，两点之间线段最短，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，圆的基本性质是解题的关键． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【答案】A 【分析】取点，连接，连接交于E，根据三角形中位线定理得到，根据勾股定理求出，进而求出，计算即可． 【详解】解：如图，取点，连接，连接交于E，   是的中点，O是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， 当点P与点E重合时，最小为， 的最小值为：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式8-3】如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 【答案】B 【详解】的半径，点到圆心的距离， ． 点在内． 2．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的有关性质．根据圆的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A选项：缺少“同圆或等圆”条件，即相等的圆心角所对的弦相等需在同圆或等圆中成立， 故A错误，不符合题意； B选项：弦不一定是直径，故B错误，不符合题意； C选项：弧有优弧和劣弧之分，优弧长于半圆，故C错误，不符合题意； D选项：同圆中直径是最长的弦，故D正确，符合题意， 故选：D． 3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 4．已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，牢记点与圆的位置关系是解题关键． 根据点与圆的位置关系，点在圆外等价于，由此可得的取值范围． 【详解】解：∵ 是的中点，， ∴ ， ∵ 点在外， ∴ ， 即， 又∵， ∴ ． 故选：C． 5．如图，某公园计划砌一个喷水池，有甲、乙两种方案，若外圆的直径相等，水池边沿的宽度和高度一样，你认为砌水池边沿（   ） A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多 C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定 【答案】C 【分析】此题考查了圆的周长的应用．根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到周长的关系即可． 【详解】解：设大圆的直径是，图乙中三个小圆的直径分别为：, ∴ 根据圆周长公式，得图甲中，需要； 图乙中，需要 ∴甲、乙需要的材料一样多， 故选：C． 6．如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了坐标和图形，勾股定理，圆外一点到圆上一点的最值问题，三角形的中位线定理等知识．先得到点在半径为1的上，取，连接，可知为射线与圆B的交点时，最大，即最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：∵点A、B的坐标分别为， ， 点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， 为线段的中点，， 是的中位线， ， 当最长时，即最长， ∵ ∴，，三点共线时，最长，此时为射线与圆B的交点， ，， ， ， ， 即的最大值为， 故选：A． 7．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 【详解】解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 8．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 【答案】以点为圆心，为半径的圆 【分析】本题考查了轨迹，圆的认识，解题的关键是理解圆的定义． 利用圆的定义进行回答． 【详解】解：平面上到点的距离为的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：以为圆心，为半径的圆． 9．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系为____． 【答案】在内 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系判断，点到圆心的距离小于半径，点在圆内；距离等于半径，点在圆上；距离大于半径，点在圆外．熟练掌握点与圆的位置关系判断方法是解题的关键． 通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来判断位置． 【详解】解：∵的半径为3，点到圆心的距离为2， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点在内． 故答案为：在内． 10．如图，已知：在中，直径 弦于E，，则的半径为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，连接，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴的半径为， 故答案为：． 11．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为__________ 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质可得 ，从而可得，然后利用等腰三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：的半径为， ， ，， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1 圆的有关概念（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 圆的认识】 2 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 4 【题型4 与圆有关的概念】 4 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 4 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 5 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 7 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 8 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 圆的认识】 【例1】已知圆的直径为，则其半径为_____________，周长为_____________． 【变式1-1】明明用圆规画一个周长是31.4的圆，圆规两脚间的距离是（   ）． A． B．5 C．10 D．1 【变式1-2】如图，中，，，以为圆心，长为半径画弧，交边于点；则的长（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1-3】在图中没有出现的几何图形是（    ） A．弦 B．弧 C．弓形 D．扇形 【题型2 判断点与圆的位置关系】 【例2】已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【变式2-1】若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是（   ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【变式2-2】已知的半径为6，点在同一平面内，，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【变式2-3】如图，在中，，，，以点C为圆心，以的长为半径作圆，则点A与的位置关系是（    ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．以上都有可能 【题型3 利用点与圆的位置关系求半径】 【例3】点是外一点，的半径是，则的长可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点P在半径为2的上，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知点到圆心的距离为4，若点在圆内，则的半径可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型4 与圆有关的概念】 【例4】下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【变式4-1】现有甲、乙两种说法：甲：半圆是弧；乙：长度相等的两条弧是等弧．其中说法正确的是（   ） A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【变式4-2】已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列说法中，正确的是（　　） A．弦是直径 B．长度相等的两条弧一定是等弧 C．圆的每一条直径都是它的对称轴 D．半圆是弧 【题型5 利用圆的基本性质求角度】 【例5】如图，三点在上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点、在以为直径的上，连接，，，．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，中，，，以为圆心、为半径的圆交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，是的直径，是上一点，，为延长线上一点，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型6 利用圆的基本性质求长度】 【例6】如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点．则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式6-1】如图，作，，；以A为圆心，以AC长为半径画弧，交斜边AB与点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC与点E．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，，，是上的点，，垂足为点，且为的中点，若，则的长为______． 【变式6-3】如图，已知，以点为圆心，的长为半径画圆，交轴正半轴于点，则线段的长度等于___________． 【题型7 利用圆的基本性质求坐标】 【例7】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在y轴正半轴上，以点B为圆心，长为半径作弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为______． 【变式7-1】如图，在中，为边的中线，以O为圆心，线段长为半径画弧，交x轴正半轴于点D，则点D的坐标为______________________． 【变式7-2】如图，半径为1的圆，在x轴上从原点O开始向右滚动一周后，圆心的坐标为________． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径作弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B；再分别以点O，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C，D，直线与相交于点E．若，则点E的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【题型8 利用圆的基本性质求最值】 【例8】如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式8-1】如图，矩形中，，以A为圆心，2为半径作．若点E在上，点P在上，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，，以点B为圆心，2为半径的上有一动点P．连接，若点C为的中点，连接，则的最小值是（    ）    A． B．2 C．25 D．3 【变式8-3】如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 随堂检测 【随堂检测】 1．已知的半径为，点为平面内一点，且，则点与的位置关系是（     ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法判断 2．以下说法正确的是（    ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．弦是直径 C．半圆是最长的弧 D．同圆中直径是最长的弦 3．如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 4．已知是线段的中点，点在半径为的外，点与点的距离是8，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，某公园计划砌一个喷水池，有甲、乙两种方案，若外圆的直径相等，水池边沿的宽度和高度一样，你认为砌水池边沿（   ） A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多 C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定 6．如图，点的坐标分别为，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则最长为（    ） A． B． C．2 D．3 7．的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 8．平面上到点的距离为的点的轨迹是______________． 9．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系为____． 10．如图，已知：在中，直径 弦于E，，则的半径为_____． 11．如图，点A，B，C在上．若，则的度数为__________ 12．如图，已知是的直径，点在上，． (1)求证：； (2)求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $