29.2.1 垂直于弦的直径 《知识解读·题型专练》2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“垂直于弦的直径”核心知识点，先系统梳理圆的定义、点与圆位置关系、弦与弧等基础概念，再通过8类题型（判断正误、求角度、线段长度、面积、坐标、平行弦、同心圆、实际应用）构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于题型设计融合数学核心素养，如“圆材埋壁”“筒车”等实际问题培养几何直观与空间观念，推理计算过程提升运算能力与推理意识，坐标与面积问题强化模型意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固查漏。

29.2.1 垂直于弦的直径（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 利用垂径定理判断正误】 2 【题型2 利用垂径定理求角度】 4 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 5 【题型4 利用垂径定理求面积】 6 【题型5 利用垂径定理求坐标】 7 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 8 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 9 【题型8 垂径定理的实际应用】 10 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 利用垂径定理判断正误】 【例1】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 【变式1-2】如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【变式1-3】如图，在中，是直径，D是弦，，垂足为，连接、、，，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-2】如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 【例3】如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】如图，的半径长为，弦等于，半径于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-2】“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【变式3-3】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型4 利用垂径定理求面积】 【例4】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 【变式4-2】如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 【变式4-3】如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【题型5 利用垂径定理求坐标】 【例5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 【变式5-3】如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【变式6-2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【变式6-3】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【变式7-1】已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． (1)求弦长； (2)圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 【变式7-2】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【变式7-3】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【题型8 垂径定理的实际应用】 【例8】西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．摔碗酒瓷碗正面的形状如图所示，是的一部分，半径，垂足为点，连接，已知，碗深，求的半径． 【变式8-1】阅读材料，回答问题： 如何确定桥下行船能否安全通过 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 任务一 确定拱桥的半径 求出拱桥所在的半径． 任务二 确定桥下行船能否安全通过 有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，且高出水面，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由． 【变式8-2】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【变式8-3】某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 2．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（ ） A． B． C． D． 4．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（    ）寸． A． B．10 C．13 D．26 5．在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，于E，，，则的半径为___________． 7．如图，线段是的直径，弦，则______． 8．如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，若，则的半径为_____． 9．如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为________ ． 10．如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 11．如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.2.1 垂直于弦的直径（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 利用垂径定理判断正误】 2 【题型2 利用垂径定理求角度】 6 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 8 【题型4 利用垂径定理求面积】 11 【题型5 利用垂径定理求坐标】 15 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 19 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 23 【题型8 垂径定理的实际应用】 27 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点3 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 （4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 3. 同心圆、等圆与等弧 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆． 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等． 【题型1 利用垂径定理判断正误】 【例1】如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 【答案】D 【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A． 根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B． 根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，A正确 ∵， ∴，，B正确 ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴C正确，D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定． 【变式1-2】如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．垂直平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：连接OA， 条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意； ∵OC⊥AB于点E， ∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意； 选项C不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 【变式1-3】如图，在中，是直径，D是弦，，垂足为，连接、、，，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，是的直径， 得，，进而得出为等腰直角三角形，进而得出，，，从而得出答案． 【详解】解：，是的直径， ，， ， 为等腰直角三角形， ，，， ． 故选：B． 【题型2 利用垂径定理求角度】 【例2】如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若的度数为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，圆周角定理解决问题． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-1】如图，在中，，，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：，， ，， ． 【变式2-2】如图，在⊙中，直径垂直于弦，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，直径垂直弦可平分弦所对的弧，得到；再由圆周角定理，结合的度数求出所对的圆心角的度数；最后根据等弧所对的圆心角相等，得到的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵直径垂直于弦， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 【变式2-3】如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，设与交于点，由直径，得，，所以，则有，然后通过直角三角形性质可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，设与交于点， ∵直径， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【题型3 利用垂径定理求线段长度】 【例3】如图的直径为10，圆心到弦的距离的长为4，则弦的长是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用垂径定理和勾股定理求解，先根据垂径定理求出，再根据勾股定理求出的值即可得出． 【详解】解：连接， ∵的直径为10， ∴， ∵圆心O到弦的距离的长为4， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， 所以． 故选：B． 【变式3-1】如图，的半径长为，弦等于，半径于点，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：半径于点， ， 的半径长为， ， ． 故选：D． 【变式3-2】“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图，为⊙O的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（    ） A．寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识点，连接，设圆的半径是x寸，根据垂径定理得出寸，在中，寸，，在中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径的长，正确作出辅助线是关键． 【详解】解：连接，设圆的半径是x寸， ∵弦，寸， ∴寸， 在中，寸，， ∵， 则， 解得：， 则（寸）． 故选：D． 【变式3-3】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工具）的工作原理．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且被水面截得弦长为米，半径长为米，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 连接交于点，根据垂径定理得到米，，再根据勾股定理得到即可得解． 【详解】解：连接交于点， 依题得：米，，米， 设，即， 中，， 即， 解得， 即米， 米， 即点到弦所在直线的距离是米． 故选：． 【题型4 利用垂径定理求面积】 【例4】如图，的半径是，是的直径，弦丄，垂足为，若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理可知，在中利用勾股定理可得，从而可知，再借助三角形面积公式即可计算． 【详解】解：连接， ∵的半径是5，是的直径，弦，， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，是的直径，是弦，，垂足为点E，连接，，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，先根据是的直径，是弦，，得出，再运用勾股定理列式，代入数值计算，得出半径是，再运用三角形的面积公式列式进行计算，即可作答． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设的半径为r，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 【变式4-2】如图，内接于，高经过圆心O．若，的半径为5，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．连接，勾股定理求得，继而得出，根据三角形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ ，且经过圆心O，， ∴， ∵的半径为． ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，是的直径，弦，垂足为P，若，求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理等知识．连接OC．由垂径定理得到，设半径为r，则，．在中，根据勾股定理，得到方程，解得，即可求出的面积． 【详解】解：连接OC． ∵是的直径，，， ∴； 设半径为r，则，． 在中，根据勾股定理， 即， 展开得， 移项得， 解得， ∴的面积为． 【题型5 利用垂径定理求坐标】 【例5】如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是，点C的坐标是，则那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是  （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理的应用，找到线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点即可得到圆心坐标． 【详解】解：如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点M，即为弧的圆心， ∴圆心的坐标是， 故选：B． 【变式5-1】如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于原点，平行于轴的直线交于两点，若点的坐标是，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理．作于B，连结，如图，设的半径为r，先根据切线的性质得，则点A的坐标为，得到B点坐标为，然后在中，根据勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：作于B，连结，如图，设的半径为r． ∵与y轴相切于原点O， ∴， ∴点A的坐标为． ∵， ∴． ∵轴，， ∴B点坐标为． 在中，． ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴N点坐标为． 故选：D． 【变式5-2】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，以为弦的与轴相切．若点的坐标为，则圆心的坐标为___________． 【答案】 【分析】过点M作MD⊥AB于D，连接AM．设⊙M的半径为R，因为四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，以边AB为弦的⊙M与x轴相切，若点A的坐标为（0，8），所以DA=AB=4，DM=8-R，AM=R，又因△ADM是直角三角形，利用勾股定理即可得到关于R的方程，解之即可． 【详解】解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM， 设⊙M的半径为R． ∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC， ∴DE⊥CO， ∴DE是⊙M直径的一部分； ∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8）， ∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R； ∴AD=BD=AB =4（垂径定理）； 在Rt△ADM中， 根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2， ∴R2=（8-R）2+42， ∴R=5． ∴M（-4，5）． 故答案为：（-4，5）． 【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理及正方形的性质．解题时，需仔细分析题意及图形，利用勾股定理来解决问题． 【变式5-3】如图，与y轴相切于点C，与x轴相交于点，，圆心P的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质定理，矩形的判定和性质，勾股定理． 连接，，作交于点，根据垂径定理得到，则，根据切线的性质定理得到，进而证明四边形是矩形，得到，进而得到，根据勾股定理求出，即可求出圆心P的坐标． 【详解】解：如图，连接，，作交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与y轴相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴圆心P的坐标是． 故答案为：． 【题型6 利用垂径定理求平行弦问题】 【例6】若的直径为，弦，，，则与之间的距离为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 由于弦，且直径已知，需考虑两弦在圆心同侧或异侧两种情况，分别计算弦到圆心的距离，再求两弦间距离． 【详解】解：过点作于点，交于点，连接、，如图， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， 当点在与之间时，如图，； 当点不在与之间时，如图，； 综上所述，的值为或，即AB与CD之间的距离为或， 故选：C． 【变式6-1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【变式6-2】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【变式6-3】已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 【题型7 利用垂径定理求同心圆问题】 【例7】如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 【变式7-1】已知：如图，圆O半径长为25，弦长为48，点C是弧的中点． (1)求弦长； (2)圆O的一个同心圆与弦所在的直线相切，求这个同心圆半径r的大小． 【答案】(1)的长为30 (2)这个同心圆半径r的大小为20 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理以及垂径定理，构造出是解本题的关键． （1）连接交于H，由垂径定理知，在中，易求长，进而易得的长．再利用勾股定理，即可得出的长； （2）过O作于G，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接交于H， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为30． （2）过O作于G， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：这个同心圆半径r的大小为20． 【变式7-2】如图，两个同心圆，大圆半径为，小圆的半径为，若大圆的弦与小圆有两个公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，熟练掌握圆的直径性质，切线性质，垂径定理，勾股定理，是解题的关键． 根据已知条件和图形分析可得当是大圆直径时，的值最大，从而可得的最大值；进一步分析可得当与小圆相切的时，最小，利用勾股定理可得的最小值．若大圆的弦与小圆有两个公共点，即与小圆相交，再结合上面分析即得答案． 【详解】解：设圆心为O，大圆的弦与小圆相交，如图． 当是大圆直径时，的值最大， ∵大圆半径为5， ∴最大值为． 当与小圆相切时，最小． 设切点为C，连接， 则， ∴， ∵小圆的半径为4， ∴， ∴． ∵大圆的弦与小圆有两个公共点，即相交， ∴． 故答案：． 【变式7-3】如图，两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于两点，大圆的半径为10，小圆半径为7．若，则弦的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，过圆心作弦的垂线构造直角三角形是解题的关键． 作于点，连接、，根据垂径定理可得，，再利用勾股定理分别求出和的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点，连接、， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型8 垂径定理的实际应用】 【例8】西安的摔碗酒吸引众多游客体验，喝完酒摔碎碗，寓意“碎碎”平安．摔碗酒瓷碗正面的形状如图所示，是的一部分，半径，垂足为点，连接，已知，碗深，求的半径． 【答案】的半径为 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为，则． 半径， ， ， ， ， ， ， 解得：， 的半径为． 【变式8-1】阅读材料，回答问题： 如何确定桥下行船能否安全通过 如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱高（弧的中点到水面的距离）为． 任务一 确定拱桥的半径 求出拱桥所在的半径． 任务二 确定桥下行船能否安全通过 有一艘宽为的货船，船舱顶部为长方形，且高出水面，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由． 【答案】（1）半径为；（2）能通过，见解析 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． （1）连接并延长至点，连接，使得，根据垂径定理推论可得为中点，设，则，勾股定理建立方程，解方程即可求解； （2）在中，勾股定理求得，进而求得，与比较即可求解． 【详解】解：连接并延长至点，连接，使得， ∵是的中点，为半径， ∴，， 又∵， 设，则． 在中，根据勾股定理得：， 解得； （2）能通过，理由如下： 如图，连接， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴． ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 【变式8-2】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽，为16米，拱高为4米． (1)求桥拱的半径； (2)若大雨过后，洪水泛滥到河面宽度为12米时，求水面涨高了多少？ 【答案】(1)桥拱的半径是10米； (2)水面涨高了2米． 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是米，由垂径定理求出（米，而米，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】（1）解：如图，半径，， 设桥拱的半径是米， ， （米， 拱高为4米， 米， ， ， ， 桥拱的半径是10米； （2）解：， （米， （米， （米， （米， 水面涨高了2米． 【变式8-3】某市一大型地下横截面为圆形的排污管道突然爆裂，为了使人们的生活不受影响，相关部门组织专业人员抢修．爆裂后的管道横截面如图所示，经测量得出管道内水面宽为米． (1)请利用尺规作图的方法找到管道横截面的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)为了保证安全作业，经过紧急排污处理后，水面下降米后的水面宽为米，请求出此时水面的最大深度． 【答案】(1)见解析； (2)水面的最大深度米． 【分析】本题主要考查了尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握尺规作垂线，线段垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键． （1）在弧上取异于点的点，连接，分别作、的垂直平分线、相交于点，则点为所求； （2）过点作于点，交和圆弧于点，，由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度，则，根据垂径定理得，，，进而在和中，利用勾股定理得，解得，从而即可求解． 【详解】（1）解：如图，点即可所求作的图形， （2）解：如图，过点作于点，交和圆弧于点，， 由题意可得，米，，的长即为所求水面的最大深度， ∴， ∵， ∴，，， 在和中，即，即， ∵， ∴， 解得， ∴，即此时水面的最大深度米． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【详解】解：连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ． 2．如图，的直径，弦于E，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易知，由垂径定理得，由勾股定理得，所以． 【详解】解：连接， 是的直径，弦于E，， ， 在， ，，， ， ． 3．半径为的圆中，弦长为，则圆心到这条弦的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，再结合半径，在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦的距离． 【详解】解：如图所示，的半径，弦长， 过点作交于点， ， ，即圆心到这条弦的距离为． 4．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯之，深一寸，锯长一尺，问径几何？”．大意为：如图，现有圆柱形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来（沿横截面）测得深度为1寸，锯长为1尺（1尺＝10寸），问木材的直径是多少？经计算，木材的直径为（    ）寸． A． B．10 C．13 D．26 【答案】D 【分析】设圆柱形木材的圆心为，连接，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆柱形木材的圆心为，连接， 如图所示：由题意知： ， 则寸， 设圆柱形木材的半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 则圆柱形木材的直径为26寸． 5．在半径为的中，弦，则弦所对的弧的中点到的距离是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 作，连接，根据垂径定理得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示，过点O作，交于点E，交于点C，D，连接， ∴，点C是劣弧的中点，点D是优弧的中点， ∵， 根据勾股定理，得， ∴， 所以弦所对的弧的中点到的距离是或， 故选：D． 6．如图，于E，，，则的半径为___________． 【答案】10 【分析】连接，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， 即的半径为10． 7．如图，线段是的直径，弦，则______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先利用垂径定理得到得，然后利用邻补角的定义计算的度数即可． 【详解】解：在中， ． ． ． 故答案为： ． 8．如图，是的弦，，垂足为，将劣弧沿弦折叠交于点，若，则的半径为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理，折叠，勾股定理，掌握垂径定理，勾股定理，数形结合分析是解题的关键． 如图所示，延长交于点，连接，则，根据折叠得到，设，则，，由垂径定理得到，在中由勾股定理得到，由此列式，求解即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接，则， ∵将劣弧沿弦折叠交于点， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， ∵是的弦，，垂足为，， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 故答案为：10 ． 9．如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为________ ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，翻折性质，垂径定理，等边三角形判定及性质等．根据题意连接，由翻折性质可知，继而利用圆周角定理得，再判断是等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 10．如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，由题意得，根据勾股定理求出即可； 【详解】解：，且过的圆心； ． 的直径是． ， ， ， 11．如图，将一张矩形纸条拉直并紧贴一次性纸杯的杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，用刻度尺测量，当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐． (1)___________ ，___________ ； (2)设一次性纸杯杯底所在圆的圆心为点，过点作于点，延长与弦交于点，连接，已知矩形纸条的宽为． ①___________ ，___________ ； ②求的半径． 【答案】(1)3，4 (2)①，2；② 【分析】题目主要考查垂径定理、勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）①利用垂径定理求解即可；②设，得出，再利用勾股定理求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵当点与的刻度线对齐时，点与刻度线对齐；当点与的刻度线对齐时，点与的刻度线对齐， ∴， 故答案为：3；4； （2）①∵，， ∴， 故答案为：，2； ②设， ， 在中，， ， 在Rt中，， ， ， 解得， ， 的半径为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $