28.1 图形的旋转（知识解读）2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦“图形的旋转”核心知识点，从生活中的旋转现象切入，系统梳理旋转三要素（中心、角、方向）、性质（对应点到中心距离相等、对应点与中心连线夹角为旋转角、旋转前后图形全等），并延伸至旋转作图及坐标应用，构建从概念到性质再到实践的完整学习支架。 资料以“生活实例—概念辨析—性质应用—规律探究”为主线，通过钟表时针运动等实例培养数学眼光，借助旋转性质证明题发展推理意识，结合坐标旋转规律问题提升模型意识。题型分层含例题与变式，课中辅助教师高效授课，课后助力学生自主巩固、查漏补缺。

28.1 图形的旋转（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 旋转三要素】 3 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 4 【题型4 利用旋转的性质求解】 5 【题型5 利用旋转的性质证明】 6 【题型6 画旋转后的图形】 7 【题型7 求旋转后的坐标】 9 【题型8 坐标与旋转规律问题】 11 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【变式1-1】下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【变式1-2】在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【变式1-3】如图，的位置经过怎样的运动和重合（    ） A．沿翻折 B．平移 C．绕点M旋转90° D．绕点M旋转180° 【题型2 旋转三要素】 【例2】如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式2-1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【变式2-3】如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 【例3】如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点恰好落在上时，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【题型4 利用旋转的性质求解】 【例4】如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在直角中，，将绕点逆时针旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在中，，，以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得，若点、、恰好在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【题型5 利用旋转的性质证明】 【例5】如图，在等腰直角中，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、． (1)求证：； (2)当旋转角为40°时，求的度数． 【变式5-1】如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 【变式5-2】如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 【变式5-3】如图，在中，，若D是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点D的对应点为点E，连接．求证：． 【题型6 画旋转后的图形】 【例6】如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度） (1)以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出旋转后的，写出点的坐标； (2)求的面积． 【变式6-1】如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的． (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 【变式6-2】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．    (1)画出关于y轴对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)的面积是__________． 【变式6-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．    (1)将向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出； (2)将绕点A按逆时针方向旋转90°，得到，请画出． 【题型7 求旋转后的坐标】 【例7】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【题型8 坐标与旋转规律问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，点D是边的中点，现将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，点D的坐标为 _____． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 2．如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 6．如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D．平分 7．如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 8．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 9．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 10．如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，若，则点B的坐标为______． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)将先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出，并直接写出点的坐标； (2)将绕点逆时针方向旋转，得到，画出； (3)也可以由绕点逆时针旋转得到，请直接写出旋转中心点的坐标． 12．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，请求出线段的长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 生活中的旋转现象】 2 【题型2 旋转三要素】 3 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 6 【题型4 利用旋转的性质求解】 10 【题型5 利用旋转的性质证明】 12 【题型6 画旋转后的图形】 16 【题型7 求旋转后的坐标】 20 【题型8 坐标与旋转规律问题】 23 知识点1 旋转的相关概念 1. 把一个平面图形绕着平面内某一O转动一个角度，叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向． 知识点2 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等． 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 3. 旋转前、后的图形全等． 知识点3 旋转作图 将△ABC绕点M顺时针旋转120°后，得到△DEF的步骤： （1）定：确定旋转中心为点M，旋转方向为顺时针，旋转角为120°． （2）找：寻找构成图形的关键点A，B，C，连接关键点A和旋转中心M，即线段AM． （3）转：以旋转中心M为顶点，过关键点A的射线MA为一边，按顺时针方向作一个120°的角． （4）截：在角的另一边上取一点D,使MD＝MA，得到点A的对应点D，以此作法，可得点B的对应点E，点C的对应点F． （5）连：按原图顺序连接D，E，F，得到△DEF，如图所示． 【题型1 生活中的旋转现象】 【例1】数学来源生活，下列生活中的运动属于旋转的是（  ） A．钟表上的时针运动 B．火箭升空 C．月亮在水中的倒影 D．足球在草地上滚动 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴转动，且形状和大小不变是解题的关键． 根据旋转的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．钟表时针围绕中心轴转动，属于旋转，符合题意； B． 火箭升空是直线平移运动，不符合题意； C． 月亮倒影是光的反射形成的像，不是物体运动，不符合题意；    D． 足球滚动时接触点变化，旋转中心移动，不属于固定点旋转，不符合题意． 故选A． 【变式1-1】下列情境属于旋转的是（  ） A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动 C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答． 【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意； B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意； C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意； D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 【变式1-3】如图，的位置经过怎样的运动和重合（    ） A．沿翻折 B．平移 C．绕点M旋转90° D．绕点M旋转180° 【答案】D 【分析】根据图形的位置判定运动过程即可． 【详解】 解：绕点M旋转180°可以与重合． 故选：D． 【点睛】 本题考查中心对称的定义，能正确识别变化过程是解题的关键． 【题型2 旋转三要素】 【例2】如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（     ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，通过观察网格确定垂直平分线的交点即可得出答案． 【详解】解：连接，，由图可知，点A与点在同一条竖直网格线上， 且点M为线段的中点， ∴线段的垂直平分线是经过点P、M的水平直线，即旋转中心在直线上． 又∵在网格中，点P到点B的距离为2个单位长度，点P到点的距离为2个单位长度， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． ∴旋转中心是点P． 【变式2-1】如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转的性质． 由旋转得，故，可得，从而知旋转角为． 【详解】解：由旋转的性质得：， ． ． ∴旋转角为． 故选：B． 【变式2-2】如图，小明在数学探究活动中发现：线段与线段存在一种特殊的关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，这个旋转中心的位置可以是图中的（   ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】B 【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转中心在对应点连线的中垂线上，连接，线段的中垂线的交点即为旋转中心，进行判断即可． 【详解】解：如图， 旋转中心的位置可以为点； 故选：B． 【变式2-3】如图所示的正方形中，点E在边上，把绕点A顺时针旋转得到，下列角中，是旋转角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转角，熟练掌握求一个旋转图形的旋转角是解题的关键． 根据“旋转角是指以图形在作旋转运动时，一个点与中心的旋转连线，与这个点在旋转后的对应点与旋转中心的连线，这两条线的夹角”，由此问题可求解． 【详解】解：由题意得：旋转角为或， 故选：C． 【题型3 利用旋转的性质判断结论正误】 【例3】如图，将以点为中心顺时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点恰好落在上时，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据旋转的性质得到，，，，得到，得出，，得到；不一定能得到，，，即可得到答案 【详解】解： 以点为中心顺时针旋转得到， ，，，， ，，， ，， ， ， 故选项C正确，符合题意； 不一定能得到，，， 故选：C 【变式3-1】如图，在中，，为边上一点，是由旋转得到的，点的对应点分别是，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：、∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵为边上一点，， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项符合题意； 、∵， ∴， ∵不一定平分， ∴与不一定相等，故选项不符合题意； 故选：． 【变式3-2】如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，故A结论错误，不符合题意； ， ， ， ∴．故B结论正确，符合题意； 在中，， ， ， ∴与不垂直．故C结论错误，不符合题意； 在中，， ， ∴．故D结论错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式3-3】如图，在中，，把绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，的延长线与相交于点，连接，则下列结论一定正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．本题可通过旋转的性质得出，，，，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：由已知得：，则， ∵，并没有必然的相等关系，找不到能证明两边相等的依据， ∴故A错误； ∵绕点顺时针旋转得到，， 但与并没有必然的相等关系，找不到能证明两角相等的依据， ∴故B错误； 由已知得：，则，， ∴， 故C错误； ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【题型4 利用旋转的性质求解】 【例4】如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上时，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得出，根据得出是等边三角形，可得，利用线段的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点的对应点恰好落在边上，， ∴． 【变式4-1】如图，在直角中，，将绕点逆时针旋转得到，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可知，，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵ 将绕点逆时针旋转得到， ∴， 又 ， ∴． 【变式4-2】如图，在中，，，以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转，得，若点、、恰好在同一条直线上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰的已知边长和顶角，用三角形内角和定理计算底角的度数．利用旋转的性质，得到对应边、对应角的相等关系，确定和的对应等量，同时得到，判定为等腰三角形．结合C、共线的条件，推导的度数，再根据等腰三角形性质得到的度数，进而求出旋转角的度数．用减去，得到的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴。 由旋转知， ，，， ∴． ∵共线， ∴， ∴， ∴ ． ∴ ． 【变式4-3】如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 【题型5 利用旋转的性质证明】 【例5】如图，在等腰直角中，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、． (1)求证：； (2)当旋转角为40°时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)25° 【分析】（1）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，证明△ACB≌△AFE，即可得出结论； （2）根据旋转角的定义得出∠CAB＝40°，再根据AB=AC，得到∠ACB＝70°，根据△ACF是等腰直角三角形，得出∠ACF＝45°，通过∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵△ABE是由△ACF绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴△ABE≌△ACF， ∴AE＝AF，AB＝AC；∠BAE＝∠CAF， ∴∠BAC＝∠EAF， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴AE＝AF＝AB＝AC， ∴△ACB≌△AFE（SAS）， ∴EF＝BC； （2）解：∵旋转角为40°， ∴∠CAB＝40°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝70°， ∵△ACF是等腰直角三角形， ∴∠ACF＝45°， ∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝25°． 【点睛】本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 【变式5-1】如图，在中，，，D，E是斜边上的两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，求证：． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，先结合将绕点A顺时针旋转，得到， ，，又因为，故，然后根据，，证明，即可作答． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，已知正方形，点E是对角线上一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转至的位置，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用，即可证得． 【详解】解：∵绕点D顺时针旋转至的位置， ∵四边形为正方形， ， ， 即． 在与中， ， ． 【变式5-3】如图，在中，，若D是边上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，点D的对应点为点E，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，根据旋转的性质得出，进而得出，再根据等边对等角得出，，得出，即可求证；解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应角相等，以及等腰三角形等边对等角． 【详解】证明：∵绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6 画旋转后的图形】 【例6】如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度） (1)以坐标原点O为旋转中心，将逆时针旋转，得到，请画出旋转后的，写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， ， ， ； (2) 【分析】本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质． （1）根据旋转的性质即可以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到△，进而可以写出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，△即为所求， ， ， ； （2）解：． 【变式6-1】如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．    (1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； (2)请画出绕原点逆时针旋转得到的． (3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】(1)图见解析；， (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，算出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）根据旋转中心的特点，是对应点连线的垂直平分线的交点，画出即可； 【详解】（1）解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图，    ∴B点平移后对应点的坐标为； 故答案为： （2）解：如图所示；    （3）解：根据旋转中心的特点，借助网格画出，如图所示， ∴旋转中心的坐标， 故答案为：    【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，垂直平分线的定义等知识点，解决此题的关键是能找到旋转中心． 【变式6-2】在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点（顶点为网格线的交点）．    (1)画出关于y轴对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出； (3)的面积是__________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查坐标与图形变换，掌握轴对称和旋转的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）分割法求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求：        （3）的面积为：． 【变式6-3】如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．    (1)将向上平移4个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出； (2)将绕点A按逆时针方向旋转90°，得到，请画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）根据平移的规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求；    【点睛】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握平移的性质和旋转的性质，是解题的关键． 【题型7 求旋转后的坐标】 【例7】将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，先由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理推出，由旋转的性质可得，再求出，进而得到点在y轴上，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点在y轴上， ∴点的坐标为， 故答案为． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是先把向右平移3个单位长度得到再把绕点顺时针旋转得到则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，正确作出图形是解决问题的关键，根据平移变换，旋转变换的性质画出图像即可解决问题． 【详解】解：如图所示： 观察图像可知： 故选：C． 【变式7-2】如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 【变式7-3】如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点的坐标是，现将绕点按逆时针方向旋转，则旋转后点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形，得到点C旋转后对应点． 【详解】如图，绘制出CA绕点A逆时针旋转90°的图形， 由图可得：点C对应点的坐标为(-2，3) ． 故选B． 【点睛】本题考查旋转，需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转． 【题型8 坐标与旋转规律问题】 【例8】如图，在平面直角坐标系中，点，，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B，O分别落在点，处，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上；再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上……按此规律进行下去，点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变化旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题．首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，、、、…，在x轴上，，根据这个规律可以求得点的坐标． 【详解】解：由图象知点、、、…，在x轴上， ∵， ∴， ∴，，，…， 即点、、、…，中相邻两点间的距离均为6， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O顺时针旋转后，得到正方形，以此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形．如果点C坐标为，那么点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，依次求出每次旋转后点对应点的坐标，发现规律即可解决问题．根据正方形的运动发现点的对应点的坐标按旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为， 故答案为：． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形……依此方式，绕点连续旋转次得到正方形，那么点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，点坐标的规律，勾股定理等，解题的关键是找到点坐标的变化规律．根据旋转的性质，可得点的运动轨迹，发现规律：即点的位置每旋转次一个循环，然后找到正方形旋转次后点的位置，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次，点的坐标循环出现． 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同． 如图：过点作轴，交于点轴，交于点， ∵正方形的边长为，， 故， 故点的坐标为． 故答案为：． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，点D是边的中点，现将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°，则第2022秒时，点D的坐标为 _____． 【答案】 【分析】如图所示，过点C作于H，先由菱形的性质得到，进而证明是等边三角形，得到，，再求出，，则，再由点D是中点，得到；根据题意可得每经过6秒点D就旋转到了起始位置，由可知第2022秒时点D的坐标与第6秒时点D的坐标相同，即此时在起始位置，据此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H， ∵四边形是菱形，，点B的坐标为， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∵将菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转60°， ∴每经过6秒点D就旋转到了起始位置， ∵， ∴第2022秒时点D的坐标与第6秒时点D的坐标相同，即此时在起始位置， ∴第2022秒时点D的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，点的坐标规律探索，正确求出点D的初始位置的坐标并找到规律是解题的关键． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误； C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：C． 2．如图，将绕点逆时针旋转得到，点落在边上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．由旋转的性质得，，由的性质得，可求得是等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转，点C落在边上的E处，则B、D两点间的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，利用邻补角互补求角度等知识点，熟练掌握旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 连接，在中，根据勾股定理可得，由旋转的性质可得，，，进而可得，由邻补角互补可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出B、D两点间的距离． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 根据勾股定理可得： ， 由旋转的性质可得： ，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理可得： ， 故选：． 4．如图，在平面直角坐标系中，点，将绕点顺时针旋转到位置，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系内点的坐标， 根据点可知，再结合旋转的性质得，然后根据点C在第一象限得出答案． 【详解】解：∵点， ∴， 由旋转的性质得， ∴点． 故选：D. 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，当第次旋转结束时，点C的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则每旋转4次则回到原位置，根据……3，即可得到第次旋转结束时，点C的坐标 【详解】解：如图，    由题可知，将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵……3， ∴第次旋转结束后，图形逆时针旋转了， ∵点，点， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标是， 故选：D． 【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，找到点的最终位置是解题的关键． 6．如图，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点的对应点为，点的对应点为点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】A 【分析】由平移可得对应点连线，由旋转可得对应角、，对应边，通过等边对等角得出，结合旋转对应角相等做等量代换，得到，即可证明平分，由此得出B、C、D正确，则不一定正确的是A． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，故B正确； ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到， ∴，故C正确； ，， ∴， ∴， ∴平分，故D正确； ∴不一定正确的是A． 7．如图，在中，，D、E是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可判断②结论，利用“”证明全等可判断①结论；利用三角形内角和定理和勾股定理可判断③④结论． 【详解】解：将绕点A顺时针旋转后得到， ，，，，②结论正确， ， ， ， 在和中， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，③结论错误，④结论正确； 故选：A 8．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是_____． 【答案】 【分析】首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得， 又 ∵， ． 9．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，点D恰好落在直线上，则旋转角的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和；由旋转的性质得，由等腰三角形的性质得，由三角形内角和求出，即可求解；掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由旋转得：，旋转角为， ， ， 旋转角的度数为； 故答案为：． 10．如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，若，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定和性质，先根据等腰直角三角形的判定和性质得出，过点B作轴于点C，证明，由全等三角形的性质可得出，，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴OA=3， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点P在y轴上， ∴点P的坐标为， 过点作轴于点C， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点B在第一象限，横坐标为正，纵坐标为正， ∴点B的坐标为：， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是，，． (1)将先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出，并直接写出点的坐标； (2)将绕点逆时针方向旋转，得到，画出； (3)也可以由绕点逆时针旋转得到，请直接写出旋转中心点的坐标． 【答案】(1)如图所示；    (2)如图所示 (3) 【分析】（1）根据点的平移规律“横坐标右移加、纵坐标上移加”，分别计算、、三点平移后的坐标，描点后连接得到，同时写出的坐标． （2）利用绕原点逆时针旋转的坐标变换规则，计算、旋转后的对应点、的坐标，点坐标不变，描点后连接得到． （3）因为旋转中心到两组对应点的距离分别相等，所以旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，选取两组对应点，分别作其连线的垂直平分线，交点即为点，根据坐标系中的网格求解的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规律：点向右平移个单位、向上平移个单位后坐标变为． ∵， ∴平移后横坐标：，纵坐标：， ∴点． 画图：平移后可得，，顺次连接三个顶点即可得到． （2）解：∵点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律：点旋转后变为， ∴可得，，仍为， 顺次连接三个顶点即可得到． （3）解：连接， ∵， ∴的中点为，设为M， ∵， ∴的中点为，设为N， 把绕点M顺时针旋转，把绕点N顺时针旋转，点旋转后的对应点与点旋转后的对应点重合于一点，这点即为所求的点P，点P的坐标为． 理由：∵由作图知，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴点P即为所求． 12．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)连接，若，，请求出线段的长度． 【答案】(1)证明：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 在与中，， ∴； (2)10 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，，那么．再根据“”即可证明； （2）先根据旋转得出，，证明为直角三角形，根据勾股定理求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $