28.2 中心对称（知识解读）2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

本讲义聚焦初中数学“中心对称”核心知识点，系统梳理中心对称的定义（绕点旋转180°重合）、性质（全等图形，对称点连线过对称中心且被平分）、作图步骤，以及中心对称图形的识别、坐标系中关于原点对称的点的坐标规律和图案设计，构建从概念到应用的连贯学习支架。 该资料亮点在于题型丰富（9类题型），涵盖基础识别、格点补画、坐标系作图等，通过实例培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），例题变式训练提升推理能力（数学思维），图案设计环节助力用数学语言表达现实，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

28.2 中心对称（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 成中心对称】 3 【题型2 中心对称的性质】 4 【题型3 中心对称图形的识别】 5 【题型4 判断对称中心】 6 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 7 【题型6 坐标系中画中心对称图形】 7 【题型7 求中心对称点的坐标】 10 【题型8 中心对称图形规律问题】 10 【题型9 图案设计】 12 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是全等图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【题型1 成中心对称】 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A．B．C． D． 【变式1-2】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 故选D． 【变式1-3】下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【题型2 中心对称的性质】 【例2】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式2-1】如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【变式2-3】如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【题型3 中心对称图形的识别】 【例3】2026年6月5日是第55个世界环境日，我国的主题是“全面绿色转型，共建美丽中国”．鹤壁市生态环境局在公共场所设置展板、咨询台，向市民普及垃圾分类、环境污染、生态保护等知识．下列环保标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【题型4 判断对称中心】 【例4】如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【变式4-1】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【变式4-2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【变式4-3】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 【例5】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式5-1】如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【变式5-2】如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【变式5-3】如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【题型6 坐标系中画中心对称图形】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点中心对称的； (3)观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是________． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【变式6-2】如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出； (3)经观察：与成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标______； (4)请求出的面积． 【题型7 求中心对称点的坐标】 【例7】如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点 轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】点关于原点的对称点坐标是_______． 【变式7-3】若点关于原点对称的点为，则点关于y轴对称的点D的坐标为_________________． 【题型8 中心对称图形规律问题】 【例8】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【题型9 图案设计】 【例9】如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【变式9-1】在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【变式9-2】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图标属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 3．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 4．直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③ ；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 6．如图，与关于点成中心对称，，，，（   ） A． B． C． D． 7.点关于点中心对称的点的坐标是_______． 8．如图，是由经过某种变换得到的图形，则______ （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为______． 9．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ________________． 10．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2 中心对称（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 目录 【题型1 成中心对称】 3 【题型2 中心对称的性质】 5 【题型3 中心对称图形的识别】 7 【题型4 判断对称中心】 9 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 11 【题型6 坐标系中画中心对称图形】 13 【题型7 求中心对称点的坐标】 18 【题型8 中心对称图形规律问题】 20 【题型9 图案设计】 24 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）中心对称的两个图形是全等图形； （2）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【题型1 成中心对称】 【例1】下列各组图形中，两个三角形成中心对称的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义． 把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，由此即可判断． 【详解】解：A、两个三角形成中心对称，符合题意； B、两个三角形不成中心对称，不符合题意； C、两个三角形不成中心对称，不符合题意； D、两个三角形不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列图形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两个图形成中心对称，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中与不成中心对称，不符合题意； 选项B中与成中心对称，符合题意； 选项C中与不成中心对称，不符合题意； 选项D中与不成中心对称，不符合题意， 故选：B． 【变式1-2】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 【变式1-3】下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 【题型2 中心对称的性质】 【例2】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式2-1】如图，与关于点O成中心对称．下列不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，， ∴， 但不一定正确， 故选：D． 【变式2-2】如图，直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D．若，则阴影部分的面积为（    ） A．5 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键． 根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E， ∵直线于点O，曲线c关于点O中心对称，点A的对应点是点于点于点D，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故选：B 【变式2-3】如图，与关于点成中心对称，已知，，，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理等．根据与关于点O成中心对称，推出，，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【题型3 中心对称图形的识别】 【例3】2026年6月5日是第55个世界环境日，我国的主题是“全面绿色转型，共建美丽中国”．鹤壁市生态环境局在公共场所设置展板、咨询台，向市民普及垃圾分类、环境污染、生态保护等知识．下列环保标志中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 【变式3-1】下列窗格图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故A不符合题意； BC是轴对称图形，不是中心对称图形，故BC不符合题意； D既是轴对称图形又是中心对称图形，故D符合题意． 【变式3-2】中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 【变式3-3】下列图形中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一个图形绕一点旋转180度，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 【题型4 判断对称中心】 【例4】如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【变式4-1】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【变式4-2】如图，矩形与矩形关于某点对称，则该点为（  ） A．点C B．点D C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了两个图形关于中心对称的知识点，需要根据中心对称的性质进行求解.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形与矩形关于某点对称， ∴点A的对称点为点F，点B的对称点为点E，点C的对称点为点D, 点D的对称点为点C, ∴对称中心为线段的中点． 故选D． 【变式4-3】如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【题型5 格点中补画图形使之成为中心对称图形】 【例5】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 【变式5-1】如图是的正方形网格，其中已有个小方格涂成了黑色．现在要从其余个白色的小方格中选出一个也涂成黑色，使形成的图形成为中心对称图形，这样的白色小方格有___________个． 【答案】2 【分析】根据中心对称的定义，逐个验证剩余白色方格，填入后旋转可以使图形与原图形重合的即为所求． 【详解】解：如图，将A方格涂黑或将B方格涂黑可以使形成的图形成为中心对称图形，共2个方格． 【变式5-2】如图的方格纸中，若选择一个标有序号的小正方形涂黑，使其与图中阴影部分组成中心对称图形，则该小正方形的序号是__________．    【答案】② 【分析】根据中心对称图形的定义求解即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 【详解】解：由中心对称图形的定义可知选择标有序号②的一个小正方形涂黑，与图中的阴影部分构成中心对称图形， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，熟知中心对称图形的定义是解题的关键． 【变式5-3】如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图： 【题型6 坐标系中画中心对称图形】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)将向左平移4个单位后得到对应的，请画出平移后的； (2)画出关于原点中心对称的； (3)观察发现，与关于点成中心对称，则点的坐标是________． 【答案】(1)图形见解析 (2)图形见解析 (3) 【分析】本题考查了平移和中心对称的作图，解题的关键是学会作平移图形，原点对称图形，进行解答，即可． （1）找到向左平移个单位后得到对应的顶点，顺次连接，，即可； （2）找到，，关于原点对称的，，，顺次连接即可； （3）根据图形得到答案即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）解：即为所求． （3）解：与关于点成中心对称， ∴点． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，该对称点的坐标是． 【变式6-2】如图所示，在平面直角坐标系中，小正方形的边长均为个单位长度，和的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)若和关于点中心对称，则点的坐标为______； (2)作关于点的中心对称图形． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查中心对称图形的对称中心、画中心对称图形等，解答本题的关键是熟练掌握中心对称的性质． （1）根据对应点连线的交点即为对称中心，根据坐标系即可求出坐标； （2）分别找到各点的对应点，顺次连接即为所求图形． 【详解】（1）解：如图，分别连接两点和两点，相交于点， 由图可知，点的坐标为； （2）如图，为所求作． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． (1)把向左平移4个单位后得到对应的，请画出； (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出； (3)经观察：与成中心对称，请直接写出它们的对称中心的坐标______； (4)请求出的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握图形平移，旋转，中心对称的性质，割补法求面积的方法是解题的关键． （1）根据图形的平移规律作图即可； （2）根据图形旋转的性质作图即可； （3）根据中心对称图形的定义和性质即可求解； （4）运用割补法求几何图形的面积即可． 【详解】（1）解：画出，如图所示； （2）画出，如图所示； （3）根据中心对称图形的性质，连接对应点的连线交于点， ∴与成中心对称，对称中心的坐标为； （4）． 答：的面积为3.5． 【题型7 求中心对称点的坐标】 【例7】如图，在中，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， ∴点与点关于原点中心对称， ∵， ∴点的坐标为． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线相交于原点 轴，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，可求出点的横坐标是，结合点的坐标是，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称， ∵点的坐标是， ∴点的横坐标是， ∵平行轴，， ∴平行轴， ∵点的坐标是， ∴点的纵坐标是． ∴点的坐标是． 【变式7-2】点关于原点的对称点坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， 因此点关于原点的对称点的坐标为． 【变式7-3】若点关于原点对称的点为，则点关于y轴对称的点D的坐标为_________________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，得出a，b的值，根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可得出答案． 【详解】解：关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数， ∴，， 即点C为， 根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等， ∴点关于y轴对称的点D的坐标为， 故答案为：． 【题型8 中心对称图形规律问题】 【例8】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【详解】解： 是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，按照顺序以此类推，则的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式8-2】在平面直角坐标系中，点，的对称中心是点A，另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次作关于点A，B，C的循环对称跳动，即第一次跳到点关于点A的对称点处，接着跳到点关于点B的对称点处，第三次再跳到点关于点C的对称点处，第四次再跳到点关于点A的对称点处，…，则点的坐标为（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律探究，中心对称，坐标与图形变化对称，利用中心对称找出坐标规律是解题的关键． 首先利用题目所给公式一次求出前几个点的坐标，→→→→→→→…由此得到的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵点关于点的对称点， ∴， ∴，， ∴， 同理可得点，，，，，… ∴点P每6次一循环， ∵ ∴点与点坐标相同，即． 故选：D． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【题型9 图案设计】 【例9】如图，已知在平面直角坐标系中，线段的坐标分别为 (1)画出线段绕点逆时针旋转得到线段，连接点A、C得到； (2)在（1）的条件下，画出关于原点对称的，点的对应点分别是； (3)在（2）的条件下，已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合（其中点对应点），请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； (3) 【分析】本题考查作图——旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合，即可得出答案． 【详解】（1）解∶如图，线段、即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P．则线段绕点P顺时针旋转可与线段重合， 点P的坐标为， 故答案为∶． 【变式9-1】在平面直角坐标系中的位置如图所示．    (1)将绕点O顺时针旋转90°得到，作出； (2)的中心对称图形为，其中点的坐标为，作出． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即为所求． 【分析】题考查作图旋转变换，中心对称等知识； （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． 【详解】（1） 略 （2）略 【变式9-2】如图，的各个顶点的坐标分别是， (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕原点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了原点对称作图，旋转作图，解题的关键在于正确掌握相关作图步骤． （1）根据对称的性质作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据题意找出旋转中心和旋转方向，以及旋转角，再按照旋转作图步骤作出A，B，C的对应点，，，再顺次连接对应点，即可解题； 【详解】（1）由对称的性质A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求； （2）绕原点顺时针旋转， 旋转后，A，B，C的对应点，，， 再描点连线，如图，即为所求． 【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到，请画出，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (2)请画出关于原点O成中心对称的，并写出的坐标______；（点A，B，C的对应点分别是点，，） (3)点D是平面直角坐标系中的一个点，四边形是平行四边形，点D的坐标为______． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查坐标变换平移和中心对称，坐标系中的平行四边形判定，熟练掌握相关作法和平行四边形的性质是解题的关键． （1）利用平移得出相应坐标，再画图即可； （2）利用中心对称得出相应坐标，再画图即可； （3）利用平行四边形的对角线互相平分结合中点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到， ∴，，， 如图： 故答案为：； （2）解：∵关于原点O成中心对称的， ∴，，， 如图： 故答案为：； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴，为对角线， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图标属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 2．点与点关于原点对称，则a，b的值分别为（） A．，6 B．1， C．， D．1，6 【答案】B 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，利用“关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数”的性质即可计算出和的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称，且关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴，， 即，． 3．如图，在平面直角坐标系中，的两条对角线交于原点O ， 平行x轴，点M的坐标是， 点F的坐标是， 则点N的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，中心对称的性质，根据平行四边形的性质得到点与点关于原点对称，点与点关于原点对称是解题的关键． 根据平行四边形是中心对称的特点可知，点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵的两条对角线，交于原点， ∴点与点关于原点对称，点与点关于原点对称， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴点的纵坐标是，点的横坐标是， ∵平行轴，即， ∴点的坐标是， 故选：A． 4．直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与x轴交点为，与y轴交点为,再中心对称的性质得出这两个点关于原点的对称点为，，在利用待定系数法求出旋转以后的直线的表达式即可．本题主要考查了关于坐标原点对称的点的特征． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∴由，得时，；时，； ∴直线与x轴交点为，与y轴交点为, 这两个点关于原点的对称点为，， 设直线绕坐标原点旋转后得到直线为， 则， 解得， ∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为． 故选：B 5．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（  ） ①点与点关于点对称；②；③ ；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 6．如图，与关于点成中心对称，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，， ，， 根据勾股定理可得：， ； 故选：A 7.点关于点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握关于中心对称的两个点，到对称中心的距离相等．由M、N关于点A成中心对称，得出点A为的中点，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】解：设点关于点中心对称的点为， ∵点关于点的中心对称点为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 8．如图，是由经过某种变换得到的图形，则______ （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：由图形知与中心对称， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 9．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点C中心对称，连接，则的长是 ________________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，勾股定理，根据等腰三角形的性质可得，，根据与关于点C中心对称，可得，，，再根据勾股定理可得的长．理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线， ∴，， ∴， ∵与关于点C中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出向左平移4个单位所得的，并求平移过程中扫过的面积； (2)画出关于原点对称的； (3)若与关于点成中心对称，求点的坐标． 【答案】(1)画图见解析； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，画出，顺次连接，即可求解，再求得平行四边形的面积即可； （2）根据关于原点的对称的性质画出点，顺次连接，即可求解； （3）连接，找到中点即为所求，根据坐标系写成点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，平移过程中扫过的面积为 （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $