29.2.1 垂直于弦的直径 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“垂直于弦的直径”，系统梳理圆的对称性、垂径定理及推论、知二推三规律和直角三角形计算模型，通过折叠圆形纸片实践探究圆的轴对称性，结合问题引导从对称性自然过渡到定理推导，搭建知识支架。 其亮点在于以数学眼光设计实践活动（如折叠纸片）培养几何直观，通过定理证明及反例分析发展推理意识，结合赵州桥半径计算、平底烧瓶高度等实际问题强化模型意识。分层题型覆盖基础到中考真题，易错总结精准，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

新人教版9年级上册 精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 29.2.1 垂直于弦的直径 第29章 圆 29.2.1 垂直于弦的直径（含解析） 一、核心知识点梳理 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴。本节垂径定理，本质就是利用圆的轴对称性推导得出，是圆计算与证明的核心依据。 2. 垂径定理（核心必考） 定理内容：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 几何语言： 在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E， 则：$$CE=DE$$，$$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$$，$$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$$。 核心解读：一条直径同时满足两个结果——平分弦、平分弦对应的两条弧。 3. 垂径定理推论（高频考点） 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 关键前提：被平分的弦不能是直径。 原因：任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，因此必须排除弦为直径的特殊情况。 4. 垂径定理知二推三规律 在以下五个条件中，任意满足两个，可推出剩余三个： ① 直线过圆心（是直径）；② 直线垂直于弦；③ 平分弦；④ 平分弦所对优弧；⑤ 平分弦所对劣弧。 5. 垂径定理计算模型（必考直角三角形模型） 已知圆半径$$R$$、弦长$$L$$、弦心距（圆心到弦的距离）$$d$$，三者满足公式： $$\boldsymbol{R^2=d^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2}$$ 解题思路：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解边长、半径、弦心距。 二、基础必考题型练习 （一）选择题 1. 下列关于垂径定理说法正确的是（） A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 D. 直径一定垂直于任意弦 2. 已知⊙O的半径为5，弦AB长为8，则圆心O到弦AB的距离为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 若直径平分一条弦，则下列说法一定正确的是（） A. 一定垂直弦 B. 一定平分弦所对的弧 C. 弦不是直径时，直径垂直弦 D. 无正确选项 （二）填空题 4. 垂直于弦的直径________弦，并且________弦所对的两条弧。 5. 圆的半径为10，圆心到弦的距离为6，则这条弦的长度为________。 6. 平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分弦所对的弧。 （三）解答题 7. 已知⊙O半径为13，弦AB的弦心距为5，求弦AB的长。 8. 如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AB=12，OE=4，求⊙O的半径。 三、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：A必须是直径才成立；B未排除弦为直径的情况；D直径不一定垂直弦，只有垂直弦才有对应性质。 2. 答案：A 解析：由垂径公式$$R^2=d^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2$$，代入$$R=5，L=8$$，得$$5^2=d^2+4^2$$，解得$$d=3$$。 3. 答案：C 解析：推论前提：弦不是直径时，平分弦的直径垂直弦且平分弧。 4. 答案：平分；平分 5. 答案：16 解析：$$10^2=6^2+\left(\dfrac{L}{2}\right)^2$$，解得半弦长为8，弦长$$L=16$$。 6. 答案：垂直 7. 解析： 由垂径定理得：半弦长$$=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$$， 弦长$$AB=12\times2=24$$。 答：弦AB的长为24。 8. 解析： ∵ 直径CD⊥AB，∴ $$AE=\dfrac12AB=6$$， 在Rt△AOE中，$$OA=\sqrt{AE^2+OE^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$。 答：⊙O的半径为$$2\sqrt{13}$$。 四、高频易错总结 1. 定理条件残缺：误用“垂直弦的直线平分弦”，必须是过圆心的直径才成立； 2. 推论忽略前提：忘记“平分弦（不是直径）”的限制，直接判定垂直； 3. 公式套用错误：计算时忘记取半弦长，直接用整条弦长代入勾股定理； 4. 辅助线遗漏：解圆中弦长问题，不会作“过圆心垂直于弦的垂线”，无法构造直角三角形； 5. 弧的平分混淆：只记得平分弦，忘记定理同时平分优弧、劣弧。 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题. 实践探究 　 把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 探究新知 圆的轴对称性 知识点 1 （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. ●O 说一说 （2）如何来证明圆是轴对称图形呢？ 探究新知 4 B O A C D E 是轴对称图形． 大胆猜想 已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦， CD⊥AB，垂足为E． 【思考】左图是轴对称图形吗？ 探究新知 满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？ 证明：连接OA，OB. 则OA＝OB． 又∵CD⊥AB， ∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线. ∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称. B O A C D E 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 探究新知 如图，AB是⊙O的一条弦， 直径CD⊥AB， 垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么? 线段: AE=BE 弧: AC=BC， AD=BD ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 理由：把圆沿着直径CD折叠时， CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ · O A B D E C 探究新知 垂径定理及其推论 知识点 2 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD是直径，CD⊥AB， ∴ AE=BE， ⌒ ⌒ AC =BC， ⌒ ⌒ AD =BD. 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如. 探究新知 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 A B O C D E O A B C A B D C O E 探究新知 A B O E C 9 垂径定理的几个基本图形： A B O C D E A B O E D A B O C A B O D C 探究新知 归纳总结 【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？ ①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 一条直线 过圆心 垂直于弦 平分弦 平分线所对的优弧 平分弦所对的劣弧 具备其中两条 其余三条成立 探究新知 D O A B E C 举例证明其中一种组合方法. 已知: 求证： ① CD是直径； ② CD⊥AB，垂足为E； ③ AE=BE； ④ AC=BC； ⑤ AD=BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 探究新知 证明猜想 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2） B D （2）由垂径定理，得AC =BC， AD =BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ （1）连接AO，BO，则AO=BO， 又∵AE=BE， OE=OE ∴△AOE≌△BOE（SSS）. ∴∠AEO=∠BEO=90°. ∴CD⊥AB. 证明举例 ⌒ AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？ ⌒ ⌒ ⌒ 探究新知 D O A B E C 证明： 13 思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明：圆的两条直径是互相平分的. 探究新知 归纳总结 例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm， OE=6 cm，则AB= cm. · O A B E 解析：连接OA，∵ OE⊥AB， ∴ AB=2AE=16 cm. 16 ∴ （cm）. 素养考点 1 垂径定理及其推论的计算 探究新知 15 例2 已知：⊙O中弦AB∥CD， 求证：AC＝BD. ⌒ ⌒ . M C D A B O N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）， AM－CM＝BM－DM. ∴AC＝BD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 平行弦夹的弧相等. 利用垂径定理及推论证明相等 素养考点 2 探究新知 16 16 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件. 归纳总结 探究新知 O O O A A A B B B C C D E M N 17 17 例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出导入中赵州桥主桥拱半径的问题吗? 素养考点 3 垂径定理的实际应用 探究新知 在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2， 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m. 解得 R≈27.3. 因此，赵州桥主桥拱半径长约为27.3m. 即R2=18.52+（R-7.23）2， ∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23. 探究新知 19 知识点1 圆的轴对称性 1. 下列说法中，不正确的是( ) C A. 圆是轴对称图形 B. 圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C. 圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D. 经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 中考考法 20 知识点2 垂径定理及其推论 （第2题） 2. 如图,是的直径,是 的一条 弦, 于点 ,则下列结论： ； ； ； .其中一定正确的有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 21 （第3题） 3. 如图，是 的弦， 半径于点.若， ,则 的长是( ) A A. 3 B. 2 C. 6 D. 中考考法 22 4.如图，以点为圆心的圆弧与轴交于，两点，点 的坐 标为，点的坐标为，则点 的坐标为______. （第4题） 中考考法 23 5.[2026合肥期末] 如图，是的弦，点在弦 上，已 知的半径为7，若，，则 的长为___. 8 （第5题） 中考考法 24 【点拨】如图，连接，过点作 于点，则，设 ， . ， . ，解得 . . . .故答案为8. 中考考法 25 知识点3 垂径定理的应用 （第6题） 6. 如图，这是一名同学从照片上剪下来 的海上日出时的画面（示意图），图中 太阳与海平线交于, 两点，他测得图中 圆的半径为， ．若太阳 从目前所处位置 D A. B. C. D. 到完全离开海平线的时间为 ，则图中太阳升起的速度为 ( ) 中考考法 26 （第7题） 7. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧 瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度 受热.如图，它的截面图可以近似地看作是由 去掉两个弓形后与矩形 组合而成的图 形，其中，若 的半径为25， ，， ，则该平底烧瓶 的高度为____. 80 中考考法 27 【点拨】如图，连接，，过点作 ， 交于点，交于点，平分 . ，平分 . ，，， . 在和中， ，由勾股定理得 ，， 该 平底烧瓶的高度为 . 中考考法 28 8. 如图①，是 的直 径，是 上的一点，连接 ，，是 上的动点， C A. 10 B. 6 C. 5 D. 过点作于点.设，，与 之间的函 数关系图象如图②所示，若是图象的最高点，则 的长是 ( ) 中考考法 29 【点拨】过点作于点，交于点 ，由图象可 知此时，.设，则 .在 中，由勾股定理可列方程求出，则 ，从 而可求出 . 中考考法 30 9. 如图，是的直径，点在上， 于点 ，点是上的动点（不与重合），点为 的中点， 若,，则 的最大值为____. 7.5 （第9题） 中考考法 31 【点拨】如图，延长交于点 ，连 接,，即，且 是的直径，.又 点为 的中点，.当为直径时， 取得最大值，此时取得最大值.设的半径为 ，则 .在中， , ，解得,的最大值为15, 的最大值为7.5. 中考考法 32 垂径定理 内容 推论 辅助线 一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对优 弧;⑤平分弦所对的劣弧. “知二推三” 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 两条辅助线： 连半径，作弦心距 构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程. 基本图形及变式图形 课堂小结 33 $