29.2.1 垂直于弦的直径 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

这是一份初中数学圆的同步教学课件，共23页，围绕“垂直于弦的直径”展开。通过剪圆探究引入圆的轴对称性，讲解垂径定理及推论，结合赵州桥实例和随堂演练，构建“知二推三”的知识支架，助力学生系统掌握相关性质。 资料注重核心素养培养，通过动手折叠探究圆的对称性发展几何直观，证明过程强化推理意识，赵州桥问题渗透模型观念。“知二推三”归纳帮助学生构建知识网络，多样化例题和练习提升运算能力，既利于学生理解应用，也为教师教学提供丰富素材。九年级学生面临升学，需重点掌握垂径定理的应用及与勾股定理的结合，本资料能有效夯实基础，提升解题能力。

第二十九章 圆 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 知识点1 圆的轴对称性 ① 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？ 探究 发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　 下面我们来证明这个结论. 2 如图，设AB是⊙O 中任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线.因为圆心O在AB上，所以OM′=OM, 因此点M′在⊙O 上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立. M′ O M A B N 3 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. O 直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”. 圆有无数条对称轴. 4 例1 下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴 解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D. D 5 知识点2 垂径定理 ② 垂径定理 M′ O M A B N 问题：如图,MM′是⊙O 的一条弦, 直径AB⊥MM′, 垂足为N. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么? 6 M′ O M A B N 相等的线段: MN=M′N 相等的弧: 弧 MA=M′A, 弧 MB=M′B 理由： 把圆沿着直径AB 折叠时，点M 与点M′ 重合，MN 与M′N 重合， 弧MA 和弧M′A重合,弧MB 与弧M′B 重合． 这样，我们就得到垂径定理: 7 B O A C D E 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理 指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆. 此处的“直径”可以是过圆心且垂直于弦的线段、直线 8 几何语言 如图，CD ⊥ AB ，垂足为E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为： 9 例2 如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm. · O A B E 解析：如图，连接OA. ∵ OE⊥AB， ∴AE==8（cm）. ∴AB=2AE=16 cm. 16 10 探究 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换，命题是真命题吗？ 11 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE. （1）CD⊥AB吗？为什么？ （2）弧AC与弧BC相等吗?弧AD与弧BD相等吗? B O A C D 解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO, 又AE=BE，OE=OE, ∴△AOE≌△BOE（SSS）， ∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB. （2）由垂径定理可得弧AC=弧BC，弧AD =弧BD. E 12 B O A C D E 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧. “不是直径”的条件能去掉吗？ 注意 “不是直径”的条件不能去掉.因为圆的任意两条直径都是互相平分的. 13 几何语言 如图，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB . 可用几何语言表述为: 14 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦； （4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧. 上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论. 简记为：知二推三 归纳 15 例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 16 A B C D O h r d 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 17 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD =AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 即 R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 因此，赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. 解得 R ≈27.3， 18 随堂演练 B 1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴 19 10 2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= . 20 3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线 AB 上的 两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形. 证明：如图，过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形. 21 4.如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径. 解：如图，连接OC. ∵OM平分CD,∴OM⊥CD且CM=MD= CD=2m. 设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r, 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.解得r= . 即⊙O的半径为 m. 22 课堂小结 垂直于弦的直径 圆的轴对称性 垂径定理 定理 推论 23 $