精品解析：甘肃省兰州市第八十九中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

兰州市第十九中学教育集团片区2025～2026学年第二学期 期末考试 八年级 数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、选择题（共11小题；每小题3分，满分33分） 1. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 2. 若，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当时，，，此时，因此A错误； B、∵，不等式两边同乘，不等号方向改变，可得，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，因此B正确； C、当时，不等式两边同除以，不等号方向改变，可得，当时分式无意义，因此C错误； D、∵，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，因此D错误． 3. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：由作图知，， ∴是等边三角形，是等腰三角形，点C在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， 故选项A错误，选项B、C、D正确． 4. 某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点平移规律可知：左右平移改变横坐标，左移横坐标减，右移横坐标加；上下平移改变纵坐标，上移纵坐标加，下移纵坐标减，按规律计算即可得到新点坐标． 【详解】解：原点点的坐标为，点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位， 点的横坐标为 ，点的纵坐标为 ， 点的坐标为． 5. 下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对边平行，一组对角相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形即可选出答案． 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定，该选项不符合题意； 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，能判定，该选项不符合题意； 、若一组对边平行，可得同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对边也平行，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因此能判定，该选项不符合题意； 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不能判定为平行四边形，该选项符合题意． 6. 在 中，， 则满足上述条件的三角形个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知两边及一边对角的三角形个数判断，利用含30°角的直角三角形的性质求出点B到边的高，通过比较高与的大小得到三角形个数. 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ∵，， ∴在中，， ∵，即， ∴在直线上可找到两个不同的点满足，因此满足条件的三角形共有2个. 7. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集是 B. 方程的解是 C. 关于，的方程组的解是 D. 不等式的解集是 【答案】D 【解析】 【分析】两条直线交点的横坐标是对应一元一次方程的解，交点横、纵坐标是对应二元一次方程组的解；直线在轴上方部分对应的解集，一条直线在另一条直线上方部分对应的解集，结合图像交点与直线和轴交点，即可逐一判断选项正误． 【详解】解：不等式的几何意义：直线位于轴上方时，对应的的取值范围， 由图象可知，直线呈下降趋势（随增大而减小），与轴交于，因此当时，函数图象在轴上方，即的解集是，错误； 方程的解，对应两条直线交点的横坐标， 已知两直线交于点，因此方程的解为，错误； 二元一次方程组的解，对应两条直线交点的横、纵坐标， 两直线交点为，因此方程组的解为，错误； 不等式的几何意义：直线的图象位于直线上方时，对应的的取值范围， 由图象可知，在交点（横坐标）的左侧，直线在的上方，因此解集为，正确． 8. 下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（ ） A. ①⑤ B. ②④ C. ③⑤ D. ②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平面图形的分割与组合，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 【详解】解：如图所示：图案是由五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠）， 这两种基本图形是②⑤． 故选：D． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 10. 小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键．先根据除法与减法的意义列式表示“”为，再计算即可． 【详解】解：撕坏的一角中“”为． ． 故选：C． 11. 如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：延长、交于点，如图所示， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴②正确； ∵，∴， ∴，∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确；   故选：C ． 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 12. 在2026年4月的交流会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小明量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据正多边形的性质得出，再利用等边对等角及三角形内角和定理求出正多边形的一个内角度数，最后利用正多边形内角和公式建立方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，为正多边形的边，  ，  ，  ，  ， 设这个正多边形的边数是， 则 ， 解得， 即这个正多边形的边数是12． ． 13. 已知，求的值为________． 【答案】2027 【解析】 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 14. 如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2026个三角形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出第2个三角形的周长，再总结规律，然后根据规律解答即可． 【详解】解：如图： ∵D、E、F分别为的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴的周长， ∴第2个三角形的周长是， 同理可得，第3个三角形的周长是， 第4个三角形的周长是， …， 第n个三角形的周长是， ∴第2026个三角形的周长是． 15. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 三、解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 16. 解不等式组：，并写出所有的整数解． 【答案】；整数解为2，3，4，5 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，再求出公共解，最后可得到整数解． 【详解】解：， 解①得， 由②得， 解得， 不等式组的解集为， 所有的整数解为2，3，4，5． 17. 已知k是正整数，求证：能被4整除． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】先展开化简原式，合并同类项后，进行因式分解，结合k是正整数的条件，即可证明结论 【详解】证明： ， ∵k是正整数， ∴是正整数， ∴能被4整除， ∴能被4整除． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 19. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 【答案】不正确，见解析 【解析】 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解法，再检验即可． 【详解】解：小明的解答过程不正确，正确解答如下： ， 两边同时乘以得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 20. 如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． （1）求证： （2）写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． 【答案】（1）证明：于点D， ， 在与中， ， ； （2）解：且，证明如下： ， ，； ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）利用垂直的定义推出，再根据证明，即可解题； （2）利用全等三角形性质，以及三角形内角和定理分析推理，即可证明线段与线段的数量关系和位置关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： （1）平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； （2）画出平移后三角形； （3）若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【小问1详解】 解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； 【小问2详解】 解：如图所示： 即为所求； 【小问3详解】 解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 22. 工厂生产A、B两种零件，生产2个A零件、5个B零件共耗费原料；生产3个A零件、4个B零件耗费原料． （1）求单个A、B零件分别消耗原料多少千克； （2）现计划生产A、B共60个，原料总消耗不超过，且B零件数量不少于A零件数量的求共有几种生产方案． 【答案】（1）生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料； （2）共有7种生产方案． 【解析】 【分析】（1）设生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件分别消耗原料，依题意列出方程组，求解即可； （2）设生产A零件个，则生产B零件个，依题意列出不等式组，求出的取值范围，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料，依题意得： ， 解得：， 答：生产单个A零件消耗原料，生产单个B零件消耗原料； 【小问2详解】 解：设生产A零件个，则生产B零件个，依题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴的取值为，共种， 答：共有7种生产方案． 23. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 24. 如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，再由即可证明结论； （2）由平行四边形对边相等得到，再由三角形中位线定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中位线， ∴． 25. 在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． （1）请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； （2）计算：_____； （3）若，，求的值． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【小问1详解】 解：①； 故答案为： ②； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由条件可知， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故的值为． 26. 综合与探究 问题情境 在数学活动课上，老师提出一个问题：如图1，与都为等腰直角三角形，其中，，，．将固定，绕点A逆时针旋转，连接，．试判断与的数量关系及位置关系，并说明理由． （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）如图2，连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．试判断的形状，并说明理由． 拓展延伸 （3）连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．若，，在旋转过程中，当点C，D，E在同一条直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）且．理由见解析；（2）为等腰直角三角形，理由见解析；（3）的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、三角形中位线的判定与性质、勾股定理、全等三角形判定和性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先运用证明可得，如图：延长分别交于G、F，由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理、对顶角相等以及等量代换可得； （2）由三角形中位线的判定与性质可得，再结合（1）的结论，可得，即为等腰直角三角形； （3）分点E在上和点E在的延长线上两种情况，分别利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）结论：且，理由如下： ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 如图：延长分别交于G、F， ∵， ∴． ∵，， ∴，即． （2）为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P，M，N分别为，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴， ∵，， ∴，即为等腰直角三角形； （3）①当点E在上时，连接， ， ， ∵点M是的中点， ， ，即 ∵为等腰直角三角形， ∴； ②当点E在的延长线上时，连接， 由①可知： ，即 ∵为等腰直角三角形， ∴． 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州市第十九中学教育集团片区2025～2026学年第二学期 期末考试 八年级 数学 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上，在试卷上作答无效． 3．考试结束，只上交答题卡． 一、选择题（共11小题；每小题3分，满分33分） 1. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，数学课上，老师向同学们展示了以下作图步骤： ①作线段，分别以A，B为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为C； ②以点C为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点D； ③连结． 则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 点C在的垂直平分线上 D. 4. 某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. 两组对边分别相等 B. 对角线互相平分 C. 一组对边平行，一组对角相等 D. 一组对边平行，另一组对边相等 6. 在 中，， 则满足上述条件的三角形个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 7. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 方程的解集是 B. 方程的解是 C. 关于，的方程组的解是 D. 不等式的解集是 8. 下边的图案是由下面五种基本图形中的两种经平移、旋转或翻折后拼接而成（不重叠），这两种基本图形是（ ） A. ①⑤ B. ②④ C. ③⑤ D. ②⑤ 9. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 10. 小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“”为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分） 12. 在2026年4月的交流会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小明量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是__________． 13. 已知，求的值为________． 14. 如图，已知的周长为1，连接三边的中点构成第2个三角形，再连接第2个三角形三边的中点构成第3个三角形，……，依此类推，第2026个三角形的周长为_________． 15. 若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 三、解答题（共11小题，满分75分，解答时写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 16. 解不等式组：，并写出所有的整数解． 17. 已知k是正整数，求证：能被4整除． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 在解分式方程时，小明的解法如下： 解： 检验：当时， ∴原分式方程的解为 请判断小明的解答过程______（填选：正确/不正确），若不正确，请你写出正确的解答过程． 20. 如图，在中，于点D，E为边上一点，连接交于点F，且，． （1）求证： （2）写出线段与线段的数量关系和位置关系，并证明． 21. 如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： （1）平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； （2）画出平移后三角形； （3）若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 22. 工厂生产A、B两种零件，生产2个A零件、5个B零件共耗费原料；生产3个A零件、4个B零件耗费原料． （1）求单个A、B零件分别消耗原料多少千克； （2）现计划生产A、B共60个，原料总消耗不超过，且B零件数量不少于A零件数量的求共有几种生产方案． 23. 如图，在中，平分． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点．分别交于点，．连接（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，猜想线段与的关系，并说明理由． 24. 如图，在中，是一条中位线，连接，过点作交的延长线于点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，求的长． 25. 在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． （1）请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； （2）计算：_____； （3）若，，求的值． 26. 综合与探究 问题情境 在数学活动课上，老师提出一个问题：如图1，与都为等腰直角三角形，其中，，，．将固定，绕点A逆时针旋转，连接，．试判断与的数量关系及位置关系，并说明理由． （1）请解答老师提出的问题． 深入探究 （2）如图2，连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．试判断的形状，并说明理由． 拓展延伸 （3）连接，点P，M，N分别为，，的中点，连接，，．若，，在旋转过程中，当点C，D，E在同一条直线上时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $