精品解析：广东省深圳市外国语学校2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试卷

2025—2026学年深圳外国语学校八年级（下）期末 数学试卷 说明：试卷共4页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、班级、学号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 6. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 10. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 11. 如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 12. 如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是___________． 13. 如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解下列方程： （1）． （2）． 15. 如图，在中，点E，F分别在边，上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 16. 如图，在四边形中，、相交于点O，O是中点，． （1）证明四边形是平行四边形； （2）若是边长为3的等边三角形，求四边形的周长． 17. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． （2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 18. 在菱形中，对角线、相交于点O，，． （1）请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 20. 【材料理解】 素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）． 例：如图1，四边形是凸四边形，四边形不是凸四边形． 素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，这条过顶点的线段称为“顶似线”． 【特例感知】 如图2，在等腰中，，，则是“顶似三角形”． 分析：________________，相似比是________． 则等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． （1）请补充以上分析过程中横线上的内容． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，是“顶似三角形”吗？请证明你的结论． 【拓展延伸】 （3）如图4，在中，，，． ①直接写出：________，________，的面积为________； ②凸四边形是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在的基础上，用直尺作出凸四边形，并求出它的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年深圳外国语学校八年级（下）期末 数学试卷 说明：试卷共4页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、班级、学号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若分式有意义，则x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分式有意义的条件，即分式的分母不能为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴，解得． 2. 已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段成比例的计算，掌握比例的性质是解题的关键． 由题意得，代入计算即可求解． 【详解】解：已知是成比例线段， ∴， 其中，，， ∴， 解得，， 故选：B ． 3. 如图，在中，，则（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 又， ， ∴． 故选：B． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个相等的实数根”． 根据方程的二次项系数不等于0结合根的判别式，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，， 解得：， 故选：A． 6. 如图，在中，D、E分别为、边上的点，，与相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可判定，根据相似三角形对应边成比例可得，同时由可得其他比例关系，从而判断各选项． 【详解】解：∵， ， ∴，故D选项正确，C选项错误； ∵， ∴， ∴， ∴，，故A、B选项都错误 ． 7. 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 8. 如图，正方形的边长为6，点E，F是边，上的点，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接交于点H，若，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，进而得到的长；根据折叠的性质可得，，为中点；设，在和中利用勾股定理列方程求出，进而求出的长；最后在中利用勾股定理求出的长． 【详解】解：连接，，如图， 四边形是正方形，边长为6， ，， 在中，，， ， ， 由折叠的性质可知，，，， 设，则， 在中，， 在中，， ， ，解得， ， ， ， 在中，． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 已知一个长方形的长、宽分别为、，若它的周长为18，面积为20，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据长方形的周长和面积公式，得出和的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【详解】解：长方形的周长为，面积为， ，即，． 则． 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，若，则四边形是_________（填特殊形状）． 【答案】矩形 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可得，，，，，从而得出，，进而可得四边形是平行四边形，结合题意得出，即可得证． 【详解】解：∵E、F、G、H分别是四边形四条边的中点， ∴为的中位线，为的中位线，为的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 12. 如图，在中，，是的中线，延长至点，使得，连接．若，，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出、，再利用勾股定理求出的长即可 ． 【详解】解：， ， ， 点是的中点， ， 是的中线， ， 又， ． 故答案为： ． 13. 如图，在矩形中，点E在边上，且，点F在线段上，满足，且，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，根据，求出，然后证明，设，则，设，则由相似三角形的性质求出，再由勾股定理求解，即可求解比值． 【详解】解：过点作交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ 设 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴设，则，设， ∴ 化简得，（舍负） ∴ ∴ 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解下列方程： （1）． （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）通过等式两边同时乘，移项，合并同类项，解分式方程； （2）通过因式分解解一元二次方程． 【小问1详解】 解： 等式两边同时乘，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解： ， ，或， ，． 15. 如图，在中，点E，F分别在边，上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】（1）②； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∴ 在与中， ， ； （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）由于，根据平行线的性质得不到，故②错误；根据平行四边形的性质证明出，再由证明全等即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加条件即可； 【小问1详解】 解：上述推理过程从第②步开始出现错误，因为得不到； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 16. 如图，在四边形中，、相交于点O，O是中点，． （1）证明四边形是平行四边形； （2）若是边长为3的等边三角形，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵O是中点， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，则，再根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）由等边三角形以及等腰三角形的性质导角证明，再对运用勾股定理求解，最后根据平行四边形的性质求解周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是边长为3的等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴四边形的周长． 17. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克按50元销售，一个月能售出500千克，如果销售单价每千克涨1元，则月销售量就减少10千克，针对这种水产品销售情况，请解答以下问题： （1）设销售单价为每千克x元（），月销售利润为y元，用含x的式子表示________（直接写出）． （2）为了尽快减少库存，并且使得月销售利润正好达到8000元，销售单价应为多少元？ 【答案】（1） （2） 销售单价应为元. 【解析】 【分析】 （1）根据单价变化得到销售量的变化，据此列出函数表达式； （2）将总利润8000代入函数表达式，解一元二次方程后，再根据“尽快减少库存”的要求对解进行取舍，得到符合要求的销售单价． 【小问1详解】 解：由题意得，每千克利润为元， 销售单价相比50元上涨了元， 因此月销售量减少千克， 月销售量为千克， 因此总利润； 【小问2详解】 解： 将代入 得  整理得  解得，  当时，月销售量为（千克） 当时，月销售量为（千克） ∵要尽快减少库存，需要更大的月销售量 又∵ ∴  答：销售单价应为元． 18. 在菱形中，对角线、相交于点O，，． （1）请在上找一点E，使得，要求在图1中尺规作图，不写作法，保留作图痕迹． （2）在（1）的条件下，延长交于点F，如图2，求的长． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧交于点、，作直线交于点，连接，点即为所求； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理可得，作于点，由菱形的面积公式计算可得，作于点，作于点，则，设，则，由勾股定理可得，求出，再由等面积法计算即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， 如图，作于点， ∵， ∴， 作于点，作于点，则， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② （2）已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． （3）已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】（1）① （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系数为1的方程即可． 【小问1详解】 解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； 【小问2详解】 解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； 【小问3详解】 解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 20. 【材料理解】 素材1：凸多边形是指多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧（北师大数学七年级上册教材P128）． 例：如图1，四边形是凸四边形，四边形不是凸四边形． 素材2：过多边形的一个顶点的线段把该多边形分成相似的两部分，则称该多边形为“顶似多边形”，这条过顶点的线段称为“顶似线”． 【特例感知】 如图2，在等腰中，，，则是“顶似三角形”． 分析：________________，相似比是________． 则等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． （1）请补充以上分析过程中横线上的内容． 【问题解决】 （2）如图3，在中，，是“顶似三角形”吗？请证明你的结论． 【拓展延伸】 （3）如图4，在中，，，． ①直接写出：________，________，的面积为________； ②凸四边形是“顶似四边形”，它的唯一一条“顶似线”过点M．请在的基础上，用直尺作出凸四边形，并求出它的面积． 【答案】（1），， （2）是“顶似三角形”，证明如下： 如图，作于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是“顶似三角形”； （3）①，，； ②当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为； 如图，当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为； 如图，当时，作于点， 则，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时凸四边形的面积为． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，，再结合相似三角形的判定与性质即可得出结果； （2）作于点，则，由同角的余角相等得出，从而可得，即可得证； （3）①作于点，则，为等腰直角三角形，结合勾股定理求出，求出，即可得出，由勾股定理得出，即可得出结果； ②分三种情况，分别结合相似三角形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在等腰中，，， ∴，，， ∴，相似比是； ∴等腰是“顶似三角形”，是它的“顶似线”． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：①如图，作于点，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $