第一章 特殊平行四边形 章末检测 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 初中数学特殊平行四边形单元卷，以环保、生活情境为载体，覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，融合几何直观与推理能力，适配同步教学检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|菱形判定（第1题）、矩形性质（第4题）|结合绿丝带情境（第1题），基础概念辨析（第7题）| |填空题|6/24|菱形边长计算（第12题）、正方形规律探究（第16题）|对角线与面积关系（第12题），动态规律应用（第16题）| |解答题|8/66|矩形判定（第20题）、正方形综合证明（第24题）|中位线与特殊四边形结合（第17题），新定义“对直四边形”探究（第24题）|

第一章 特殊平行四边形 章末检测 一、单选题（每题3分，共30分） 1．绿丝带是颜色丝带的一种，被用来象征许多事物，例如环境保护、大麻和解放农业等，同时绿丝带也代表健康，使人对健康的人生与生命的活力充满无限希望．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图所示，丝带重叠部分形成的图形是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于点E，则AE=（　　） A．6 B．8 C． D． 3．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD周长是（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F（不与顶点重合），则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为（　　） A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等 B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cm C．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cm D．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定 5．下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（　　） A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 6．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC=10，BD=24，则FG的长为（　　） A． B． C． D． 7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记 的面积为 ， 的面积为 ，若正方形的边长 ， ，则 的大小为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 9．如图，菱形 ABCD 对角线交点与坐标原点 O 重合，点 A（-2，5） ，则点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 10．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形 （相邻纸片之间不重叠，无缝隙）.若四边形 的面积为13，中间空白处的四边形 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为 和 ，则 （　　） A．12 B．13 C．24 D．25 二、填空题（每题4分，共24分） 11．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=3，则菱形ABCD的周长是　 　． 12．已知菱形的两条对角线的长分别是10㎝和24㎝，那么菱形的每条边长是　 　. 13．矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=40°，则∠AOB=　 　°． 14．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为　 　． 15．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角度数，正方形ABCD变为菱形 ，若 ，且菱形 的面积为16，则正方形ABCD的面积为　 　． 16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，在BC的延长线上取点B1，使∠CB1D＝60°，分别过点D，B1作DB1，BC的垂线，两垂线交于点A1，再以A1B1为边向右侧作正方形A1B1C1D1；在BC1的延长线上取点B2，使∠C1B2D1＝60°，分别过点D1，B2作D1B2，BC1的垂线，两垂线交于点A2，再以A2B2为边向右侧作正方形A2B2C2D2；……，按此规律继续作下去，则正方形A2022B2022C2022D2022的面积为　 　． 三、解答题（共8题，共66分） 17．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，阅读下列材料， （1）连接AC、BD，由三角形中位线的性质定理可证四边形EFGH是　 　； （2）对角线AC、BD满足条件　 　时，四边形EFGH是矩形； （3）对角线AC、BD满足条件　 　时，四边形EFGH是菱形； （4）对角线AC、BD满足条件　 　时，四边形EFGH是正方形． 18．如图是由边长为1的小正方形构成的 的网格，点A，B均在格点上. （1）在图1中画出以 为边且周长为无理数的 ，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）. （2）在图2中画出以 为对角线的正方形 ，且点E和点F均在格点上. 19．已知：在菱形 中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接 ， .求证： ； 20．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形． 21．已知平行四边形ABCD，AC是它的对角线． （1）用尺规作AC的垂直平分线EF，垂足为O，EF交AB于点E，交CD于点F（不写作法，但要保留痕迹）； （2）连接AF、CE，求证：四边形AFCE是菱形； 22．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝ AC，连接EC． （1）求证：四边形BECO是矩形； （2）连接ED交AC于点F，连接BF，若AC＝12，AB＝10，求BF的长． 23．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且EF＝BE，EF与CD交于点G． （1）求证：DF∥AC； （2）连接DE、CF，若2AB＝BF，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形； （3）在（2）的条件下，若四边形CFDE是正方形，且BC＝80，求AB的长． 24．我们把有一组对角都是直角的四边形，叫做“对直四边形”.例如图1，四边形 中， ，那么四边形 就是对直四边形. （1）在已经学过的“①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形”中，一定是对直四边形是　 　；（填序号） （2）如图2，四边形 是对直四边形，若 ， ， ， ， ，求四边形 的面积； （3）如图3，在正方形 中，点 ， ， 分别从点 ， ， 同时出发，并分别以每秒1，1，2个单位长度的速度，分别沿正方形的边 ， ， 方向运动（保持 ，再分别过点 ， 作 ， 的垂线交于点 ，连结 ， .求证：四边形 为对直四边形. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】菱形的判定 【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， 因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE=AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF．又AE=AF． ∴BC=CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：B 【分析】根据菱形的判定定理即可得出答案。 2．【答案】C 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8， ∴CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO， ∴BC= =5， ∵S菱形ABCD= AC•BD=BC•AE， ∴AE= ， 故答案为：C. 【分析】由菱形的性质可得CO= AC=3，BO= BD=4，AO⊥BO，利用勾股定理求出BC=5，根据S菱形ABCD= AC•BD=BC•AE即可求解. 3．【答案】D 【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，E，F分别是AB，AC的中点，EF=2， ∴BC=2EF=2×2=4．即AB=BC=CD=AD=4． 故菱形的周长为4BC=4×4=16． 故答案为16． 【分析】先求出BC=4，再求出AB=BC=CD=AD=4，最后求菱形的周长即可。 4．【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；矩形的性质 【解析】【解答】解：如图， 在矩形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，∠ABF=∠CDE=90°，AO=CO， ∴∠OAE=∠OCF，∠AEO=∠CFO， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE， ∴△ABF≌△CDE， ∴△CDE与△ABF的周长相等， ∵EF⊥AC， ∴EF是AC的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=矩形ABCD的周长=10cm ∴△ABF的周长为10cm． 故答案为：B 【分析】利用矩形的性质可证△AOE≌△COF，△ABF≌△CDE；因EF⊥AC，EF是AC的垂直平分线，则△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=矩形ABCD的周长，则△ABF的周长为10cm． 5．【答案】B 【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的； （2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的； （3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的； （4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的； （5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的， ∴文易同学答对3道题，得60分， 故答案为：B． 【分析】根据菱形与矩形的判定与性质即可得出答案。 6．【答案】B 【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC=5，OB=OD=12，AC⊥BD， 在Rt△AOD中，AD= =13， 又∵E是边AD的中点， ∴OE= AD= ×13=6.5， ∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD， ∴∠EFO=90°，∠EGO=90°，∠GOF=90°， ∴四边形EFOG为矩形， ∴FG=OE=6.5． 故答案为：B． 【分析】连接OE，根据菱形的性质可得AC⊥BD，利用勾股定理可求出AD的长，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得OE的长，再证明四边形EFOG为矩形，可得GF=OE。 7．【答案】A 【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【解答】解：四边形是平行四边形， ①当时，它是菱形，选项不符合题意， ②当时，它是菱形，选项不符合题意， ③当时，它是矩形，选项不符合题意， ④当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意， 故答案为：A． 【分析】利用平行四边形的性质对每个结论一一判断即可。 8．【答案】D 【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA 【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD. ∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90° ∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°， ∴△BOM≌△CON（ASA）， S2=S△BOM， ∴ ， ∵ = S正方形ABCD，正方形的边长 ， ， ∴ = S正方形ABCD - = . 故答案为：D. 【分析】根据正方形的性质可得OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD，由同角的余角相等可得∠BOM=∠CON，证明△BOM≌△CON，则S2=S△BOM，S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD，据此计算. 9．【答案】B 【知识点】菱形的性质；关于原点对称的点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，点A（-2，5）， ∴OA=OC， ∴点A和点C关于原点对称， ∴点C（2，-5）. 故答案为：B. 【分析】利用菱形的对角线互相平分，可知OA=OC，即可得到点A和点C关于原点对称；再利用关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，可得到点C的坐标. 10．【答案】D 【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；菱形的性质；正方形的判定与性质 【解析】【解答】解： 菱形的对角线互相垂直平分， 个直角三角形全等； ， ， ， 四边形 是正方形，又正方形 的面积为13， 正方形的边长为 ， 根据勾股定理，则 ， 中间空白处的四边形 的面积为1， 个直角三角形的面积为 ， ， ， ， . 故答案为：D. 【分析】由菱形的性质证四边形ABCD是正方形，由正方形的性质及勾股定理得c2＝13＝a2＋b2，易证中间空白处的四边形EFGH也是正方形，可得（b−a）2＝1，即可求解． 11．【答案】12 【知识点】菱形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC=CD， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， 即AD=AB=BD=3， ∴菱形ABCD的周长为：3×4=12． 故答案为：12． 【分析】由四边形ABCD是菱形，可得AD=AB=BC=CD，又由∠A=60°，则可证得△ABD是等边三角形，继而求得答案． 12．【答案】13cm 【知识点】勾股定理；菱形的性质 【解析】【解答】解：如下图所示，菱形ABCD中，BD=10cm，AC=24cm ∴BO= BD=5cm，AO= AC=12cm，BD⊥AC 根据勾股定理可得AB= cm 即菱形的每条边长是13cm 故答案为：13cm. 【分析】根据菱形的性质可得BO= BD=5cm，AO= AC=12cm，BD⊥AC，利用勾股定理求出AB，据此可得菱形的边长. 13．【答案】80 【知识点】矩形的性质 【解析】【解答】解：矩形的对角线，相交于点， ， ， ． 故答案为：80． 【分析】根据矩形的性质可得，再利用三角形的外角的性质可得。 14．【答案】10 【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【分析】根据平行线的性质得出四边形OCED为平行四边形，再根据菱形的性质得出AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，利用勾股定理得出CD的值，得出平行四边形OCED为矩形，即可得出答案。 15．【答案】32 【知识点】菱形的性质；正方形的性质 【解析】【解答】∵ ，即 ∴ ∴ ． 故填32． 【分析】先求出，再求出，最后利用正方形的面积计算求解即可。 16．【答案】 【知识点】正方形的性质；探索图形规律 【解析】【解答】解：由题意得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可求得， ∴， 同理可求得， ∴ ∴可以推出， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】根据题意找出规律求出，再计算求解即可。 17．【答案】（1）平行四边形 （2）AC⊥BD （3）AC=BD （4）AC⊥BD且AC=BD 【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：（1）连接AC、BD． ∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点， ∴EF∥AC，EF= AC，FG∥BD，FG= BD，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD． ∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH． ∴四边形EFGH是平行四边形； （2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD； （3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD； （4）要使四边形EFGH是正方形，综合（2）和（3），则需AC⊥BD且AC=BD． 【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得四边形EFGH的对边分别平行且相等，即可判断四边形EFGH的形状； （2）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行分析； （3）根据“有一组临边相等的平行四边形是菱形”进行分析； （4）根据“有一个角是直角，且对边相等的平行四边形是矩形”，结合（2）、（3）即可解答. 18．【答案】（1）解：如图四边形 即为所作，答案不唯一. （2）解：如图，四边形 即为所求作的正方形. 【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）根据两边对边相等的四边形是平行四边形作图，注意根据勾股定理，结合无理数的定义作出AD和BC； （2）以AB为斜边分别作等腰直角△AFB和等腰直角△AEB，即可得出正方形AEBF. 19．【答案】证明：∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ∵点E，O，F分别为 ， ， 的中点， ∴ 在 和 中， ， ∴ ； 【知识点】菱形的性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS 【解析】【分析】根据菱形的性质可得∠B=∠D，AB=BC=DC=AD，结合中点的概念可得AE=BE=DF=AF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明. 20．【答案】解：∵PQ∥BC， ∴∠DEC＝∠BCE，∠DFC＝∠GCF， ∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACG， ∴，， ∴∠DEC＝∠DCE，∠DFC＝∠DCF， ∴DE＝DC，DF＝DC， ∴DE＝DF， ∵点D是边AC的中点， ∴AD＝CD， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BCA+∠ACG＝180°， ∴∠ECF＝∠DCE+∠DCF＝， ∴平行四边形AECF是矩形． 【知识点】矩形的判定 【解析】【分析】先证明DE=DC，DF=DC，则DE=DF，再证明四边形AECF是平行四边形，然后证明∠ECF=90°，即可得出结论。 21．【答案】（1）解：如图，为所作； （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 与互相垂直平分， 四边形是菱形． 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定 【解析】【分析】（1）根据作垂直平分线的方法作图即可； （2）先求出CO=AO，再利用AAS证明三角形全等，最后利用全等三角形的判定与性质求解即可。 22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BOC=90°，OC=OA= AC， ∵BE= AC， ∴BE=OC， ∵BE∥AC， ∴四边形BECO是平行四边形， ∵∠BOC=90°， ∴平行四边形BECO是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=10，OC= AC=6，OB=OD，AC⊥BD， 在Rt△OBC中，由勾股定理得：OB= =8， ∴BD=2OB=16， 由（1）得：四边形BECO是矩形， ∴BE=OC=6，∠OBE=∠ECO=90°，OB=CE，OB∥CE， ∴DE= ，∠ODF=∠CEF，OD=CE， 在△ODF和△CEF中， ， ∴△ODF≌△CEF（ASA）， ∴DF=EF， ∵∠DBE=90°， ∴BF= DE= ， 故BF的长为 ． 【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线 【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得∠BOC=90°，OC=OA= AC，从而得出BE=OC，即可得出四边形BECO是平行四边形，由∠BOC=90°即证结论； （2）先求出DE的长，根据ASA证明△ODF≌△CEF，可得DF=EF， 根据直角三角形斜边中线的性质可得BF= DE，从而得出结论. 23．【答案】（1）证明：连接，交于点O，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）证明：如图所示： 由（1）得：， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形； （3）解：设，则，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，，， ，是等腰直角三角形， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；正方形的性质 【解析】【分析】（1）连接BD，交AC于点O，证明OE是三角形BDF的中位线，得到OE//DF即可； （2）先证明，得到FG=EG，则四边形CFDE是平行四边形，再证明CD=EF，即可得出结论； （3）设，则，，证明是等腰直角三角形，得到，再证明 是等腰直角三角形，得到，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，即可求解。 24．【答案】（1）③④ （2）解：如图2，连接 ， 四边形 是对直四边形，且 ， . ， ， 整理得 ， 解得 或 舍弃）， ， ， ， . （3）证明：如图3，延长 交 于点 . 由题意得 . 四边形 是正方形， ； ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， 四边形 是矩形， ， ； ， ， ； ， ， ， ， ， ， 四边形 为对直四边形. 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；定义新运算；三角形全等的判定-SAS 【解析】【解答】（1）解： 矩形的四个角都是直角， 矩形符合“对直四边形”的定义， 矩形是“对直四边形”； 正方形的四个角都是直角， 正方形符合“对直四边形”的定义， 正方形是“对直四边形”； 平行四边形和菱形的对角不一定是直角， 平行四边形和菱形不符合“对直四边形”的定义， 平行四边形和菱形不一定是“对直四边形”. 故答案为：③④； 【分析】（1）直接根据“对直四边形”的定义进行判断； （2）连接AC，易得∠B=∠D=90°，由勾股定理可得AC2=AB2+BC2=AD2+CD2，求解可得x，据此可得AB、BC、CD的值，然后结合三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解； （3）延长EG交AD于点Q，由题意可得CE=CF=DH，由正方形的性质可得∠C=∠D=90°，推出四边形CEGF是正方形，得∠EGF=90°，故四边形FGQD是矩形，得QH=DH=EG，证明△BEG≌△GQH，得到∠BGE=∠GHQ，推出∠BGH=90°，据此判断. 1 学科网（北京）股份有限公司 $