精品解析：安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题

安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前项和，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 B. 已知随机变量~，若随机变量，则 C. 将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种 D. 若随机变量~，且，则 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有2个 D. 的最小值是 11. 已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（ ） A. B. 在极值点个数为3 C. 在零点个数为2或3 D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 13. 展开式中项系数是_________． 14. 已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，且，，求的面积． 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某校为了全面提高学生的综合素养，举办了“最强中学生”知识竞赛，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查，并得到如下列联表，其中为正整数： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 （1）用频率估计概率，求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率； （2）若依据的独立性检验，认为对该活动的满意度与性别有关，求的最小值； （3）若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 19. 已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为． （1）证明：是等比数列； （2）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，．记，求数列的前项和； （3）若对任意时，不等式恒成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽宣城市2025-2026学年第二学期高二期末测试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵ 解不等式，即得，即. ∵ 集合，且， ∴ 集合中的所有元素都属于集合，故， 即实数的取值范围是. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算对复数化简即可求解. 【详解】， 所以复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 3. 已知向量，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面向量共线的坐标运算规则求出的值，再结合α的取值范围与同角三角函数的平方关系计算. 【详解】据平面向量共线的坐标充要条件：若两向量，平行，则满足. 已知，且，代入公式得： ， 解得， 由于，即α为第二象限角，第二象限角的余弦值为负，结合同角三角函数基本关系， 可得： . 4. 已知，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合对数函数的单调性、指数函数的单调性可得，即可得解. 【详解】根据题意，， ， 所以. 5. 等比数列的前项和，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分与讨论，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，，不符合题意； 当时，， 因为， 则，解得. 6. 已知，分别是双曲线C：（，）的左、右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点，若，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由双曲线的定义得，最后由余弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，结合， 所以， 又由，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 所以. 7. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，，且，若半径为1的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据球与圆台内切的性质，得到母线与半径之间的关系，以及圆台高的大小，通过联立解得圆台上下底面半径大小，通过圆台体积公式即可求解. 【详解】如图，为上底面圆半径，为下底面半径，且为圆台一条母线，，分别为上下底面圆圆心， 因为半径为1的球与圆台的上、下底面相切，因此，即圆台高， 又因为球与圆台侧面相切，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是梯形的内切圆, 故根据等腰梯形内切圆条件有， 而又有且，因此得，， 因此根据圆台体积的计算公式，. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解，将求的零点个数问题转为求方程与和交点的个数，利用导数分析时函数的性质，画出的函数图像，得出结论. 【详解】令，即， 解得或， 故求的零点个数，等价于求函数与和交点的个数和. 时，，求导得， 令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故，又， 可以画出函数的大致图像，如图所示， 可知与和交点共有5个， 即的零点个数为5个，C正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 B. 已知随机变量~，若随机变量，则 C. 将4名志愿者安排到3个不同的社区进行创文共建活动，要求每个社区至少安排1名志愿者，则不同排法共有72种 D. 若随机变量~，且，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：该组共8个数据，计算第75百分位数时为整数，因此第75百分位数是第6项和第7项的平均值，即，A错误； 选项B：由二项分布期望公式得，根据期望线性性质，，B正确； 选项C：4人分到3个社区且每个社区至少1人，需先按2,1,1分组，分组数为，再分配到3个不同社区，总排法为种，C错误； 选项D：正态分布对称轴为，故，因此，由对称性得，D正确. 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成（）角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，、为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点．若圆柱的底面圆半径为2，．则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的长轴长为8 B. 椭圆的离心率为 C. 满足的点共有2个 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由椭圆性质，椭圆中的关系，确定，从而得到长轴长，离心率，即可判断AB；以为半径的圆与椭圆交点个数，即可判断C；设，，可得，，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】 对于选项A：已知圆柱底面半径为，，所以， 可得，即，长轴长等于8，故A选项正确； 对于选项B：因为，即， 所以椭圆离心率，故选项B正确； 对于选项C：原题意即为以为圆心，为半径的圆与椭圆有几个交点个数， 因为，故满足条件的点P共有4个，选项C错误； 对于选项D：设，， 由椭圆定义可得，即，可得， 因为在椭圆上，的取值范围是，即， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 所以的最小值为，故D正确. 11. 已知函数（），若方程在区间有且仅有5个解，则（ ） A. B. 在极值点个数为3 C. 在零点个数为2或3 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，通过分析本身的取值范围，根据余弦型函数取值规律，即可判断的范围；对于B选项，对函数求导，分析的导函数零点个数即可，对于C选项，通过分析的取值范围，根据余弦型函数的零点取值规律，即可判断；对于D选项，通过分析的取值范围，判断的导函数正负性即可. 【详解】对于A选项，若，则应有，即， 而因为，因此， 故的解为或，， 即，不为3的倍数， 故从后五个解为，，，，，第6个解为， 因此若有且仅有5个解，则应有，解得，故A选项正确， 对于B选项，，极值点满足，即，， 因此，故， ，，共三个解，故B选项正确， 对于C选项，若，且， 则，且 则与恒在区间内， 对于，当时，，有两个零点， 当时，，有三个零点，故C选项正确， 对于D选项，当时，， 由得，， 因此的取值范围包括，由正变负，先正后负， 因此先单调递增，后单调递减，故D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 13. 展开式中项系数是_________． 【答案】30 【解析】 【分析】先利用乘法分配律展开，再根据二项式定理写出展开式通项，进一步确定含项，即可求解. 【详解】 由二项式定理得的展开式通项为，其中. 令或，得到项系数为： 14. 已知a，b，，（其中是自然对数的底数），则的最小值为_________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】根据表示点与点距离的平方，而在直线上，利用导数法求得与直线平行且与相切的直线的切点，由切点到直线的距离即可求得. 【详解】因可理解为点与点距离的平方，而在直线上. 由，得， 令，则，由解得，且， 则与直线平行且与相切的直线的切点为， 因点到直线的距离为， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，且，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先展开已知的三角恒等式，结合正弦定理转化为边的关系，再代入余弦定理即可求出角； （2）利用三角形面积的拆分关系，即的面积等于与的面积之和，列方程求解边长后计算总面积. 【小问1详解】 已知， 展开左侧得： ， 移项整理得, 由正弦定理得： . 则 ， 又，因此. 【小问2详解】 由(1)得，为角的平分线，故. 设， ，  ，  . 由，代入得： ， 解得， 因此 16. 如图，在三棱柱中，四边形是菱形，，D为棱的中点，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若，且三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）连接，因为四边形是菱形，， 所以是等边三角形，又因为D为棱的中点， 所以， 又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得是等边三角形，再根据D为棱的中点，得到，然后利用面面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）由（1）得到平面，且，根据三棱柱的体积得到，从而得到，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量 ，利用向量法求解. 【小问1详解】 连接，因为四边形是菱形，， 所以是等边三角形，又因为D为棱的中点， 所以， 又平面平面，且平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）知：平面，且， 所以三棱柱的体积为，则， 而，则，又，所以， 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以， 所以AD与平面所成的角为， 则. 17. 某校为了全面提高学生的综合素养，举办了“最强中学生”知识竞赛，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“最强中学生”知识竞赛的同学中抽取容量为的样本进行调查，并得到如下列联表，其中为正整数： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 （1）用频率估计概率，求该校任意一个不满意该活动的学生是男生的概率； （2）若依据的独立性检验，认为对该活动的满意度与性别有关，求的最小值； （3）若竞赛成绩在前20名的同学进入决赛环节，该环节共设置3道试题，且每一道试题必须依次作答，至少答对2道才能进入总决赛，每人答对这3道试题的概率分别为，，，且3道试题答对与否互不影响．记表示这20人中能进入总决赛的人数，求的数学期望． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先补全列联表，然后利用条件概率公式求解； （2）先计算，结合对应的临界值列不等式，求解正整数的最小值； （3）先计算单个选手进入总决赛的概率，再利用二项分布的期望公式计算的期望. 【小问1详解】 首先补全列联表如下（单位：人） 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 设事件为“任选一名学生不满意该活动”，事件为“任选一名学生为男生”， 则不满意的学生总数为，其中不满意的男生人数为，由条件概率得， . 【小问2详解】 零假设：对活动的满意度与性别无关. . 若依据的独立性检验，认为满意度与性别有关，则， 即，解得，又为正整数，故的最小值为10. 【小问3详解】 设表示“选手答对第题”，事件表示“选手进入总决赛”. 则，且相互独立. 因为进入总决赛需至少答对2道题， 故 . 由题意知，所以. 18. 已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质，结合椭圆过的点的坐标，代入椭圆方程，联立方程组求得的值，进而得到椭圆的方程； （2）分直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为，列出直线方程，与椭圆联立，由得，再根据两点间距离公式，可得，通过换元法即可求得其取值范围. 【小问1详解】 由题意，椭圆的右焦点为，且过点， 所以可得，解方程组得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 当过点的直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与椭圆无交点，不成立； 当过点的直线斜率存在时，设斜率为，直线的方程为， 与椭圆联立，化简得， 因为直线与椭圆相交于，两点，设，， 所以，解得， 又，所以，，，， 所以 ， 令，则，由，所以， 所以， 因为，所以，则，所以， 所以，即的取值范围是. 19. 已知抛物线，点在抛物线上，若按照如下方式依次构造点：作轴，垂足为，过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，记点的坐标为． （1）证明：是等比数列； （2）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如，．记，求数列的前项和； （3）若对任意时，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）证明：由点在抛物线上，所以，所以抛物线， 因为，且轴，垂足为，所以， 又过点作直线与抛物线第一象限的部分相切于点，所以切点为， 由，则，切点处切线的斜率为：， 此时对应的切线方程为：， 又点在切线方程上，所以，即， 又在抛物线上，所以，所以， 因为，所以， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列. （2） （3）实数的最大值为 【解析】 【分析】（1）由已知先求出抛物线的方程，然后根据函数导数的几何意义求出切线方程，根据切线方程过点，以及相关的点在抛物线上和切线方程上得出关于的关系，最后利用等比数列的定义判断即可； （2）利用等比数列通项公式以及题所给定义分析得出的表达式，再利用错位相减法求解即可； （3）根据题意分离参数转化为不等式恒成立问题，再利用函数导数与单调性求解最值分析即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知数列的通项公式为：，则， 当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数只有，共个，故； 当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故； 当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故； 当时，，此时所有不超过正整数，且与互质的正整数为，共个，故； ， 所以当时，所有不超过正整数且与互质的正整数为，共个，故， 所以， 所以，① ，② ①②得： ， 即. 【小问3详解】 由（2）知若对任意时，不等式恒成立， 等价于对任意恒成立， 因为，所以， 所以上述问题等价于：对任意恒成立，即求， 令，则， 令， 所以在上单调递增， 由，又， 所以，所以， ，又， 所以，所以， 所以存在唯一，使得， 且当时，，当时，，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 由，则， 又， 所以，所以， 所以，即实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $