精品解析：安徽安庆市部分校2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 一、选择题:(本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，即可选出答案. 【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数， 点关于轴对称的点的坐标为. 故选：C. 2. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 3. 已知等差数列，，，若，则（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】C 【解析】 【详解】由，，得等差数列的公差为， 所以，所以， 又数列的公差不为，所以数列为单调数列， 所以结合，可得，故． 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】由题得，，令，因为，所以，则 . 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 【答案】C 【解析】 【详解】在的展开式中， 含的项为， 所以所求系数为. 6. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用条件概率公式以及全概率公式计算可得结果. 【详解】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品， 则，，，从而， 可知； 因此． 故选：D 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 10.6 D. 9.4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据去掉的两组数据发现样本中心点没变，求出新的回归直线方程，将代入即可求得. 【详解】由和，得． 所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，， 由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为， 代入，求得， 故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得． 故选：A. 8. 在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②设，在曲线上，则； ③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则； ④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的对称性即可求解①，取特殊点即可求解②，根据点到直线的距离，以及双曲线的渐近线方程，结合图形即可求解③④. 【详解】设曲线上任意一点，则，故也在曲线上，故曲线关于轴对称，①正确， 当时，，当时，，作出曲线的大致图象如下： 取，在上取点，此时，故②错误， 曲线为曲线的右侧， 当时，，此时曲线为双曲线的一部分， 由于双曲线的一条渐近线方程为，则渐近线到直线的距离为， 当时，曲线为，此时曲线为圆的一部分， 此时圆心到直线的距离为1， 因为，则圆上的点到直线的最小距离为，因此；③正确， 当，直线恒过点，当时，直线与曲线C只有两个交点； 当时，易得该直线与曲线C在x轴上方有一个交点， 当时，联立，化简得， 若要满足题意，则， 所以当时，该直线与曲线C在x轴下方有两个个交点， 由对称性可得，当时，对于任意，直线与曲线的公共点个数为3，故④正确， 故选：C 二、选择题:(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】BC 【解析】 【详解】由于可知是递增数列， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的最小值为或， 则的前项和取最小值时，或12. 10. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面法向量的意义，结合线面垂直的判定性质逐项分析判断即可. 【详解】依题意，向量是平面的法向量， 对于A，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，A正确； 对于B，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，假设， 而平面，则，而不在平面内，则平面， 平面平面，平面，则必有，当时，由， 得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误； 对于C，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，C正确； 对于D，由，得平面，而平面，则， 由平面，平面，得，又平面， 因此平面，又平面，则，而平面， 于是平面，又平面，则，D正确. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C. 若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D. 设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A.利用求出坐标，再结合等腰三角形以及双曲线的离心率求解即可.选项B.直线与双曲线仅有一个公共点，包含与渐近线平行和相切两种情况，分析求解即可.选项C.设点，利用双曲线方程化简得到定值，同理.选项D.先求出T，结合离心率得渐近线方程，当与右顶点重合时，面积取得最大值. 【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得． 由于点位于第一象限，故点的坐标为， 因为为等腰直角三角形，所以，即， 又，则，解得（负根舍去），故A正确； B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点， 则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误； C选项，设点的坐标为，则， 由于在上，故有， 于是，同理， 故直线，，，的斜率之积为9，C正确； D选项，令得，故，所以， 因为，所以双曲线的渐近线方程为， 故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合， 则的面积， 因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确. 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由直线倾斜角的范围再结合正切函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】当时，，所以； 当时，，即； 所以的取值范围是. 13. 已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______． 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得，表示出均值，根据方差的公式求得的表达式，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】由，，得， 所以随机变量的数学期望， 则方差 当 时，取到最小值， 故答案为： 14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求得零点，根据亲密函数的定义，构造新函数，问题转化为求函数在上的值域，然后求导求出最值即可得到结果. 【详解】函数的导函数为， 故单调递增，其唯一零点为. 根据亲密函数的定义，存在的零点满足，即. 的零点满足.令，则，且. 问题转化为求函数在上的值域. ，可知在上单调递增，在上单调递减. 所以，. 故的取值范围是. 四、解答题:(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1）证明：由题意，数列满足，可得， 可得， 由，所以， 所以． 所以数列是首项为，公比为的等比数列； （2）99． 【解析】 【分析】（1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可. （2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，所以． 设数列的前项和为， 则． 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为99． 16. 如图，在直三棱柱中，M、P分别为，的中点，点Q在上，且. （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取的中点R，连接PR、RQ， 由P为的中点知， 因为平面， 平面，所以平面， 由M为的中点且，知，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面平面. 又因平面PRQ，所以 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）构造平面，证明面面平行，利用面面平行的性质定理即可证明结论. （2）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，由知， 以为坐标原点， 、所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为， ，所以， 则，，，，，， 所以， 由得，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，， 所以平面的一个法向量为. 因为平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 18. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8 （1）求椭圆C的方程; （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点 ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由. ②求面积的最大值. 【答案】（1） （2）①直线AD恒过定点；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义得到，得到，结合离心率求出，从而求出，得到椭圆方程； （2）①设直线，，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，并求出，表达出直线的方程，由对称性可知直线若过定点，则定点在轴上，计算出直线AD恒过定点； ②利用计算出，使用基本不等式求出最值，得到答案. 【小问1详解】 由椭圆定义得， 故的周长为，解得， 又，解得，故， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 ①由题意得， 设直线，， 则联立得， 设， ， 则， ， 故， 由对称性可知， 则直线的斜率为， 直线的方程为， 由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上， 令得，又， 故 ， 故直线AD恒过定点，定点坐标为； ②过点作⊥轴，交于点， 直线方程为，令得， 故，所以， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的面积最大值为. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意且，都有，可得：对任意且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． 【小问2详解】 必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. 【小问3详解】 由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 (考试时间:120分钟，试卷满分:150分) 一、选择题:(本题共8小题，每小题5分，共40分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列，，，若，则（　　） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 35 B. 15 C. -35 D. -15 6. 某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ） A. 9.6 B. 10 C. 10.6 D. 9.4 8. 在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论： ①曲线关于轴对称； ②设，在曲线上，则； ③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则； ④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3. 其中所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题:(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 10. 在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ） A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点 C. 若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值 D. 设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于 三、填空题:(本题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________． 13. 已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______． 14. 对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题:(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数． 16. 如图，在直三棱柱中，M、P分别为，的中点，点Q在上，且. （1）求证：平面； （2）若，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8 （1）求椭圆C的方程; （2）过B作x轴的垂线交椭圆于点 ①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由. ②求面积的最大值. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $