精品解析：安徽省宣城市2024-2025学年高二下学期期末调研测试数学试卷

宣城市2024-2025学年度第二学期期末调研测试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 3. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（ ） A. 12 B. 28 C. 32 D. 48 6. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 的展开式中，的系数是（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 8. 已知是定义在上的偶函数，且对，都有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是以2为周期的函数 B. C. 函数有4个零点 D. 当时， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（ ） A. B. 四边形面积的最小值为64 C. D. 若，则直线的斜率为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在上递增，则 C. 函数的图像过定点 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是__________ 13. 已知是各项均为正数的等比数列，，，则_____. 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 30 10 40 未服用 20 20 40 总计 50 30 80 （1）依据的独立性检验，能否认为药物有效？ （2）为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的10只动物（其中未患病3只，患病7只）中随机抽取2只，用随机变量表示未患病的动物只数，求随机变量的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知的三个角的对边分别为，且. （1）求； （2）的边上的高为，，求的周长. 17. 在四棱锥中，平面，，，，. （1）求； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 19. 已知且，函数. （1）设，，为数列的前项和，当时，求； （2）当时，证明：； （3）当且时，讨论函数的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣城市2024-2025学年度第二学期期末调研测试 高二数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集概念进行求解 【详解】，又，故. 故选：D 2. 复数的共轭复数是（ ） A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. -1-i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法计算再结合共轭复数的概念，即可得解. 【详解】， 故共轭复数为. 故选：A 3. 已知向量，，，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的模长公式求出，结合求出，再利用向量数量积的定义求解夹角余弦值，最后结合夹角范围求出夹角即可. 【详解】因为，所以由向量的模长公式得， 因为，所以，即， 得到，解得，设向量与的夹角为， 而，故， 因为，所以，故C正确. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到，再结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 由诱导公式得，故B正确. 故选：B 5. 若正四棱台的侧棱长为，上，下底面边长分别为2和4，则该四棱台的体积是（ ） A. 12 B. 28 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台的结构特征和体积公式计算即可. 【详解】由题意可知，上底面的面积为， 下底面的面积为. 因为侧棱长为，根据勾股定理可得. 所以该四棱台的体积为. 故选：B. 6. 等差数列前n项的和为，已知，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列性质可得，，结合题意运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 又因为，即，解得或， 若，则，不合题意； 若，则，解得； 综上所述：. 故选：D. 7. 的展开式中，的系数是（ ） A. 60 B. 30 C. 20 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A 8. 已知是定义在上的偶函数，且对，都有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 是以2为周期的函数 B. C. 函数有4个零点 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是偶函数以及已知条件可以判断该函数的周期为4，然后逐项判断即可. 【详解】对于选项A： 令，则，所以， 因为函数是偶函数，所以， 所以，所以， 所以函数的周期为4，所以A错误； 对于选项B： 因为时，，所以. 因为函数的周期为4， 所以，所以B错误； 对于选项C： 令，则，画出它们的图象为： 通过图象可以看出共有3个交点，所以C错误； 对于选项D： 因为时，，是偶函数， 当时，.由于， 所以，所以D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解均值判断A，利用正态分布的性质求解方差判断B，利用正态曲线的对称性得到，再结合正态分布的性质得到，进而证明目标式判断C，利用正态分布的性质求出方差，进而得到的分布更为分散，最后判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确， 对于B，因为，所以，故B错误， 对于C，由正态曲线的对称性得， 由正态分布性质得， 则得证，故C正确， 对于D，因为，所以， 因为，所以， 则的分布更为分散，可得，故D错误. 故选：AC 10. 已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（ ） A. B. 四边形面积的最小值为64 C. D. 若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，直线的方程为，然后与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量数量积的坐标公式即可求出的值；对于选项B，分别联立直线与抛物线方程和与抛物线方程，根据韦达定理即可将用表示出来，然后求四边形的面积即可；对于选项C，将求出的的表达式代入即可求出答案；对于选项D，利用两点距离公式和韦达定理可求出的值，进而求出直线的斜率. 【详解】对于A：设直线的方程为，， 联立直线和抛物线方程得， 根据韦达定理得. 所以. 所以，所以A正确； 对于B：. 直线的方程为，与抛物线联立方程组化简得. 根据韦达定理. 所以， 因为，所以，所以， 所以四边形的面积为 当且仅当时等号成立，此时四边形面积的最小值为128，所以B错误； 对于C：因为， 所以，所以C正确； 对于D：， 同理. 所以所以，因为，所以. 所以直线的斜率为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在上递增，则 C. 函数的图像过定点 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，计算出，的对称中心为，A错误；B选项，恒成立，故，解得，B正确；C选项，，故的图像过定点；D选项，当时，不合要求，当时，求出极大值为，极小值为，根据互为相反数得到方程，变形后计算出. 【详解】A选项，时，， ，， 故，故的对称中心为，A错误； B选项，若函数在上递增，则恒成立， ，解得，B正确； C选项，，故函数的图像过定点，C正确； D选项，，令得或0， ，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令得或， 令得， 故的极大值为， 极小值为， 令，即， 变形为，， ，又，则，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】求得导函数，即可求得切线的斜率，进而将代入函数解析式可知点在曲线上，即可由点斜式得切线方程. 【详解】曲线， 则， 所以， 将代入函数解析式可得，即点在曲线上， 所以该函数在点处的切线方程是， 即切线方程为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了导数的集合意义，切线方程的求法，属于基础题. 13. 已知是各项均为正数的等比数列，，，则_____. 【答案】9 【解析】 【分析】由已知得及，代入问题化简计算即可． 【详解】由题设易知，公比，设， 是为首项，为公比的等比数列. 从而由得， 由得， ， 故答案为：9 14. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】先画出图形，根据相似和勾股定理可得，然后根据双曲线的定义可求出，然后在直角三角形中根据勾股定理可求出之间的关系，从而求出离心率. 【详解】如图所示，根据相似，. 因为，所以. 所以，又， 根据勾股定理得，化简得， 所以，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 30 10 40 未服用 20 20 40 总计 50 30 80 （1）依据的独立性检验，能否认为药物有效？ （2）为进一步研究该药物对预防此疾病的效果，现从服用该药物的10只动物（其中未患病3只，患病7只）中随机抽取2只，用随机变量表示未患病的动物只数，求随机变量的分布列与数学期望. 参考公式：，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为该疾病与服用药物有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. （2）分布列： 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）依据列联表计算出，再进行独立性检验即可. （2）利用组合数的性质求出对应概率，进而列出分布列，结合期望公式求解数学期望即可. 【小问1详解】 零假设为：该疾病与服用药物无关. 则. 根据小概率值独立性检验，我们推断不成立， 即认为该疾病与服用药物有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 由题意知，随机变量的所有可能取值为， 则，，. 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 由数学期望公式得. 16. 已知的三个角的对边分别为，且. （1）求； （2）的边上的高为，，求的周长. 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理结合辅助角公式化简原式，得到，再结合三角形内角性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理得到，，再利用余弦定理得到，最后利用等面积公式建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 因为，且， 所以，即， 又因为，则， 所以，解得. 【小问2详解】 由题意结合正弦定理得， 不妨设，则， 由余弦定理得， 解得，由三角形面积公式得， 得到，解得. 故，即的周长为28. 17. 在四棱锥中，平面，，，，. （1）求； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在和中分别运用余弦定理列出等式即可求得值. （2）要证明线线垂直，则需证明该直线垂直于另一直线所在的平面，即证明平面. （3）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后求出向量的坐标和平面的法向量的坐标，最后利用向量夹角的余弦值公式即可求出直线与该平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 在和中，由余弦定理得： 即， 得，所以. 【小问2详解】 因为，，， 由余弦定理可得：， 所以，从而，所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问3详解】 因为平面，，故以为原点， 所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以，设与平面所成角为， 则. 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【小问1详解】 由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 19. 已知且，函数. （1）设，，为数列的前项和，当时，求； （2）当时，证明：； （3）当且时，讨论函数的零点个数. 【答案】（1） （2）证明：由题意知，的定义域为. 当时，， 令，则， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，于是， 所以，函数在上单调递增，又， 因此时，，当时，， 所以当时，. （3）当且时，函数的零点个数为1个 【解析】 【分析】（1）先列出的表达式，然后根据等比数列和等差数列的前项和公式进行分组求和即可. （2）先列出的表达式，然后求导，判断单调性，即可证明不等式成立. （3）讨论和的函数的单调性，即可判断函数的零点个数. 【小问1详解】 当时，， 则 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①若，则函数在上单调递增，且， 所以函数有且仅有一个零点； ②若，当时，，当时，. 由（2）知：当时，， 当时，， 且，所以函数只有一个零点. 综上所述：当且时，函数的零点个数为1个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $