高一数学+课时作业1+集合的含义----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合概念为核心，通过基础认知、理解应用、综合拓展三层设计，实现从概念辨析到逻辑推理的知识巩固路径，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|集合概念及元素特性|选择题1-5直接考查集合确定性、互异性等基础概念，如判断集合相等与元素个数| |理解应用|元素与集合关系及简单应用|填空题10-14结合不等式、方程等情境，如由元素属于关系求参数范围，体现数学语言表达| |综合拓展|集合性质综合应用及证明|解答题16-17涉及分类讨论与逻辑推理，如证明集合非单元素集，发展数学思维的严谨性|

课时作业1　集合的含义 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　) A．3∈A且－3∉A　　　 B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A 3．下面几个命题中正确命题的个数是(　　) ①N*中最小的数是1； ②若－a∉N*，则a∈N*； ③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2； ④x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 5．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知集合A中的元素x满足x∈Z，且同时对y＝，有y∈Z.则A中的元素个数为(　　) A．4 B．5 C．10 D．12 7．若集合A包含－1,1,2三个元素，集合B中元素满足x∈A，且2－x∉A，则B中所有元素为(　　) A．－1 B．2 C．－1,2 D．1,2 8．已知集合M中的元素满足x＝＋，且k∈Z，N中的元素满足x＝＋，且k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是(　　) A．x0∈N B．x0∉N C．x0∈N或x0∉N D．不能确定 9．由实数－a，a，|a|，所组成的集合所含有的元素个数是(　　) A．1或2 B．2 C．3 D．2或4 2、 填空题 10．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________． 11．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________． 12．已知集合A中包含1,2两个元素，集合B中包含0,2两个元素，集合C中元素z满足z＝xy，其中x∈A，y∈B，则集合C中所有元素之和为 . 13．已知集合A含有1,4，a三个元素，若实数a满足a2∈A，则实数a的所有可能取值为 . 14．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，集合B中的元素可表示为，其中a，b∈A且a≠b，则集合B中元素的个数为 . 三、解答题 15.集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 16．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 17．已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合． (1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素． (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值． (3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围. 课时作业1　集合的含义 （答案） 一、选择题 1．下列说法正确的是(　　) A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B．由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素 解析：选C　A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素． 2．已知集合A中的元素x满足x－1<，则下列各式正确的是(　　) A．3∈A且－3∉A　　　 B．3∈A且－3∈A C．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A 解析：选D　∵3－1＝2>，∴3∉A. 又－3－1＝－4<，∴－3∈A. 3．下面几个命题中正确命题的个数是(　　) ①N*中最小的数是1； ②若－a∉N*，则a∈N*； ③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2； ④x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选C　N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确． 4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 解析：选B　若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B. 5．由实数－a，a，|a|，所组成的集合最多含有的元素个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B　当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B. 6．已知集合A中的元素x满足x∈Z，且同时对y＝，有y∈Z.则A中的元素个数为(　　) A．4 B．5 C．10 D．12 解析：由题意，集合A中的元素满足x是整数，且y是整数，由此可得x＝－15，－9，－7，－6，－5，－4，－2，－1,0,1,3,9.此时y的值分别为－1，－2，－3，－4，－6，－12，12,6,4,3,2,1，符合条件的x共有12个． 故选D. 7．若集合A包含－1,1,2三个元素，集合B中元素满足x∈A，且2－x∉A，则B中所有元素为(　　) A．－1 B．2 C．－1,2 D．1,2 解析：当x＝－1时，可得2－(－1)＝3∉A； 当x＝1时，可得2－1＝1∈A； 当x＝2时，可得2－2＝0∉A. 所以B中的元素为－1,2. 故选C. 8．已知集合M中的元素满足x＝＋，且k∈Z，N中的元素满足x＝＋，且k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是(　　) A．x0∈N B．x0∉N C．x0∈N或x0∉N D．不能确定 解析：因为M中的元素可表示为x＝且k∈Z，N中的元素可表示为x＝且k∈Z，而2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，所以当x0∈M时，一定有x0∈N. 故选A. 9．由实数－a，a，|a|，所组成的集合所含有的元素个数是(　　) A．1或2 B．2 C．3 D．2或4 解析：当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，＝|a|＝所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中可能含有一个或两个元素． 故选A. 3、 填空题 10．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________． 解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3. 答案：a>3 11．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________． 解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意． (2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性． (3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意． 综上可知：a＝0或a＝1. 答案：0或1 12．已知集合A中包含1,2两个元素，集合B中包含0,2两个元素，集合C中元素z满足z＝xy，其中x∈A，y∈B，则集合C中所有元素之和为 . 解析：因为x∈A，y∈B，所以当x＝1，y＝0时，z＝0；当x＝1，y＝2时，z＝2；当x＝2，y＝0时，z＝0；当x＝2，y＝2时，z＝4.由集合中元素的互异性，可知集合C中有3个元素，3个元素的和为6. 答案：6 13．已知集合A含有1,4，a三个元素，若实数a满足a2∈A，则实数a的所有可能取值为 . 解析：∵实数a满足a2∈A，∴a2＝1或a2＝4或a2＝a， 解得a＝－1或a＝1或a＝－2或a＝2或a＝0. 当a＝1时，集合中有两个元素相同，不满足题意； 当a＝－1或a＝±2或a＝0时，满足题意． ∴实数a的所有可能取值为－1，－2,2,0. 答案：－1，－2,2,0. 14．已知集合A＝{1,3,5,7,9}，集合B中的元素可表示为，其中a，b∈A且a≠b，则集合B中元素的个数为 . 解析：依题意知a，b的取值情况有：(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)，共20种情况，由于＝，＝，因此，共可得到20－2＝18(个)不同的值．所以集合B中元素的个数为18. 答案：18 三、解答题 15.集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由． 解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9， 若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去． 若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去． 当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意． 综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3. 16．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 证明：(1)若a∈A，则∈A. ∵2∈A，∴＝－1∈A. ∵－1∈A，∴＝∈A. ∵∈A，∴＝2∈A. ∴A中另外两个元素为－1，. (2)若A为单元素集，则a＝，即a2－a＋1＝0，方程无解，∴a≠，∴集合A不可能是单元素集． 17．已知集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R)的实数解作为元素构成的集合． (1)1是A中的一个元素，求集合A中的其他元素． (2)若A中有且仅有一个元素，求a的值． (3)若A中至多有一个元素，试求a的取值范围. 解：(1)因为1是A的元素， 所以1是方程ax2＋2x＋1＝0的一个根， 所以a×12＋2×1＋1＝0，即a＝－3. 所以方程即为－3x2＋2x＋1＝0， 所以x1＝1，x2＝－， 所以集合A中的其他元素为－. (2)若a＝0，方程化为2x＋1＝0，此时有且仅有一个根x＝－； 若a≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实根x1＝x2＝－1，此时集合A中有且仅有一个元素，所以a＝0,1. (3)集合A中至多有一个元素包括两种情况： ①A中有且只有一个元素，由(2)知此时a＝0或a＝1； ②A中一个元素也没有，此时a≠0，且Δ＝4－4a<0，所以a>1.综合①、②知所求a的取值范围是a≥1或a＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $