课时作业2 集合的表示-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合的表示为核心，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，覆盖概念理解到逻辑推理，适配新授课分层教学需求，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|元素与集合关系、表示方法|选择填空为主，如判断集合元素个数（题1）、表示方法正误（题3）| |中档|集合相等、新定义应用|引入多选题（题6）和新情境（如“孤立元”题13），强化综合辨析| |提升|存在性证明、分类讨论|解答题聚焦逻辑推理，如集合运算与方程综合（题16）、参数分类讨论（题17）|

课时作业2　集合的表示 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C．∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是不同的集合 2．实数1不是下面哪一个集合中的元素(　　) A．整数集Z　　　　　 B．{x|x＝|x|} C．{x∈N|－1<x<1} D． 3．下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 4．已知M＝{x|x－1<}，那么(　　) A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉M C．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M 5．方程组的解集是(　　) A．(－5，4) B．(5，－4) C．{(－5，4)} D．{(5，－4)} 6．(多选题)下列说法中，不正确的是(　　) A．方程＋|3y＋3|＝0的解组成的集合是{(，－1)} B．方程x2－x－6＝0的所有实数根组成的集合为{(－2,3)} C．集合A＝{y|y＝2x2－1}，B＝{(x，y)|y＝2x2－1}，C＝{y＝2x2－1}表示同一个集合 D．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为{0,6,1,5,2,2} 7．设集合A＝{2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,2－x2∉A}，则集合B中所有元素的和为(　　) A．－9 B．3 C．－6 D．－5 8．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 9．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2)．如果A中的元素ai满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”．给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4； ③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”． 其中说法正确的是(　　) A．①③ B．② C．③ D．都不正确 2、 填空题 10．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝________． 11．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________． 12．用列举法表示方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0的所有实数根组成的集合为 ． 13．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 14．给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2}． 其中不正确的有 .(把所有符合题意的序号都填上) 三、解答题 15．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B. 16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 17．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 课时作业2　集合的表示 （答案） 一、选择题 1．下列说法中正确的是(　　) A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素 B．集合{0}中没有元素 C．∈{x|x<2} D．{1，2}与{2，1}是不同的集合 解析：选A　{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2}＝{x|x<}，>，所以∉{x|x{<2}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合． 2．实数1不是下面哪一个集合中的元素(　　) A．整数集Z　　　　　 B．{x|x＝|x|} C．{x∈N|－1<x<1} D． 解析：选C　1不满足－1<x<1，故选C. 3．下列集合的表示方法正确的是(　　) A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R} B．不等式x－1<4的解集为{x<5} C．{全体整数} D．实数集可表示为R 解析：选D　选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复． 4．已知M＝{x|x－1<}，那么(　　) A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉M C．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M 解析：选A　若x＝2，则x－1＝1<，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<，所以－2∈M.故选A. 5．方程组的解集是(　　) A．(－5，4) B．(5，－4) C．{(－5，4)} D．{(5，－4)} 解析：选D　解方程组得故解集为{(5，－4)}，选D. 6．(多选题)下列说法中，不正确的是(　　) A．方程＋|3y＋3|＝0的解组成的集合是{(，－1)} B．方程x2－x－6＝0的所有实数根组成的集合为{(－2,3)} C．集合A＝{y|y＝2x2－1}，B＝{(x，y)|y＝2x2－1}，C＝{y＝2x2－1}表示同一个集合 D．集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}用列举法可表示为{0,6,1,5,2,2} 解析：A中二元方程的解组成的集合应为点集{(，－1)}，故A正确；B中方程为一元二次方程，其所有实数根组成的集合应为数集{－2,3}，而{(－2,3)}是点集，故B不正确；C中A为二次函数y＝2x2－1的所有函数值组成的集合，是数集，而B是二次函数y＝2x2－1的图象上所有的点组成的集合，是点集，C表示以等式y＝2x2－1为元素的集合，是式集，所以A，B，C表示的不是同一个集合，故C不正确；D中x，y满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N，则有所以A＝{(0,6)，(1,5)，(2,2)}．故D不正确． 故选：BCD 7．设集合A＝{2,0,1,3}，集合B＝{x|－x∈A,2－x2∉A}，则集合B中所有元素的和为(　　) A．－9 B．3 C．－6 D．－5 解析：当x＝－2或－3时，2－x2＝－2或－7，有2－x2∉A；而当x＝0或－1时，2－x2＝2或1，有2－x2∈A.因此，根据集合B的定义可知B＝{－2，－3}，所以集合B中所有元素的和为－5. 故选：D 8．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　) A．14 B．13 C．12 D．10 解析：a，b∈{－1,0,1,2}，可分下列两种情形： ①当a＝0时，方程为2x＋b＝0，此时一定有解，当b＝－1，0,1或2时，满足条件的有序数对为(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)；②当a≠0时，方程为一元二次方程，则Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1.当a＝－1,1或2时，满足条件的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．故关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为13. 故选：B 9．已知有限集A＝{a1，a2，…，an}(n≥2)．如果A中的元素ai满足a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an，就称A为“复活集”．给出下列结论： ①集合是“复活集”； ②若a1，a2∈R，且{a1，a2}是“复活集”，则a1a2>4； ③若a1，a2∈N*，则{a1，a2}不可能是“复活集”． 其中说法正确的是(　　) A．①③ B．② C．③ D．都不正确 解析：∵×＝＋＝－1，∴①是正确的．②不妨设a1＋a2＝a1a2＝t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2－tx＋t＝0的两个不相等的实数根．由Δ>0，可得t<0或t>4，即a1a2<0或a1a2>4，故②错误．③不妨设A中a1<a2<a3<…<an，由a1·a2·…·an＝a1＋a2＋…＋an<nan，得a1·a2·…·an－1<n，当n＝2时，即有a1<2.∵a1∈N*，∴a1＝1.于是1＋a2＝a2，无解．即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确． 故选：A 3、 填空题 10．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝________． 解析：由集合相等的概念得解得a＝1. 答案：1 11．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________． 解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根， 所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4， 则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0， 解得x＝1或x＝3， 所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}． 答案：{1，3} 12．用列举法表示方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0的所有实数根组成的集合为 ． 解析：根据题意知将方程x2－(2a＋3)x＋a2＋3a＋2＝0变形可得[x－(a＋1)][x－(a＋2)]＝0，得x1＝a＋1，x2＝a＋2，则其所有实数根组成的集合为{a＋1，a＋2}． 答案：{a＋1，a＋2}． 13．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 解析：依题意可知，所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个． 答案：6 14．给出下列说法： ①集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{－1,0,1}； ②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}； ③方程组的解组成的集合为{x＝1，y＝2}． 其中不正确的有 .(把所有符合题意的序号都填上) 解析：①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1∉N，所以集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}．②集合表示中的符号“{　}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“R”已表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为{x|x为实数}或R.③方程组的解是有序实数对，而集合{x＝1，y＝2}表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为{(1,2)}或.故①②③均不正确． 答案：①②③ 三、解答题 15．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3,1}，试用列举法表示集合B. 解：集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0， 整理得x2－(a＋1)x＋b＝0. 因为A＝{－3,1}， 所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根分别为－3,1. 由根与系数的关系得 解得 所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2，所以B＝{－3－2，－3＋2}． 16．已知集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}． (1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？ (2)对任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论． 解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)， 令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)， 则m＝a＋b.故若m∈M， 则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． (2)对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下： 设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z， 则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z. 当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M， 此时存在m∈M， 使a＋b＝m成立； 当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时， a＋b＝6p＋6∉M， 此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立． 故对任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m. 17．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}． (1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值； (2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝. 综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝. (2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解， 所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0， 解得a<且a≠0， 所以实数a的取值范围为. (3)当a＝0时，x＝，符合题意； 当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥. 所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $