河南许昌市2025-2026学年第二学期期末质量检测高二数学试题

**基本信息** 聚焦高中数学核心内容，通过梯度化问题设计与真实情境创设，考查抽象能力、推理能力及数据意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6/82|函数与导数、立体几何、概率统计|结合科技情境考查模型意识，通过多问设计体现推理能力梯度|

2025—2026学年下学期期末高二数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A C B A C B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 答案 BCD AD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）记“具有定期锻炼习惯”为事件，则“不具有定期锻炼习惯”为事件，“体检指标正常”为事件．由题意可知： ，，　　　　2分 　　　　3分 由全概率公式： 　　　　4分 代入可得 　　　　5分 解得　　　　6分 所以，从该地区随机抽取一人，此人具有定期锻炼习惯的概率为．　　　　7分 （2）由第一问可知：从该地区随机抽取一人，此人具有定期锻炼习惯的概率为，不具有定期锻炼习惯的概率为，故随机变量的可能取值为、、、　　　　8分 所以，的分布列为 0 1 2 3 　　　　11分 所以数学期望为： 　　　　12分 备注：第二问以下写法也可得分 （2）由第一问可知：从该地区随机抽取一人，此人具有定期锻炼习惯的概率为，不具有定期锻炼习惯的概率为，故随机变量的可能取值为、、、 因为随机变量服从二项分布， 所以的分布列为： 数学期望． 16．解：（1）证明：因为， 所以，　　　　3分 故是以为首项，3为公比的等比数列，　　　　6分 （2）由（1）知，　　　　7分 所以，　　　　8分 ，　　　　10分 得： 故　　　　14分 17．解：（1）证明：平面，平面， ，　　　　1分 又四边形为菱形， ，　　　　2分 且，，平面， 平面．　　　　4分 （2）（ⅰ）取的中点，连接，由已知及平面几何知识可知为等边三角形，因此，， 又， 以点原点，以，，所在直线分别为，，轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 则由已知可得： ，，，，，， 因此，，，，　　　　6分 设平面的一个法向量为， 则有即得　　　　8分 又由（1）可知为平面的一个法向量，，　　　　9分 设平面与平面的夹角为 则，又， 因此，平面与平面的夹角为．　　　　11分 （ii）由，得，，　　　　12分 平面的一个法向量为，　　　　13分 ， 又平面平面　　　　15分 18．解：（1）由题意得：，　　　　2分 即　　　　3分 所以椭圆的标准方程为　　　　4分 （2）设， 由得：． ，　　　　6分 上顶点为且 ， 又， 　　　　8分 　　　　9分 直线的方程为： 直线过定点　　　　10分 （3）由（2）得：当时，，　　　　12分 　　　　13分 又 ，令则　　　　15分 当时，， 当时，，，　　　　16分 ，且 且，且 且 综上所述：的取值范围为　　　　17分 19．解：（1）当时，　　　　1分 则，切线斜率为　　　　2分 又，故曲线在点处的切线方程为　　　　4分 （2）令， 　　　　5分 令，，为奇函数， ，　　　　6分 ①当时，有， ，有， 在单调递减，有为奇函数，在单调递减， 且，即时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，是的极大值点．　　　　8分 ②当时，有， 令，则 有，，， 则在单调递减，为偶函数，在单调递增， 又因为，，9分 由零点存在性定理得，在和各有一个零点，分别记为 ，，则时，，在单调递增； 即时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增 又因为，则是的极小值点，不符合题意．　　　　10分 综上所述，．　　　　11分 （3），　　　　13分 由（2）知时，在单调递减，． ， ，即．　　　　14分 　　　　15分 　　　　17分 五．卷面分2分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末质量检测 高二数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知向量，，若，则的值为 A．14 B．10 C．8 D．7 2．已知等差数列满足，，则公差为 A．1 B．2 C． D． 3．若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为 A． B． C． D． 4．已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则 A． B． C． D． 5．某高校选派5名大学生志愿者到、、三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有 A．30种 B．36种 C．48种 D．54种 6．已知为直线上一点，为圆上一点，且，则的最小值为 A． B． C． D．3 7．已知函数在处有极大值，则在上的值域为 A． B． C． D． 8．在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．若两个变量的相关性越强，则相关系数越大 B．的展开式中项的系数为 C．随机变量，若，则 D．若一组不完全相同的数据，，…，的平均数为，则当时，函数取得最小值 10．根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知，，则下列判断正确的是 年龄 认可情况 认可 不认可 40岁以下 20 20 40岁以上（含40岁） 45 5 A．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” B．在该餐厅用餐的客人中大约有的客人认可“光盘行动” C．有的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关 D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 11．已知函数，则下列结论正确的是 A．若，则函数在上单调递增 B．若，不等式在区间上恒成立，则 C．若方程有解，则实数的取值范围为 D．若不等式对任意恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若等比数列的前项之积为，且，则____． 13．袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有（，且）个，其余的球为红球，从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，则红球的个数为____． 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，在的右支上存在异于顶点的一点，使交轴于点，若为的角平分线，则的离心率的取值范围为____． 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（12分） 某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查．通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显著关联．具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为，综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为．用样本频率估算总体概率． （1）从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率； （2）现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为，求的分布列与数学期望． 16．（14分） 已知数列中，，． （1）证明：数列为等比数列； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，平面，，四边形是边长为的菱形，． （1）证明：平面； （2）若，． （ⅰ）求平面与平面的夹角； （ⅱ）若，证明：平面． 18．（17分） 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求的标准方程； （2）若直线与交于、两点，为的上顶点，且， 证明：直线过定点； （3）在（2）的条件下，若为坐标原点，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围； （3）证明：． 五、卷面分（2分） 学科网（北京）股份有限公司 $