精品解析：河南周口市第三高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

河南周口市第三高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】把抛物线化为标准方程， 因为抛物线开口向下，且焦点坐标是， 则，即，可得，所以焦点坐标是. 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，代入求解即可. 【详解】由求导可得：， 将代入导函数，可得： 整理得：，即. 4. 设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数单调性限定出的取值范围即可. 【详解】易知，即； 而，即； 又，因此， 所以. 故选：D 6. 在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正三棱台的结构特征求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算即得. 【详解】在正三棱台中，令的中点分别为，连接， 则，于是二面角的平面角为，即， 设上底面与下底面的中心分别为，连接，则， 过点作，垂足为，则，则，则， 所以该三棱台的体积为. 故选：B 7. 记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】（充分性）若取，首项，则数列为······ 此时前项和满足：为奇数时，；为偶数时，； 显然可取，则对所有，都有，所以充分性不成立； （必要性）当时，前项和为， 由于恒成立，则恒成立，取， 则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由已知条件得到，其次利用导数求得，利用二次函数的性质求得，最后解出实数的取值范围. 【详解】若对任意的，存在，使，则. 由已知得， 可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. 故当时，. 因为函数的对称轴为， 所以在上单调递减， 所以当时，. 于是，解得. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的（ ） A. B. C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】AC 【解析】 【分析】利用复数四则运算进行化简整理，结合复数的模，对应的点到坐标以及复数相等判断正误． 【详解】因为，所以，所以选项A正确； ，，所以，所以选项B不正确； 是纯虚数，所以选项C正确； 在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限，所以选项D不正确. 故选：AC． 10. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作图，解三角形求关系，由此判断各选项. 【详解】如图：为正n边形外接圆的圆心，为正n边形的一个边，点为边的中点， 则，， 所以，，，C错误； ，D正确； 当时，，化简可得，A错误； 当时，，化简可得，B正确； 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为60° B. 过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60° C. 过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 D. 过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线角和截面的相关知识逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A，如图所示，连接， 因为，分别为棱，的中点，所以， 由可知，四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以与所成的角即为与所成的角，即或其补角， 因为是等边三角形，所以， 所以与所成的角为60°，故A正确； 对于B，因为直线，所成角是90°，且两条直线相交于， 所以过点与两直线所成角为60°的直线有4条，故B错误； 对于C，易知平面为过，，三点的截面，该截面为梯形， 显然， 所以截面图形的周长为，故C正确； 对于D，如图所示，分别取，的靠近，的三等分点，， 连接，，，，易知，， 故点，，，，共面，该截面图形为五边形，故D正确. 故选：ACD 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的二项展开式中常数项为60，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，再令的指数等于零，即可得解. 【详解】展开式的通项为， 令，得，则的常数项为， 当常数项为60时，. 故答案为：. 13. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 14. 已知函数，若方程在的解为，（），则______，______. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】通过换元法将关于的方程转化为关于的方程，再利用正弦函数性质得到和的关系，进而求出的值；再根据的关系可得的范围，即可求解. 【详解】因为，令，则， 又因为方程在该区间有两个解，， 在区间内，由函数的图象与性质可知， 方程的两个解，关于直线对称， 所以两个根满足，所以， 整理得，即； 由可知，，则，  利用三角恒等变换可得： ， 因为，所以， 又因为  ，所以， 又因为 ，所以，， 所以，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【小问1详解】 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【小问2详解】 由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 16. 已知满足，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）用等差数列通项公式求解；利用等比数列通项公式列方程求解，再得到的通项公式； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由对任意正整数成立，可知是首项、公差的等差数列，由等差数列通项公式得：； 设等比数列公比为，已知，故，代入得： 等比数列公比，两边同除以，可得， 即，解得，因此. 【小问2详解】 由题意得， ① ② ②①得： . 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【小问1详解】 因为， ． ，． 在中，， ． 【小问2详解】 由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． 【小问3详解】 在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 18. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）3次或4次 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据二项分布的知识求得闯关成功的次数的分布列，由此求得正确答案. 【小问1详解】 由题知：可取0，1，2，3，则: ，， ，， 故的分布列为： 0 1 2 3 则的期望为：. 【小问2详解】 方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则. 故 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为 若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则 故 ∴假设当时，对应概率取值最大，则 解得，而 故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 19. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （i）法一： 设直线的方程为（由对称性知存在），如下图： 联立得，化简得， 由知，则， 因为，所以，即， 化简得，因为直线不过点，所以， 故． 法二： 设直线的方程为， 联立，得，化简， 得， 由知，即，则， 又，所以， 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 同理可得， 由此可知， 则直线的斜率， 故直线的斜率为定值． 法三： 因为直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形，所以， 因为为椭圆上异于的两点， 所以可设直线为，不同时为0， 联立与， 得， 等式两边同时除以，记， 化简得， 由于，所以，说明直线的斜率为定值． （ii）2． 【解析】 【分析】（1）根据点以及焦点坐标，解方程可求得椭圆的方程； （2）（i）法一：设直线的方程为，并与椭圆方程联立，结合韦达定理由可得直线的斜率；法二：设直线的方程为，联立椭圆方程可解得，同理可得，化简可知直线的斜率；法三：由，可设直线为，不同时为0，联立直线与椭圆方程化简得，可得，即直线的斜率为定值．（ii）设直线为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理知法一：易知，当时，的面积取最大值2．法二：由弦长公式可知，又点到直线的距离，所以，当时，的面积取最大值2． 【小问1详解】 设椭圆的方程为， 显然， 将点代入椭圆方程，即，解得或（舍去） 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）设直线为， 联立与，得， 因为，所以． 由韦达定理知 法一： 过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为， ，即， 化简得． 当且仅当时，的面积取最大值2． 法二： 易知， 点到直线的距离， 所以， 当且仅当时，的面积取最大值2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南周口市第三高级中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 3 B. 1 C. 0 D. -1 4. 设为所在平面内一点，．若，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 5. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，，若对任意的，存在，使，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列说法正确的（ ） A. B. C. 是纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第三象限 10. 已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. 直线与所成的角为60° B. 过空间中一点有且仅有两条直线与所成的角都是60° C. 过，，三点的平面截该正方体，所得截面图形的周长为 D. 过直线的平面截正方体，所得截面图形可以是五边形 三、填空题;本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的二项展开式中常数项为60，则______. 13. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 14. 已知函数，若方程在的解为，（），则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 16. 已知满足，为等比数列，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 17. 如图，在四边形中，，，，． （1）求边的长度； （2）求四边形的面积； （3）求的值． 18. 某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题. （1）求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望； （2）规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 19. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． （1）求椭圆的方程． （2）已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． （i）求证：直线的斜率为定值； （ii）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $