精品解析：贵州遵义市第二十一中学2026届高三数学模拟试题三

遵义市第二十一中学2026届高三数学模拟试题三 命题人：韩萍 审题人：王贵萍 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点为， 所以，故， 则． 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集元素 (1,3) 同时属于集合 和 ，将其代入两个集合对应的方程，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、 的值. 【详解】由题可得，解得，所以. 故选：B. 3. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线与直线平行的充要条件，再判断即可. 【详解】若直线：与直线：互相平行， 则，解得或， 又当时，两直线重合（舍去）， 所以“”是“直线：与直线：互相平行”的充要条件， 故选：C 4. ，则（ ） A. 16 B. 65 C. 80 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，利用赋值法和二项式系数求解. 【详解】由于， 则， 令，得， 又因为， 所以. 5. 已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象的平移及对称中心得到是奇函数，结合得到是周期为8的周期函数，从而得到，结合已知条件及奇函数求出，即可得到. 【详解】根据函数平移的性质，函数的图象可由函数向右平移1个单位得到， 因为函数关于对称，所以函数关于对称， 即是奇函数，满足. ，即，， 所以，所以是周期为8的周期函数. ， 又时，，所以，所以. 故. 6. 在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角与的终边构成一条直线得，利用诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意，角与的顶点在原点，终边构成一条直线，所以， 所以 ， 又， 所以. 故选：C. 7. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理及排列数公式计算求解. 【详解】由题意可得顶点标注只能为或，其余情况不满足题意. 若顶点标注，则标注在中点处，此时有， 若顶点标注，则只能标注在之间的边的中点，此时有种， 所以不同的标注方法有种. 8. 已知抛物线为抛物线上两点，为坐标原点且三角形的面积，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线，联立直线与抛物线的方程可得，，表示出三角形的面积，将韦达定理代入即可得出答案. 【详解】由题知，三点共线，故可设直线， 联立，解得，，， ，得， ． 故选：D． 二、多选题（共18分） 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若均为非零向量，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，根据可判断A；根据在方向上的投影向量为可判断B；根据可判断C；根据数量积的运算律可判断D. 【详解】因为，都是单位向量，所以， 所以，即，故A正确； 在方向上的投影向量为，故B正确； 若，则，即，即， 因为，所以，故C错误； 若，则， 所以，即，故D错误. 故选：AB 10. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D． 【详解】对于选项A:由题意可得，，则， 时，， 又因为，所以，故A错误； 对于选项B:，当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C:令，则，当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位， 得到，故D错误． 故选：BC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 B. 若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 C. 若为侧面的中心，则过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 D. 若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面，结合三棱锥的体积公式判断A；确定动点的轨迹并求出长度判断B；确定符合条件的截面并求出面积判断C；确定符合条件的点的轨迹，再求出长度的最小值判断D. 【详解】对于A，若为上一点，由、平面、平面， 得平面，则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，动点在正方形、正方形、正方形内， 其轨迹是以点为圆心，2为半径的圆弧， 因此动点的轨迹长度是，B错误； 对于C，若为的中心，即的中点，取的中点， 连接，则， 由平面得，则， 又平面， 于是平面，，取中点，连接，同理， 因此平面，过与垂直的平面截正方体所得截面为， ，则的面积为，C正确； 对于D，在正方体中，平面平面， 由点满足平面，则点在平面上， 又点在正方体的内切球表面上， 则点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为，半径为， 因此的最小值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题（共15分） 12. 已知双曲线（）的两条渐近线所成角为60°，则______. 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】对两条渐近线所成角的情况进行分类讨论，进而求出的值. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，为其两条渐近线，点分别为轴上的点， 当时，有双曲线的对称性可知， 则，所以，则； 当时，有双曲线的对称性可知， 所以，则； 故答案为：2或6. 13. 已知圆与圆相交，且它们的公共弦的长为 ，则的值为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式以及勾股定理来求得的值. 【详解】圆与圆方程相减并化简得： ，即两圆相交弦所在直线方程. 圆圆心为，半径为. 到直线的距离为， 所以. 解得或. 圆需满足. 圆，即， 圆心为，半径为， 由于两个圆相交，所以， 即， 或都符合. 故答案为：或. 14. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 四、解答题（共77分） 15. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 【答案】（1），76.5分，88 （2）． 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，解得． 这次竞赛的平均成绩为分． 因为前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，所以第80百分位数在内． 设这次竞赛成绩的第80百分位数为，则，解得． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人， 竞赛成绩在内的有人，记为，， 竞赛成绩在内的有4人，记为，，，． 所有选法有，，，，，，，，，，，， ，，，共15种， 其中恰有1人的竞赛成绩在内的选法有，，，，，，，， 共8种，故所求概率为． 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列首项为，公差为，依题有， 即 ，解得． 所以. 【小问2详解】 因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 17. 在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接. （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1） 证明：.在菱形中，， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 因为分别为的中点，所以，， 又， ， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明且，得平面，证明四边形为平行四边形，有，可得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，向量法表示直线与平面所成角的正弦值，求出的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在菱形中，因为，所以和都是正三角形， 取的中点，连接，则， 又平面，所以，即两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 则，. 设平面的法向量为，则 取，则. 记直线与平面所成角为， 则.， 解得，即的值为2. 18. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【答案】（1） （2） 由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【解析】 【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【小问1详解】 设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，，其定义域为. 因为曲线总在直线的下方等价于，即. 设函数，对求导得. 令，即，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以在处取得极大值，也是最大值，. 由于， 则，即，所以曲线总在直线的下方. （3） 【解析】 【分析】（1）通过求函数在某点的导数得到切线斜率，进而得出切线方程； （2）根据曲线与直线的位置关系转化为函数的最值问题，通过求导判断函数单调性来确定最值. （3）通过求导判断函数的单调性，根据单调性确定函数的极值点，再结合函数零点的情况来确定参数的取值范围.分别对不同情况下的值进行讨论，分析函数的最大值情况以及零点满足的条件，从而得出的取值范围. 【小问1详解】 已知当时，，对求导得. 计算，将代入得. 计算，将代入得. 根据点斜式方程，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 分情况讨论. 当，即时. 此时的导数. 根据的单调性，在上，单调递增； 在上，单调递减. 所以. 对于，有，所以恰有一个零点，不符合题意. 当，即时.因为，根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ，单调递减. 知， 因为有两个零点，且满足，得，. 又因为此时，所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以. 当，即时. 根据的单调性， 在上， ， 单调递增； 在上， ， 单调递减，知. 因为有两个零点，且满足，得，. 所以. 由于，即，移项得到. 因为对数函数在上单调递增，所以，即， 又因为，所以. 综上，的取值范围为. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十一中学2026届高三数学模拟试题三 命题人：韩萍 审题人：王贵萍 总分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（共40分） 1. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. -2 B. C. D. 1 3. “”是“直线：与直线：互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. ，则（ ） A. 16 B. 65 C. 80 D. 81 5. 已知的定义域为，函数关于对称，且满足，当时，，则（ ） A. -2 B. 2 C. -3 D. 3 6. 在平面直角坐标系中，角与的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边构成一条直线，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，三边的中点分别为，将六个数字全部标注在六个点处，每个点处标注一个数字，使得每个中点处的数字都比其相邻两顶点处的数字小，则不同的标注方法有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 8. 已知抛物线为抛物线上两点，为坐标原点且三角形的面积，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ） A. 若均为非零向量，则 B. 在方向上的投影向量为 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ） A. 若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值 B. 若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是 C. 若为侧面的中心，则过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积为 D. 若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为 三、填空题（共15分） 12. 已知双曲线（）的两条渐近线所成角为60°，则______. 13. 已知圆与圆相交，且它们的公共弦的长为 ，则的值为_________. 14. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 四、解答题（共77分） 15. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）和第80百分位数； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率． 16. 已知数列为等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 17. 在如图①所示的平面图形中，四边形为菱形，现沿进行翻折，使得平面，过点作，且，连接，所得图形如图②所示，其中为线段的中点，连接. （1）求证：平面； （2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求C的方程； （2）记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处切线的方程； （2）当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方； （3）若函数有两个零点，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $