精品解析：贵州遵义市第二十三中学2026届高三下学期4月模拟考试数学试题

遵义市第二十三中学2026届高三模拟考试 数 学 考试时间：120分钟试卷总分：150分 请将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上相应位置） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先列举法求出集合，再根据并集的定义求即可. 【详解】解方程得， 所以. 又，所以. 故选：C. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简复数成标准式，利用共轭复数定义求解. 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由任意角三角函数的定义得. 4. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】抛物线，即，可得 又抛物线开口向上，所以焦点坐标为. 5. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由数列为正项等比数列，得， 所以. 6. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 【答案】A 【解析】 【分析】由百分位数、众数、中位数、平均数的定义求出即可. 【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20， 对于A：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故A正确； 对于B：众数为17，故B错误； 对于C：中位数为：，故C错误； 对于D：平均数，故D错误； 故答案为：A. 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线 的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆与双曲线 的渐近线相切， 所以圆心到切线的距离等于半径，即，化简可得， 因为，代入可得， 所以双曲线 的离心率. 8. 如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，，在中，利用正弦定理可得出，然后在中应用余弦定理可求出 的值，由此可求得的长. 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分．每小题至少两个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上相应位置．按比例得分，多选、错选均不得分．） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的项的特征得出A，由二项式系数和项的系数之和的计算公式判断B、D，再利用通项公式判断C. 【详解】对于A，因为，所以展开式共有7项，故A正确； 对于B，所有项的二项式系数和为，故B正确； 对于C，展开式的通项公式为，， 令，解得，此时常数项为，故C错误； 对于D，令，则所有项的系数和为，故D正确． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】利用图象求出函数的最小正周期，结合正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用三角函数图象变换以及余弦型函数的奇偶性可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，函数的最小正周期为， 故，A对； 对于B选项，由图可知函数在附近单调递增， 且，故， 所以， 又因为，故，所以， 因为， 故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C错； 对于D选项，将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 则，即函数为奇函数，D错. 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出即可判断A，求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值，即可判断B、C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A：因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B：因为， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，故B正确； 对于C：因为，， 若方程有三个不同的实数根，则的取值范围为，故C错误； 对于D：令 ，即 ，整理得 。 因式分解：易得 是根，使用综合除法：, 再因式分解 ， 故,因此. 其中 恒成立，且当  时严格大于 0. 符号分析： 当 （即 )，，，故 ，即 。 当 ，（仅在  和  处等于 0），故 . 因此  当且仅当 ，解集为 ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共15分．请将正确答案填写在答题卡上相应位置．） 12. 已知定义在上的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质及已知解析式求函数值即可. 【详解】由题设. 故答案为： 13. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据投影向量的定义：向量在方向上的投影向量为 ​, 则由题意可得： ， 因为，所以. 14. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，且圆锥表面积为S，体积为V.设，则当_____________时，取得最小值，最小值为_____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据表面积和体积公式计算化简，再令，结合导函数求出其单调性得出最值. 【详解】由题意，， 则 ， 令，则， 令，则， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则，此时，得， 故当时取得最小值，最小值为. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤．） 15. 某企业八年来的年生产总值（单位；百万元）统计如下表： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 年生产总值y 12 14 18 24 32 52 73 95 根据表中数据解决下列问题. （1）在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望； （2）该企业在第5年进行了结构性改革，从第5年开始，企业的年生产总值呈直线上升趋势.试用线性回归模型预测该企业第10年的生产总值. 附：回归方程系数：； 参考数据：，． 【答案】（1） 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列举出随机变量的可能取值，计算对应概率可得分布列，再根据数学期望公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法计算公式可得线性回归直线方程，代入计算可预测该企业第10年的生产总值. 【小问1详解】 由题意可得， 其中不低于平均值40的有3个（52、73、95），低于平均值的有5个， 随机变量的可能取值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 则； 【小问2详解】 由题意可得，， ，， 所以， 所以预测该企业第10年的生产总值为. 16. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用得到，用定义法证明是等差数列； （2）用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时，因为，所以， 所以，则. 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知，， 所以， 所以 . 17. 如图，在六面体中，为 的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：由四边形为矩形，得，又，平面， 则平面，而平面，所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）由余弦定理求出 ，并利用勾股定理逆定理证得，再建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在 中，， 由余弦定理得， 则，于是，由（1）得直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，得，又D为 的中点， 则， 于是，设平面的法向量为， 则，取，得，， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆过得，再利用得，即可写出椭圆方程； （2）设直线方程并联立方程组，用韦达定理结合斜率之和的条件求出斜率，再用弦长和距离公式即可求出面积. 【小问1详解】 因为椭圆过点，所以，即， 又因为以长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且，即， 所以，故椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，设过点的直线的方程为，设， 联立方程组，代入化简得：， 由韦达定理：， 又因为直线的斜率为：，直线的斜率为：， 且 所以， 解得，此时直线：， 方程变为， 判别式满足题意，且， 此时弦长， 点到直线的距离为， 所以的面积为. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第二十三中学2026届高三模拟考试 数 学 考试时间：120分钟试卷总分：150分 请将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、单选题（每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上相应位置） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 5. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（ ） A. 第85百分位数为18 B. 众数为12 C. 中位数为17 D. 平均成绩为14 7. 已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分．每小题至少两个正确选项，请将正确选项填涂到答题卡上相应位置．按比例得分，多选、错选均不得分．） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共7项 B. 所有项的二项式系数之和为64 C. 常数项为540 D. 所有项的系数之和为64 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 在区间上单调递减 D. 将图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则为偶函数 11. 已知，则（ ） A. 曲线关于点对称 B. 2是函数的极小值点 C. 若方程有三个不同的实数根，的取值范围为 D. 不等式的解集为 三、填空题（每小题5分，共15分．请将正确答案填写在答题卡上相应位置．） 12. 已知定义在上的奇函数，当时，，则______． 13. 已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则________． 14. 一个圆锥的底面半径为r，高为h，且圆锥表面积为S，体积为V.设，则当_____________时，取得最小值，最小值为_____________. 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤．） 15. 某企业八年来的年生产总值（单位；百万元）统计如下表： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 年生产总值y 12 14 18 24 32 52 73 95 根据表中数据解决下列问题. （1）在所统计的8个生产总值中任取2个，记其中不低于平均值的个数为，求的分布列和数学期望； （2）该企业在第5年进行了结构性改革，从第5年开始，企业的年生产总值呈直线上升趋势.试用线性回归模型预测该企业第10年的生产总值. 附：回归方程系数：； 参考数据：，． 16. 设数列的前项和为，且. （1）证明：是等差数列； （2）设，求数列的前项和 17. 如图，在六面体中，为的中点，四边形为矩形，且，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆：过点，以的长轴为直径的圆与轴上半轴交于，且． （1）求的方程； （2）若过点的直线与交于两点，满足直线的斜率之和为，求的面积． 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $