精品解析：贵州省遵义航天高级中学2025届高三第六次模拟考试数学试题

遵义航天高级中学2025届高三第六次模考试 数学 满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的. 1. 设集合，则集合与集合关系是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列前项和为，且，则（ ） A. 1 B. C. 10 D. 5 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于的说法，正确的是（ ） A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024 C. 展开式的第5项的系数为252 D. 展开式的的系数为45 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 11. 设过原点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，是双曲线的焦点，若的面积大于，则双曲线的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 3 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 13. 已知且均不为1，且，则值为______. 14. 如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若点是边中点，且，求面积的最大值. 17. 如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. （1）求新的几何体的体积； （2）记与底面所成角为，求的取值范围； （3）当时，求点到平面的距离. 18. 在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 19. 已知函数，其中，，是常数. （1）当，，时，求单调性及对称中心； （2）当，时，正方形有三个顶点在函数的图象上，求正方形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义航天高级中学2025届高三第六次模考试 数学 满分150分. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的. 1. 设集合，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求函数的值域和函数的定义域，即得集合，从而可确定选项. 【详解】由，，可得，则，故， 又由有意义，可得，即得，故， 则显然有. 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用抛物线的方程求解焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线的焦点在轴上，且， 所以，所以抛物线的焦点坐标为. 故选：D. 3. 已知向量若，则m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 4. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 1 B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明数列也为等差数列，设数列的公差为，结合条件求，再求. 【详解】设数列的公差为，则， 所以， 所以 所以数列为等差数列， 设数列的公差为，又数列的首项为， 因为，两边同除以得：， 所以， 解得，又，即，解得. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除，得到.再利用两角差的正切公式展开，将换成，化简即可得到答案. 【详解】，所以， 两边同除，得到，即. ，. 故选：C. 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用列举法求古典概型的概率即可. 【详解】从中随机选取三个不同的数有、、、、、、、、、，共10种情况， 其中三个数之积为偶数的有、、、、、、、、，共9种情况， 在上述的9种情况中，它们之和大于8的有、、、、，共5种情况， 所以这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为. 故选：D 7. 已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面积为，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球的半径和球的表面积. 【详解】设圆台上、下底面半径分别为和，母线长为，内切球的半径为， 因为上下底面面积之比为1：9，所以，得， 所以圆台的侧面积为，得， 因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以， 所以，得，所以，， 所以，得， 所以该球的表面积为， 故选：A 8. 已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数恰有3个零点，等价于方程有三个不等的实数根.分别作出函数和的图象，结合图象即可求解. 【详解】由题意得，方程有三个不等的实数根. 而， 分别作出函数和的图象， 当时， 当时，，对其求导得，所以， 所以曲线在点的切线方程为， 如图，直线与曲线在点相切. 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于的说法，正确的是（ ） A. 展开式的各二项式系数之和是1024 B. 展开式各项系数之和是1024 C. 展开式的第5项的系数为252 D. 展开式的的系数为45 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项式定理及赋值法判断A、B，写出展开式通项，进而确定对应项的系数判断C、D. 【详解】A，的展开式的各二项式系数之和是，A正确； B，令，得的展开式的各项系数之和为0，B错误； C，的展开式通项公式为且， 所以第5项系数为，C错误； D，令，则展开式的的系数为，D正确. 故选：AD 10. 已知函数的图象关于对称，下列结论中正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 若在上单调递增，则 D. 的图象与直线有三个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】先函数对称性求解，得到的解析式.A项，化简可知为奇函数；B项，代入解析式求值即可；C项，利用整体角求的单调递增区间，由可得范围；D项，利用导数可知直线恰为曲线在处的切线，进而可得公共点个数. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，即，解得， 所以， 验证：当时，，取最大值， 故的图象关于直线对称，满足题意； A项，，，由， 则是奇函数，故A正确； B项，由，故B错误； C项，， 由，解得， 当时，， 由在上单调递增，则， 解得，故C正确； D项，的图象与直线均过点， 由，则， 故直线即与曲线相切， 如图可知的图象与直线有且仅有一个公共点，故D错误. 故选：AC 11. 设过原点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，是双曲线的焦点，若的面积大于，则双曲线的离心率的取值可以是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】将直线AB方程与双曲线方程联立求交点坐标，据此表示出的面积，然后结合题意求离心率范围，即可得. 【详解】不妨设是双曲线的右焦点， 如图，由题知直线的方程为， 由，得，且， 所以， 因为， 且，所以， 所以，解得， 又因为，则，解得， 所以. 故选：ABC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中i为虚数单位，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可. 【详解】， 故． 故答案为：. 13. 已知且均不为1，且，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】应用对数的运算性质及已知可得，代入目标式求值即可. 【详解】由，即， 所以，故. 故答案为： 14. 如图，在正方体中，延长至使得，点在平面上，过点作于点，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为，由割线定理可得，连结，与平面相交于点，可得平面，在中，，利用，可求得. 【详解】在平面中，以为圆心，为半径作圆，则点在该圆上.设正方体的边长为， 根据割线定理知（或根据三角形相似）， 则. 连结，与平面相交于点， 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 同理可得，又，平面， 所以平面，又，所以为正的重心， 由，所以， 解得，所以， 由平面，所以. 在中，， 在中，，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列和满足. （1）证明：数列是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义，即可证明； （2）首先根据（1）的结果求等比数列的通项公式，再求，再利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由题意知， 所以， 即，又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 . 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角的大小； （2）若点是边中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边再利用余弦定理求解即可； （2）由等面积法得，，所以，所以，结合基本不等式求解三角形面积的最大值即可. 【小问1详解】 ， 即， 由正弦定理，得，即， 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 即， 所以， 由，所以， 所以，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以. 即面积的最大值为. 17. 如图1，在中，，，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点. （1）求新的几何体的体积； （2）记与底面所成角为，求的取值范围； （3）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用割补法来求得新的几何体的体积. （2）作出与底面所成角，求得的表达式，进而求得的取值范围. （3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得正确答案. 小问1详解】 连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. 【小问2详解】 如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以. 【小问3详解】 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以，， 设平面的法向量为， 则有，取 所以点到平面的距离为. 18. 在排球比赛中发球不过网或球落在对方界外均为发球失误，获得发球权的一方在本队发球未失误后，需要连续发球，发球失误后，发球权转移至对方，由对方发球．若甲队发球失误的概率为，乙队发球失误的概率为，并规定该场比赛甲队先开始发球． （1）记在第2，3，4次发球中甲队获得发球权的次数为X，求X的分布列； （2）若乙队在第n次获得发球权的概率大于，求n的最小值． （参考数据：，） 【答案】（1）分布列见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意，X可能值有0，1，2，3，分别计算它们对应的概率值，列出分布列即得； （2）分析可得，，由之构造数列，判断其为从第二项起构成公比为的等比数列，求出其通项，依题解不等式，利用取对数即得n的最小值. 【小问1详解】 依题意，X的可能值有0，1，2，3. 则； ； ； . 故X的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 设乙队在第n次获得发球权的概率为， 则依题意有：，，即， 因，且， 故数列从第二项起构成公比为的等比数列， 则，即， 依题意，由，可得， 两边取常用对数，可得：，即， 因，故， 因，故n的最小值为10. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查随机变量的分布列和概率与数列知识的融合解题.解题的关键在于理解题意推得，，再借助于构造等比数列求出通项，即可解不等式求得. 19. 已知函数，其中，，是常数. （1）当，，时，求单调性及对称中心； （2）当，时，正方形有三个顶点在函数的图象上，求正方形面积的最小值. 【答案】（1）增区间为，减区间为；对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，解方程，分区间判断导数值的正负，判断函数的单调性，设函数的对称中心为，则为奇函数，根据奇函数性质列方程求即可； （2）不妨设三个顶点中有两个在轴右侧（包括轴），且设三点的坐标分别为，直线的斜率为，由条件确定与的关系，利用表示正方形的边长，利用基本不等式求最值； 【小问1详解】 因为， 所以，令，则， 当时，，函数在区间上单调递增， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 在区间上单调递减， 设函数的对称中心为，则为奇函数， 所以函数为奇函数， 所以， 所以，则有， 解得， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 如图，不妨设三个顶点中有两个在轴右侧（包括轴），且设三点的坐标分别为，直线的斜率为， 则有. 又三点在函数的图象上， 所以， 代入上面两式得：. 由于， 即， 所以，即， 所以， 所以，且有. 所以正方形边长为 ， 当且仅当时，即点为原点时等号成立. 所以正方形面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $