精品解析：湖南省长沙市长郡集团2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解湘超观众最喜欢的球队 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C. 调查湘江的水质情况 D. 了解长沙市中学生课外阅读的情况 3. 如图，以下条件能推出的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果是方程的一个解，那么代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4053 5. 已知，则下列四个不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知≈1.414，≈4.472，那么≈（ ） A. 44.72 B. 14.14 C. 141.4 D. 447.2 7. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经·卷中》有一题：“今有四人共车，一车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”译文：如果每4人乘坐一辆车，就有1辆车空着；如果每3人乘坐一辆车，就有8人步行．问有多少人？多少辆车？设有人，有辆车，根据题意，列出方程组得（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 13的平方根是___________． 12. 若方程组的解满足，则的值为___________． 13. 根据官方数据，2026年五一假期（共5天），长沙累计接待游客万人次．长沙市政府为了了解各景点工作人员对游客的服务态度和管理水平，从中随机抽取了7000名游客进行问卷调查，这个问题中的样本容量是___________． 14. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为___________． 15. 已知点，，若，则点的坐标为___________． 16. 若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是___________． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 按要求解题： （1）解不等式：； （2）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．在平面直角坐标系中，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标为．将三角形平移得到三角形，使得点的对应点依次是点，若点的坐标为． （1）请写出三角形经过怎样的平移得到三角形，并在网格中画出三角形； （2）写出点，的坐标； （3）三角形的面积为___________． 21. 湖南望城国家农业科技园内的中国长沙航天育种示范基地是全国首个航天育种示范基地，某校科技社团前往开展太空番茄种植研学实践活动．为了解基地试种的“宇番2号”太空番茄挂果情况，社团随机调查60株番茄的挂果数量（单位：个），整理绘制成如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 0.1 12 0.25 18 0.3 9 0.15 （1）统计表中，___________，___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为___________； （4）望城农业科技园本年度共种植1000株“宇番2号”太空番茄，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株． 22. 完成下面的证明： 如图，已知，求证：． 证明：， ___________（___________）． ， （___________）， 即， ． ， （___________）， ___________CD（___________）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）． 23. 如图，点为线段上一点，点为线段上一点，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 24. 湘绣是国家级非物质文化遗产，为助力乡村产业帮扶，长沙湘绣产业园对口帮扶湘西乡村建设智能刺绣车间，引进，两款专业智能刺绣机器人，批量生产湘绣书签、迷你山水绣片等文旅文创产品．已知一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品． （1）求一台型刺绣机器人、一台型刺绣机器人每小时分别可以刺绣多少件湘绣文创产品； （2）随着湖南文旅市场火爆，景区、线上助农直播间订单暴涨，帮扶团队对两款刺绣机器人进行智能化技改升级．升级后，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升．现车间投入生产的型刺绣机器人数量是型刺绣机器人数量的2倍多1台，且所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件，请问该帮扶车间最少需要安排多少台型刺绣机器人投入生产？ 25. 我们规定：若非负实数的算术平方根的整数部分为，则称为“阶平方界数”．如的整数部分为1，则称3为“1阶平方界数”． （1）若为“2阶平方界数”，则实数的取值范围为___________； （2）若为“5阶平方界数”，关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围，并写出取哪些整数时二元一次方程组的解为整数； （3）在平面直角坐标系中点的坐标满足下列二元一次方程组（其中），将点向下平移20个单位长度后对应点为点，已知点在第三象限且点到轴的距离为“阶平方界数”，若满足上述条件的的整数值有且仅有9个，求的值和的取值范围．（提示：） 26. 已知平分平分的延长线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）已知点在线段上，点在射线上，且，连接，若有成立． ①如图2，当且点在线段上时，求的度数； ②请用含有的代数式表示出的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列实数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，只需根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断. 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数. ∵ 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 2. 以下调查中，最适宜采用普查方式的是（ ） A. 了解湘超观众最喜欢的球队 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了违禁物品 C. 调查湘江的水质情况 D. 了解长沙市中学生课外阅读的情况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，解题思路是根据两种调查方式的适用范围，结合各选项场景判断即可，普查适合要求结果准确，或必须对每个个体核查的场景，抽样适合调查范围大，无法全面核查的场景； 【详解】解：∵普查适合对所有调查对象逐一核查，适用于要求结果准确或涉及安全必须全部检查的场景，抽样调查适合调查范围大，无法逐一调查的场景； A．了解湘超观众最喜欢的球队，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求； B．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，事关公共安全，必须对每位旅客逐一检查，最适宜普查，符合要求； C．调查湘江水质，调查范围大，无法全面普查，适合抽样调查，不符合要求； D．了解长沙市中学生课外阅读情况，调查范围大，适合抽样调查，不符合要求． 3. 如图，以下条件能推出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．由不能推出，故不符合题意； B．由不能推出，故不符合题意； C．根据同位角相等，两直线平行，由能推出，故符合题意； D．由不能推出，故不符合题意． 4. 如果是方程的一个解，那么代数式的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4053 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，得到的值，再代入所求代数式计算即可； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴； 5. 已知，则下列四个不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否一定成立，找出不一定成立的选项即可. 【详解】解： A选项： ∵ ，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴ 一定成立，不符合题意. B选项： ∵ ，当 时，， ∴ 不一定成立，符合题意. C选项： ∵ ，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变， ∴ 一定成立，不符合题意. D选项： ∵ ，不等式两边同乘得 ，再两边同时加得 ，一定成立，不符合题意. 6. 已知≈1.414，≈4.472，那么≈（ ） A. 44.72 B. 14.14 C. 141.4 D. 447.2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用二次根式性质判断即可确定出结果． 【详解】解：∵≈4.472， ∴≈44.72． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，熟练掌握二次根式的性质是解本题的关键． 7. 在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】横坐标的绝对值就是到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离．然后根据第四象限内点的坐标特征，可得答案． 【详解】解：根据题意，点在第四象限内，且它到轴的距离为3，到轴的距离为4， 则点的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，熟记点的坐标特征是解题关键． 8. 《孙子算经·卷中》有一题：“今有四人共车，一车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”译文：如果每4人乘坐一辆车，就有1辆车空着；如果每3人乘坐一辆车，就有8人步行．问有多少人？多少辆车？设有人，有辆车，根据题意，列出方程组得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据两种乘车情况分别找出总人数的等量关系，即可列出方程组； 【详解】解：设有人，辆车， ∵每人乘坐一辆车，有辆车空着， ∴实际使用的车辆数为，总人数满足； ∵每人乘坐一辆车，有人步行， ∴坐车人数为，加上步行人数等于总人数，总人数满足； 因此可得方程组; 9. 如图，正方形的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且，则点E所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出． 因为面积为7的正方形边长为，所以，而，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为． 【详解】解：∵面积为7的正方形边长为， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1， ∴点表示的数为， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，三角形，三角形，三角形，三角形都是等边三角形，且点的坐标分别是，依据图形所反映的规律，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图形可以得到，每4个为一组，据此可以得到在x轴正半轴上，纵坐标为0，根据，……得到横坐标为，据此即可求解． 【详解】解：观察图形可以看出，…，每4个为一组， ∵， ∴在x轴正半轴上，纵坐标为0， ∵， ……， ∴当时，的横坐标为4， 当时，的横坐标为5， 当时，的横坐标为6， ……， 当时，横坐标为， ∵， ∴， 则， ∴的坐标是． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 13的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 12. 若方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先解方程组求出，，然后代入求解即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∵， ∴， 解得． 13. 根据官方数据，2026年五一假期（共5天），长沙累计接待游客万人次．长沙市政府为了了解各景点工作人员对游客的服务态度和管理水平，从中随机抽取了7000名游客进行问卷调查，这个问题中的样本容量是___________． 【答案】7000 【解析】 【分析】本题考查样本容量的概念，根据样本容量的定义确定抽取个体的数目即可． 【详解】解：在该抽样调查中，随机抽取了名游客进行问卷调查，根据定义，样本中个体的数目即为样本容量，因此这个问题中的样本容量是． 14. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为___________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 15. 已知点，，若，则点的坐标为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】由A，B两点横坐标相等，可得平行于轴，再根据得到纵坐标差的绝对值等于，求解的值，即可得到点的坐标． 【详解】解：点，点， A，B两点的横坐标相等，即轴， ， 即， ∴或， 解得或， 点的坐标为或． 16. 若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可． 【详解】解：∵， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】， 得， 解得， 将代入①得， 解得， 则该二元一次方程组的解为． 19. 按要求解题： （1）解不等式：； （2）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 在数轴上表示解集：略． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．在平面直角坐标系中，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点的坐标为．将三角形平移得到三角形，使得点的对应点依次是点，若点的坐标为． （1）请写出三角形经过怎样的平移得到三角形，并在网格中画出三角形； （2）写出点，的坐标； （3）三角形的面积为___________． 【答案】（1）三角形如图所示． （2）， （3）4 【解析】 【分析】（1）根据顶点的坐标为的对应点的坐标为判断平移的方式，再根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）根据图形写出点，的坐标； （3）采用割补方法，利用长方形的面积减去多余直角三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：由点到点的坐标变化可知，三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，三角形略； 【小问2详解】 解：由图可知，，； 【小问3详解】 解：． 21. 湖南望城国家农业科技园内的中国长沙航天育种示范基地是全国首个航天育种示范基地，某校科技社团前往开展太空番茄种植研学实践活动．为了解基地试种的“宇番2号”太空番茄挂果情况，社团随机调查60株番茄的挂果数量（单位：个），整理绘制成如下不完整的统计图表： “宇番2号”番茄挂果数量统计表 挂果数量（个） 频数（株） 频率 6 0.1 12 0.25 18 0.3 9 0.15 （1）统计表中，___________，___________； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为___________； （4）望城农业科技园本年度共种植1000株“宇番2号”太空番茄，请估计挂果数量在“”范围的番茄有多少株． 【答案】（1）0.2，15； （2）补全的频数分布直方图如图所示： （3）； （4）150． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以求得a的值、b的值； （2）根据（1）中b的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据挂果数量在“”所对应的频率，可以求得挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数； （4）根据挂果数量在“”范围的频率，计算求解即可． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由题意可得， 挂果数量在“”所对应扇形的圆心角度数为：． 【小问4详解】 由题意可得，：（株）． 答：挂果数量在“”范围的番茄大约有150株． 22. 完成下面的证明： 如图，已知，求证：． 证明：， ___________（___________）． ， （___________）， 即， ． ， （___________）， ___________CD（___________）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同角的余角相等；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】略． 23. 如图，点为线段上一点，点为线段上一点，若，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）证明得，等量代换得，进而可证； （2）由求出，可得，，再由可求出的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 且， ， ， ， ， ． 24. 湘绣是国家级非物质文化遗产，为助力乡村产业帮扶，长沙湘绣产业园对口帮扶湘西乡村建设智能刺绣车间，引进，两款专业智能刺绣机器人，批量生产湘绣书签、迷你山水绣片等文旅文创产品．已知一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品． （1）求一台型刺绣机器人、一台型刺绣机器人每小时分别可以刺绣多少件湘绣文创产品； （2）随着湖南文旅市场火爆，景区、线上助农直播间订单暴涨，帮扶团队对两款刺绣机器人进行智能化技改升级．升级后，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升，每台型刺绣机器人每小时刺绣产量提升．现车间投入生产的型刺绣机器人数量是型刺绣机器人数量的2倍多1台，且所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件，请问该帮扶车间最少需要安排多少台型刺绣机器人投入生产？ 【答案】（1）一台型刺绣机器人每小时能刺绣80件产品，一台型刺绣机器人每小时能刺绣50件产品 （2）该帮扶车间最少需要安排5台型刺绣机器人投入生产 【解析】 【分析】（1）设每小时一台型刺绣机器人能刺绣件产品，一台型刺绣机器人能刺绣件产品，根据“一台型刺绣机器人每小时比一台型刺绣机器人多刺绣30件湘绣文创产品；4台型刺绣机器人和2台型刺绣机器人同时工作1小时，一共可刺绣420件湘绣文创产品”列方程组求解即可； （2）设该帮扶车间安排台型刺绣机器人投入生产，根据“所有机器人每小时刺绣总产量不低于1200件”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每小时一台型刺绣机器人能刺绣件产品，一台型刺绣机器人能刺绣件产品， 根据题意，得， 解得． 答：一台型刺绣机器人每小时能刺绣80件产品，一台型刺绣机器人每小时能刺绣50件产品． 【小问2详解】 解：设该帮扶车间安排台型刺绣机器人投入生产， 根据题意，得， 解得， 又为非负整数， 最小为5． 答：该帮扶车间最少需要安排5台型刺绣机器人投入生产． 25. 我们规定：若非负实数的算术平方根的整数部分为，则称为“阶平方界数”．如的整数部分为1，则称3为“1阶平方界数”． （1）若为“2阶平方界数”，则实数的取值范围为___________； （2）若为“5阶平方界数”，关于的二元一次方程组的解满足，求的取值范围，并写出取哪些整数时二元一次方程组的解为整数； （3）在平面直角坐标系中点的坐标满足下列二元一次方程组（其中），将点向下平移20个单位长度后对应点为点，已知点在第三象限且点到轴的距离为“阶平方界数”，若满足上述条件的的整数值有且仅有9个，求的值和的取值范围．（提示：） 【答案】（1） （2）的取值范围为，当时，二元一次方程组的解为整数 （3），且 【解析】 【分析】（1）根据“阶平方界数”的定义解答即可； （2）把方程组中的两个方程相加得出，结合求出．根据为“5阶平方界数”求出，再求出方程组的解集，结合二元一次方程组的解为整数判断的整数值即可； （3）根据点到轴的距离为“阶平方界数”得，结合的整数值有且仅有9个得，求出，则，把方程组中两个方程相减求出，将代入③可得，将代入③可得，进而求出，进而可求出且． 【小问1详解】 解：∵为“2阶平方界数”， ∴， ∴实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：， 得， ， ， 解得． 为“5阶平方界数”， ∴， ， ． 解方程组得， 时，二元一次方程组的解为整数， 的取值范围为，当时，二元一次方程组的解为整数． 【小问3详解】 解：∵将点向下平移20个单位长度后对应点为点 ∴点的坐标为， 点在第三象限， ， 点到轴的距离为“阶平方界数”， ， ， 由题意知为整数，故均为整数， 的整数值有且仅有9个， ， ， ， ． ， 得， ， ， ， 将代入③可得， 将代入③可得， ， ， ， 解得， 又， 且． 26. 已知平分平分的延长线交于点，过点作，交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）已知点在线段上，点在射线上，且，连接，若有成立． ①如图2，当且点在线段上时，求的度数； ②请用含有的代数式表示出的大小． 【答案】（1）证明：如图， ， ， 又平分平分， ， ， ． 又 ， ， ． （2）①；②当点在线段上时；当点在线段的延长线上时 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得，由角平分线的定义得，，进而可求出，求出可证结论成立； （2）设，则，，，， ①表示出，当时，可求出； ②分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时两种情况求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则，，，， ①如图2，当点在线段上时， ， ， ， 当时， ， ． ②当点在线段上时，由①知， ； 当点在线段的延长线上时，见备用图， ， ，， ． ， ． 综上所述，当点在线段上时，当点在线段的延长线上时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $