第三周 第1天 不等关系与不等式 暑假自学讲义 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第1天 不等关系与不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两个数(式)的大小、证明不等式. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 💡知识梳理 1.不等关系与不等式：用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的 ．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 ______ ______ ______ ______ ⚠️ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 🎯例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 反思 归纳 📐跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少是a，可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a，可表示为“y≥a” 知识点2 作差法比较大小 💡知识梳理 1.基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么______ a－b＞0⇔______ 如果a－b等于0，那么______ a－b＝0⇔______ 如果a－b是负数，那么______ a－b＜0⇔______ 2.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2______2ab，当且仅当______时，等号成立 🎯例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 作差法比较两个实数大小的基本步骤: 反思 归纳 📐跟踪训练2　1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是________． 2．已知a＞0，求证：a＋≥2. 知识点3 作差法证明不等式 🎯例3　(1)证明：∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. (2)已知x，y∈R，求证：x2+2y2≥2xy+2y-1. 作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立. 反思 归纳 📐跟踪训练3　已知a>0，求证：a+≥2. 知识点4 不等式的实际应用 🎯例4 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都一样，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将要解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 反思 归纳 📐跟踪训练4　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元． 自学小结 不等关系与不等式 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)作差法证明不等式. (4)不等式的实际应用 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 2．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x＋y－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M ＞N C．M＝N D．M与N的大小关系不确定 3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(　　) A． B． C． D． 4．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第三周 第1天 不等关系与不等式 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两个数(式)的大小、证明不等式. 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 用不等式(组)表示不等关系 💡知识梳理 1.不等关系与不等式：用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2.常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ ⚠️ 注意点： (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 🎯例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组). 【解】　设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆， 则 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 反思 归纳 📐跟踪训练1　下列说法正确的是(　　) A．某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000” B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y” C．某变量x至少是a，可表示为“x≥a” D．某变量y不超过a，可表示为“y≥a” 解析：选C.某人的月收入x不高于2 000元可表示为“x≤2 000”，所以A错误； 小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＜y”，所以B错误； 某变量x至少是a可表示为“x≥a”，所以C正确； 某变量y不超过a可表示为“y≤a”，所以D错误． 知识点2 作差法比较大小 💡知识梳理 1.基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 2.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立 🎯例2　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 【解】　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2) ＝x2＋x＋1＝＋. 因为≥0，所以＋≥＞0， 所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， 所以2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 作差法比较两个实数大小的基本步骤: 反思 归纳 📐跟踪训练2　1．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是________． 解析：m－n＝x2－1－2(x＋1)2＋4(x＋1)－1＝－x2≤0，故m≤n. 2．已知a＞0，求证：a＋≥2. 证明：因为a＞0， 所以a＋－2＝()2＋－2＝≥0，所以a＋≥2. 知识点3 作差法证明不等式 🎯例3　(1)证明：∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 证明　显然，∀a，b∈R，有(a-b)2≥0， 即a2+b2-2ab≥0. 由两个实数大小关系的基本事实， 得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. (2)已知x，y∈R，求证：x2+2y2≥2xy+2y-1. 证明　由x2+2y2-(2xy+2y-1) =x2+2y2-2xy-2y+1 =(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1) =(x-y)2+(y-1)2≥0， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+2y2≥2xy+2y-1. 作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立. 反思 归纳 📐跟踪训练3　已知a>0，求证：a+≥2. 证明　∵a+-2=()2+-2 =≥0， ∴a+≥2，当且仅当即a=1时，等号成立. 知识点4 不等式的实际应用 🎯例4 某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都一样，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 【解】　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn， y2＝nx. 因为y1－y2＝x＋xn－nx ＝x－nx＝x， 当n＝5时，y1＝y2； 当n>5时，y1<y2；当n<5时，y1>y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． 现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将要解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题． 反思 归纳 📐跟踪训练4　某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下： 电子器件种类 每件需要人员数 每件产值(万元/件) A类 7.5 B类 6 今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元． 答案：20　330 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元． 自学小结 不等关系与不等式 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)作差法证明不等式. (4)不等式的实际应用 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．下列能表示“a不比b小”的不等关系的是(　　) A．a－b＞0 B．a－b＜0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 答案：C 2．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x＋y－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＜N B．M ＞N C．M＝N D．M与N的大小关系不确定 解析：选B.M－N＝xy－x－y＋1＝x(y－1)－(y－1)＝(x－1)(y－1)， 因为0＜x＜1，0＜y＜1， 所以x－1＜0，y－1＜0， 所以M－N＞0，所以M ＞N. 3．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，所以x≥95，y＞380，z＞45. 4．如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为________． 答案：(a2＋b2)＞ab 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图②广告牌的面积S2＝ab，作差得S1－S2＝(a2＋b2)－ab＝(a2＋b2－2ab)＝(a－b)2.又由题图得a＞b，所以(a－b)2＞0，所以S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab.　 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $