第四周 第1天 一元二次不等式的应用 暑假自学讲义 - 2026年新高一上学期数学人教A版必修第一册

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第1天 一元二次不等式的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.(重难点) 2.熟练掌握分式不等式的解法.(重点) 3.构建二次函数模型，解决实际问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 简单的分式不等式 ❓ 问题　>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0同解吗？ 💡知识梳理 简单的分式不等式： (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 🎯例1-1 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 分式不等式的解法： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 解下列不等式：(1)≤0；　(2)<3. 知识点2 一元二次不等式的恒成立问题 📐角度1：在R上的恒成立问题 🎯例2-1 (1)不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，求a的取值范围； (2)若对一切x∈R，不等式ax2＋2x＋2>0恒成立，求实数a的取值范围． 转化为一元二次不等式解集为R的情况： ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 反思 归纳 🎯跟踪练习2-1 若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围． 📐角度2：在给定范围上的恒成立问题 🎯例2-2 当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. 在给定范围上的恒成立问题: (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-2 命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 知识点3 一元二次不等式的实际应用 🎯例3-1 某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 解不等式应用题的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件．据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？ 🎯教材例题 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s=v2. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km/h)？ 自学小结 一元二次不等式的应用 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)一元二次不等式的恒成立问题 (3)一元二次不等式的实际应用. 2.方法归纳：转化法、恒等变形法. 3.常见误区： (1)解分式不等式要同解变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. . 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．不等式≤0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或－1＜x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1，或x≥2} D．{x|－1＜x≤2} 2．当x∈R时，不等式x2－ax＋9≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≤－6}　　　　　　 B．{a|－6≤a≤6} C．{a|0<a≤6} D．{a|a≤10} 3．不等式≥2的解集为________． 4．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，求t的取值范围． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 第四周 第1天 一元二次不等式的应用 今 日 目 标 树目标 · 抓落实 1.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系.(重难点) 2.熟练掌握分式不等式的解法.(重点) 3.构建二次函数模型，解决实际问题.(难点) 今 日 知 识 汲新知 · 赋新能 知识点1 简单的分式不等式 ❓ 问题　>0与(x-3)(x+2)>0同解吗？≥0与(x-3)(x+2)≥0同解吗？ 💬提示　>0与(x-3)(x+2)>0同解； ≥0与(x-3)(x+2)≥0不同解，前者的解集中不包含-2，后者的解集中包含-2. 💡知识梳理 简单的分式不等式： (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解． 🎯例1-1 解下列不等式： (1)≥0；(2)<3. 【解】　(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组，可得x≤－1或x>3. 即知原不等式的解集为{x|x≤－1或x＞3}． (2)不等式<3可改写为－3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0，解得－1<x<1. 所以，原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 分式不等式的解法： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的形式，然后再用上述方法求解. 反思 归纳 🎯跟踪练习 1-1 解下列不等式：(1)≤0；　(2)<3. 【解】(1)不等式≤0可转化成不等式组解得-1≤x<3. 即原不等式的解集为{x|-1≤x<3}. (2)不等式<3可转化为-3<0，即<0. 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 知识点2 一元二次不等式的恒成立问题 📐角度1：在R上的恒成立问题 🎯例2-1 (1)不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R，求a的取值范围； (2)若对一切x∈R，不等式ax2＋2x＋2>0恒成立，求实数a的取值范围． 【解】(1)因为不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集为R， 所以二次函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方， 所以Δ＝4－4(a2－3)<0，解得a>2或a<－2. (2)若a＝0，则显然不等式ax2＋2x＋2>0不能对一切x∈R都成立，所以a≠0，此时只有二次函数y＝ax2＋2x＋2的图象与x轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得a>，即实数a的取值范围是. 转化为一元二次不等式解集为R的情况： ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔ 反思 归纳 🎯跟踪练习2-1 若对∀x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围． 【解】原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0， 所以Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0， 所以0<m<4， 所以m的取值范围为{m|0<m<4}． 📐角度2：在给定范围上的恒成立问题 🎯例2-2 当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围. 【解】令y=x2+mx+4，∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y=0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<-5， ∴实数m的取值范围是{m|m<-5}. 在给定范围上的恒成立问题: (1)当a>0时，ax2+bx+c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2+bx+c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y=ax2+bx+c在x=α，x=β时的函数值同时大于0. 反思 归纳 🎯跟踪练习2-2 命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥4 B.a≥5 C.a≤4 D.a≤5 【解】因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2-a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立，所以a≥4， 结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 知识点3 一元二次不等式的实际应用 🎯例3-1 某单位在对一个长800 m、宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围． 【解】设花坛的宽度为x m， 则草坪的长为(800－2x)m， 宽为(600－2x)m， 根据题意得(800－2x)(600－2x)≥×800×600，x＜300，　 整理得x2－700x＋60 000≥0， 解不等式得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0， 所以0<x≤100. 当x在(0，100]之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一． 解不等式应用题的步骤： 反思 归纳 🎯跟踪练习3-1 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件．据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？ 【解】设每件的售价为t元，依题意得t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0， 解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为40元． 🎯教材例题 某种汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和汽车刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s=v2. 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到1 km/h)？ 【解】根据题意，得v2>39.5. 移项整理，得v2+9v-7 110>0. 对于方程v2+9v-7 110=0，Δ>0，方程有两个实数根v1=. 画出二次函数s=v2+9v-7 110的图象(如图)，结合图象得不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}，从而原不等式的解集为{v|v<v1，或v>v2}. 因为车速v>0，所以v>v2.而79.9<v2<80，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 自学小结 一元二次不等式的应用 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)一元二次不等式的恒成立问题 (3)一元二次不等式的实际应用. 2.方法归纳：转化法、恒等变形法. 3.常见误区： (1)解分式不等式要同解变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. . 今 日 演 练 学以用 · 知以行 1．不等式≤0的解集是(　　) A．{x|x＜－1，或－1＜x≤2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1，或x≥2} D．{x|－1＜x≤2} 【解】此不等式等价于所以－1＜x≤2.故选D. 2．当x∈R时，不等式x2－ax＋9≥0恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≤－6}　　　　　　 B．{a|－6≤a≤6} C．{a|0<a≤6} D．{a|a≤10} 【解】因为x2－ax＋9≥0在R上恒成立，所以a2－36≤0，解得－6≤a≤6.故选B. 3．不等式≥2的解集为________． 【解】方法一：原不等式可化为－2≥0，即≤0. 原不等式等价于或 解得－2≤x<0. 故原不等式的解集为{x|－2≤x<0}， 方法二：原不等式可化为－2≥0， 即≤0. 原不等式等价于即 故－2≤x<0. 原不等式的解集为{x|－2≤x<0}． 4．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400 元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，求t的取值范围． 【解】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400××t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $