第23章《一次函数》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册预习 第23章 一次函数 本章复习目标 理解正比例函数与一次函数的概念，掌握二者的从属关系，能根据定义准确判断函数类型，发展数学抽象核心素养。 熟练掌握一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义，能结合图象分析函数的增减性、象限分布与交点问题，强化数形结合思维。 掌握待定系数法求一次函数解析式，理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，提升逻辑推理能力。 能运用一次函数模型解决行程、计费、方案选择等真实生活问题，体会函数的应用价值，提升数学建模与问题解决能力。 本章知识框架 知识点复习 23.1 正比例函数 知识点 1：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做______函数，其中k叫做______。 判断三要素：① 自变量次数为 1；② 自变量系数不为 0；③ 无常数项（常数项为 0）。 知识点 2：正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx (k≠0)的图象是一条经过______的直线，我们称之为直线y=kx。 画正比例函数图象时，通常取原点(0,0)和点(1,​ )两点连线即可。 性质由比例系数k决定： 当k>0时，直线经过第______象限，y随x的增大而______； 当k<0时，直线经过第______象限，y随x的增大而______。 知识点 3：待定系数法求正比例函数解析式 步骤： 设出函数解析式y=kx； 将已知点的坐标代入解析式，得到关于k的一元一次方程； 解方程求出______的值； 将求得的系数代回解析式，得到最终表达式。 23.2 一次函数 知识点 1：一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做______函数。 当b=0时，y=kx即为正比例函数，因此______函数是特殊的一次函数。 判断三要素：① 自变量次数为 1；② 自变量系数k≠0；③ 常数项b可为任意实数。 知识点 2：一次函数的图象 一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线，我们称之为直线y=kx+b。 直线与y轴的交点坐标为(0,​ )，与x轴的交点坐标为( ​, 0)。 画一次函数图象时，通常取与两坐标轴的交点连线，即 “两点法” 作图。 知识点 3：一次函数的性质 一次函数的性质由k和b共同决定. 增减性由k决定： k>0时，y随x的增大而______，图象从左向右呈______趋势； k<0时，y随x的增大而_____，图象从左向右呈______趋势。 象限分布由k,b共同决定： k>0, b>0 → 直线经过第______象限； k>0, b<0 → 直线经过第______象限； k<0, b>0 → 直线经过第______象限； k<0, b<0 → 直线经过第______象限。 知识点 4：一次函数图象的平移规律 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移得到： 向上平移m个单位 → 解析式变为________； 向下平移m个单位 → 解析式变为________； 向左平移m个单位 → 解析式变为________； 向右平移m个单位 → 解析式变为________。 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 知识点 5：待定系数法求一次函数解析式 求一次函数解析式需要______个独立条件（如两个点的坐标），步骤如下： 设解析式为y=kx+b； 将两个已知点的坐标代入，得到关于k,b的二元一次方程组； 解方程组求出k,b的值； 代回得到函数解析式。 23.3 一次函数与方程、不等式 知识点 1：一次函数与一元一次方程 从 “数” 的角度：当一次函数y=kx+b的函数值为 0 时，相应的自变量的值就是方程________的解。 从 “形” 的角度：直线y=kx+b与______轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。 知识点 2：一次函数与一元一次不等式 从 “数” 的角度： kx+b>0的解集 → 函数值y>0时，对应自变量x的取值范围； kx+b<0的解集 → 函数值y<0时，对应自变量x的取值范围。 从 “形” 的角度： kx+b>0的解集 → 直线y=kx+b位于x轴______方部分对应的x取值； kx+b<0的解集 → 直线y=kx+b位于x轴______方部分对应的x取值。 知识点 3：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，对应两条直线。 从 “数” 的角度：解方程组相当于求自变量为何值时，两个函数值相等以及这个函数值是多少。 从 “形” 的角度：解方程组相当于求两条直线的______坐标。 23.4 一次函数的实际应用 知识点 1：常见应用模型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，匀速运动的路程与时间成______函数关系； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 计费问题：总费用 = 单价 × 数量 + 基础费用，典型的一次函数模型； 销售问题：利润 = 单件利润 × 销量 - 固定成本。 知识点 2：分段函数应用 在不同的自变量区间内，函数有不同的表达式，这类函数称为______函数。 生活中阶梯电价、阶梯水费、出租车计费、个人所得税等问题，均可用分段一次函数模型刻画。 解题关键：找准分段点，明确每一段对应的函数关系式，注意自变量的取值范围。 知识点 3：方案选择问题 利用一次函数进行方案优化的一般步骤： 分析题意，分别建立不同方案的函数解析式； 通过解方程或不等式，找到方案费用相等的临界点； 分情况讨论，根据自变量的不同取值范围，确定______方案。 这类问题体现了分类讨论与优化决策的数学思想，是数学应用于生活的典型体现。 本章核心数学思想 数形结合思想：本章核心思想，通过解析式（数）与图象（形）的相互转化，多角度分析函数性质与问题，直观又严谨。 数学建模思想：将实际生活中的变量关系抽象为一次函数模型，用数学方法解决真实问题。 分类讨论思想：研究函数性质、解不等式、方案选择时，根据k的正负、临界点等进行分类讨论。 方程思想：通过已知点的坐标列方程（组）求解未知系数，实现几何条件向代数运算的转化。 本章易错点提醒 概念判断错误：忽略一次函数中 “k≠0” 的条件，误将k=0的常函数判定为一次函数。 象限记忆混淆：记错k,b符号与象限的对应关系，尤其是b的正负决定直线与y轴交点的位置。 平移规律用错：左右平移时易错用在常数项上，牢记 “左加右减自变量，上加下减常数项”。 实际问题忽略范围：求解应用问题时，忽略自变量的实际意义（如时间、数量非负），导致取值范围错误。 交点意义理解不清：两直线交点的横坐标和纵坐标分别对应方程组中x,y的解，不可混淆横纵坐标的意义。 分段函数分段点处理不当：忽略分段点的归属，或代入解析式时用错区间对应的表达式。 知识点练习 一、 选择题 1.一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（        ） A. B. C. D. 2.已知一次函数，则下列选项正确的是（        ） A.函数图象经过 B.随的增大而减少 C.直线平行于直线 D.函数图象在第一、三、四象限 3.在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（       ） A. B. C. D. 4.对于一次函数y＝﹣2x+4，当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围是（ ） A.﹣4≤y≤16 B.4≤y≤8 C.﹣8≤y≤4 D.﹣4≤y≤8 5.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（        ） A.随的增大而减小 B.方程组的解为 C. D.当时， 6.正比例函数的图象经过的象限是（ ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、二象限 7.某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（        ） A.元 B.元 C.元 D.元 8.如图所示，将含角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合．已知点A的坐标为，则直线的函数表达式为（        ） A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（     ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A.13 B.14 C.15 D.16 10.已知直线与直线都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线 直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（       ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A.个 B.个 C.个 D.个 二、 填空题 11.当________时，函数（是常数）是正比例函数． 12.如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是________．  13.已知一次函数，当时，，则的值是________________． 14.已知直线，将直线向上平移个单位后得到． 若的解析式为，则________________； 若点在的异侧，则取值范围是_________________． 15.如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为_______． 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 三、 解答题   17.已知与成正比例，当时，，求： （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值． 18.已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 19.已知一次函数， （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 20.已知直线和直线的图象如图所示，其中直线经过，两点， （1）求直线的函数解析式； （2）已知直线和直线相交于点C，求的面积． 21.某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人分拣包裹数量（件小时） 采购价格（万元台） A 15000 8 B 12000 6 该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件． （1）设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？ 22.如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级下册预习 第23章 一次函数 本章复习目标 理解正比例函数与一次函数的概念，掌握二者的从属关系，能根据定义准确判断函数类型，发展数学抽象核心素养。 熟练掌握一次函数的图象画法与性质，理解k、b的几何意义，能结合图象分析函数的增减性、象限分布与交点问题，强化数形结合思维。 掌握待定系数法求一次函数解析式，理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在联系，提升逻辑推理能力。 能运用一次函数模型解决行程、计费、方案选择等真实生活问题，体会函数的应用价值，提升数学建模与问题解决能力。 本章知识框架 知识点复习 23.1 正比例函数 知识点 1：正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做___正比例___函数，其中k叫做___比例系数___。 判断三要素：① 自变量次数为 1；② 自变量系数不为 0；③ 无常数项（常数项为 0）。 知识点 2：正比例函数的图象与性质 正比例函数y=kx (k≠0)的图象是一条经过__原点____的直线，我们称之为直线y=kx。 画正比例函数图象时，通常取原点(0,0)和点(1,​k )两点连线即可。 性质由比例系数k决定： 当k>0时，直线经过第___一、三___象限，y随x的增大而__增大____； 当k<0时，直线经过第___二、四___象限，y随x的增大而__减小____。 知识点 3：待定系数法求正比例函数解析式 步骤： 设出函数解析式y=kx； 将已知点的坐标代入解析式，得到关于k的一元一次方程； 解方程求出___k___的值； 将求得的系数代回解析式，得到最终表达式。 23.2 一次函数 知识点 1：一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数，叫做__一次____函数。 当b=0时，y=kx即为正比例函数，因此___正比例___函数是特殊的一次函数。 判断三要素：① 自变量次数为 1；② 自变量系数k≠0；③ 常数项b可为任意实数。 知识点 2：一次函数的图象 一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线，我们称之为直线y=kx+b。 直线与y轴的交点坐标为(0,​b )，与x轴的交点坐标为( ​, 0)。 画一次函数图象时，通常取与两坐标轴的交点连线，即 “两点法” 作图。 知识点 3：一次函数的性质 一次函数的性质由k和b共同决定. 增减性由k决定： k>0时，y随x的增大而__增大____，图象从左向右呈___上升___趋势； k<0时，y随x的增大而__减小___，图象从左向右呈___下降___趋势。 象限分布由k,b共同决定： k>0, b>0 → 直线经过第___一、二、三___象限； k>0, b<0 → 直线经过第___一、三、四___象限； k<0, b>0 → 直线经过第___一、二、四___象限； k<0, b<0 → 直线经过第___二、三、四___象限。 知识点 4：一次函数图象的平移规律 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx平移得到： 向上平移m个单位 → 解析式变为___y=kx+b+m_____； 向下平移m个单位 → 解析式变为___y=kx+b−m_____； 向左平移m个单位 → 解析式变为___y=k(x+m)+b_____； 向右平移m个单位 → 解析式变为____y=k(x−m)+b____。 口诀：上加下减常数项，左加右减自变量。 知识点 5：待定系数法求一次函数解析式 求一次函数解析式需要___两___个独立条件（如两个点的坐标），步骤如下： 设解析式为y=kx+b； 将两个已知点的坐标代入，得到关于k,b的二元一次方程组； 解方程组求出k,b的值； 代回得到函数解析式。 23.3 一次函数与方程、不等式 知识点 1：一次函数与一元一次方程 从 “数” 的角度：当一次函数y=kx+b的函数值为 0 时，相应的自变量的值就是方程____kx+b=0____的解。 从 “形” 的角度：直线y=kx+b与___x___轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0的解。 知识点 2：一次函数与一元一次不等式 从 “数” 的角度： kx+b>0的解集 → 函数值y>0时，对应自变量x的取值范围； kx+b<0的解集 → 函数值y<0时，对应自变量x的取值范围。 从 “形” 的角度： kx+b>0的解集 → 直线y=kx+b位于x轴__上____方部分对应的x取值； kx+b<0的解集 → 直线y=kx+b位于x轴___下___方部分对应的x取值。 知识点 3：一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，对应两条直线。 从 “数” 的角度：解方程组相当于求自变量为何值时，两个函数值相等以及这个函数值是多少。 从 “形” 的角度：解方程组相当于求两条直线的___交点___坐标。 23.4 一次函数的实际应用 知识点 1：常见应用模型 行程问题：路程 = 速度 × 时间，匀速运动的路程与时间成___正比例___函数关系； 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间； 计费问题：总费用 = 单价 × 数量 + 基础费用，典型的一次函数模型； 销售问题：利润 = 单件利润 × 销量 - 固定成本。 知识点 2：分段函数应用 在不同的自变量区间内，函数有不同的表达式，这类函数称为___分段___函数。 生活中阶梯电价、阶梯水费、出租车计费、个人所得税等问题，均可用分段一次函数模型刻画。 解题关键：找准分段点，明确每一段对应的函数关系式，注意自变量的取值范围。 知识点 3：方案选择问题 利用一次函数进行方案优化的一般步骤： 分析题意，分别建立不同方案的函数解析式； 通过解方程或不等式，找到方案费用相等的临界点； 分情况讨论，根据自变量的不同取值范围，确定___最优___方案。 这类问题体现了分类讨论与优化决策的数学思想，是数学应用于生活的典型体现。 本章核心数学思想 数形结合思想：本章核心思想，通过解析式（数）与图象（形）的相互转化，多角度分析函数性质与问题，直观又严谨。 数学建模思想：将实际生活中的变量关系抽象为一次函数模型，用数学方法解决真实问题。 分类讨论思想：研究函数性质、解不等式、方案选择时，根据k的正负、临界点等进行分类讨论。 方程思想：通过已知点的坐标列方程（组）求解未知系数，实现几何条件向代数运算的转化。 本章易错点提醒 概念判断错误：忽略一次函数中 “k≠0” 的条件，误将k=0的常函数判定为一次函数。 象限记忆混淆：记错k,b符号与象限的对应关系，尤其是b的正负决定直线与y轴交点的位置。 平移规律用错：左右平移时易错用在常数项上，牢记 “左加右减自变量，上加下减常数项”。 实际问题忽略范围：求解应用问题时，忽略自变量的实际意义（如时间、数量非负），导致取值范围错误。 交点意义理解不清：两直线交点的横坐标和纵坐标分别对应方程组中x,y的解，不可混淆横纵坐标的意义。 分段函数分段点处理不当：忽略分段点的归属，或代入解析式时用错区间对应的表达式。 知识点练习 一、 选择题 1.一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A、 一次函数 经过一、二、三象限， 正比例函数 经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； B、 一次函数 经过一、三、四象限， 正比例函数 经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； C、 一次函数 经过一、三、四象限， 正比例函数 经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； D、 一次函数 经过一、二、四象限， 正比例函数 经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意. 2.已知一次函数，则下列选项正确的是（        ） A.函数图象经过 B.随的增大而减少 C.直线平行于直线 D.函数图象在第一、三、四象限 【答案】 C 【解析】 本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可. 【解答】 解：选项A，将代入，得，函数图象不经过点，A错误. 选项B，一次函数中，，随的增大而增大，B错误. 选项C，直线与直线的值相等，截距不相等，两直线平行，C正确. 选项D，，，函数图象经过第一，二，三象限，D错误. 3.在平面直角坐标系中，将直线向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线，则直线经过的点可以是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据一次函数的平移方式求出两种平移方式下平移后的函数解析式，则可求出 ，得到直线 ，再分别验证选项中的点即可. 【解答】 解：将直线 向右平移6个单位，得到的函数解析式为 将直线 向下平移4个单位，得到的函数解析式为 直线 向右平移6个单位或向下平移4个单位可得到同一条直线， 解得 直线 当 时， ，则点 在直线 上， 当 时， ，则点 不在直线 上， 当 时， ，则点 不在直线 上， 当 时， ，则点 不在直线 上， 只有A选项符合题意； 4.对于一次函数y＝﹣2x+4，当﹣2≤x≤4时，函数y的取值范围是（ ） A.﹣4≤y≤16 B.4≤y≤8 C.﹣8≤y≤4 D.﹣4≤y≤8 【答案】 D 【解析】 根据一次函数的性质进行计算可以求得y的取值范围. 【解答】 解：把x = -2代入一次函数y = -2x+4 = 8， 把x = 4代入一次函数y = -2x+4 = -4， ∴ 函数值y的取值范围是 -4≤y≤8， 故选：D.  5.在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（        ） A.随的增大而减小 B.方程组的解为 C. D.当时， 【答案】 D 【解析】 根据一次函数的性质判断A；根据两直线交点坐标与二元一次方程组的关系判断B；根据与y轴交点的位置判断C；根据与x轴交点坐标及两直线交点坐标结合图象判断D. 【解答】 解：A选项，中， 随x的增大而减小，故选项A正确， 不符合题意； B选项，点在上， ，解得m=2，故两直线的交点坐标为， 方程组的解为，故选项B正确， 不符合题意； C选项，在直线中，令x=0，则y=b， 直线与y轴的交点为， 由图象可知，直线与y轴的交点在点的上方， ，故选项C正确， 不符合题意； D选项，对于，当时，，解得x=-4， 直线与x轴的交点为， 由图象可知，当时，，故选项D错误， 符合题意. 6.正比例函数的图象经过的象限是（ ） A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第三、四象限 D.第一、二象限 【答案】 B 【解析】 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．根据正比函数的性质求解即可． 【解答】 因为 ， 所以正比例函数 的图象经过第二、四象限． 故选：B． 7.某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（        ） A.元 B.元 C.元 D.元 【答案】 B 【解析】 先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费. 【解答】 解：设购买甲种图书x本，则购买乙种图书（40-x）本，总花费为w元， ∵ 购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的2倍， ∴ x≥2(40-x), 解得：3x≥80， ∴ x≥≈26.67， ∴ x为正整数， ∴ x的最小取值为27， 甲种图书单价为40×0.8=32元，乙种图书单价为32-5=27元， ∴ 总花费w=32x+27(40-x)=5x+1080， ∵ 5>0， ∴ w随x的增大而增大， ∴ 当x取最小值27时，w取得最小值，w=5×27+1080=1215元， ∴ 本次购买40本图书最少花费为1215元. 8.如图所示，将含角的直角三角板放置在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合．已知点A的坐标为，则直线的函数表达式为（        ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 过A作AC y轴于C，过B作BD y轴于D，先证明 （AAS），得到AC=OD，OC=BD，再求出B的坐标，将A，B两点的坐标代入直线解析式，解出即可. 【解答】 解：过A作AC y轴于C，过B作BD y轴于D，如图所示 三角板为含45°角的直角三角板， ，且 在 和 中， 在第四象限， 设直线AB解析式为 代入A(3，1)、B(1，-3)得 解得 直线AB的解析式为 9.如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（     ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A.13 B.14 C.15 D.16 【答案】 C 【解析】 当x=0时，y2=150，求出点B的坐标，进而求出y1=kx的解析式，联立y2=-4x+150与y1=kx，求出点P的坐标即可得到答案. 【解答】 解：当x=0时，y2=150， 点B的坐标为(0,150), 由题意知点A的坐标为(25,150), 设y1=kx(k≠0), 将(25,150)代入y1=kx得150=25k， ， , 线段OA对应的函数表达式为：y1=6x， 由题意可知 ，则6x=-4x+150， 解得：x=15， ， 点P的坐标为(15,90), 则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为90m. 10.已知直线与直线都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线 直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（       ） ①方程组的解为； ②； ③； ④当的值最小时，点的坐标为． A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 D 【解析】 本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意． 【解答】 解：直线与直线都经过点， 方程组的解为；故符合题意； 把，点代入得， ， 直线， 直线直线且经过原点， 直线的解析式为， 把代入得，， ， 直线， 解；得， ， 在中，令，则， 解得， ， ，故符合题意； ，， ， ，故符合题意； 直线交轴于点， ， 作点作轴的对称点，连接交轴于，则， 当共线时，的值最小， 设直线的解析式为， ， ， ， 直线的解析式为， 当时，， ，符合题意； 故选：． 二、 填空题 11.当____-1____时，函数（是常数）是正比例函数． 【答案】 -1 【解析】 根据正比例函数是y=kx（k为常数，k≠0），即常数项为零且一次项系数不为零，解答即可. 【解答】 解：函数y=(3-m)x+m²-2m-3是正比例函数， 解得：m=-1. 12.如果一次函数的图象无论取何值时都经过一个定点，那么这个定点的坐标是________． 【答案】 【解析】 将原一次函数解析式整理，分离出参数a，由定点坐标与a的取值无关，令a的系数为0求出x，再代入解析式求出y，即可得到定点坐标. 【解答】 解： 无论a取何值，函数图象都经过定点，即与a无关， 令a的系数为0，得 解得 将x=代入变形后的解析式，得 这个定点的坐标为 .  13.已知一次函数，当时，，则的值是________________． 【答案】 【解析】 本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，当时，随增大而增大，则当时，，当时，，当时，随增大而减小，则当时，，当时，，据此利用待定系数法求解即可． 【解答】 解：当时，随增大而增大， 当时，， 当时，，当时，， ， 解得； 当时，随增大而减小， 当时，， 当时，，当时，， ， 解得； 综上所述，的值是， 故答案为：． 14.已知直线，将直线向上平移个单位后得到． 若的解析式为，则________2_________； 若点在的异侧，则取值范围是_________________． 【答案】 , 【解析】 本题综合考查了一次函数图象的平移规律以及点与直线位置关系的应用．第一问直接运用平移的“上加下减”原则，较为基础；第二问将函数与点的位置关系转化为不等式求解，熟练掌握以上解题技巧是解题的关键． 对于一次函数，为常数，的图象平移，遵循“上加下减”原则，即图象向上平移个单位时，函数解析式变为；向下平移个单位时，函数解析式变为，已知直线向上平移个单位后得到，可根据平移规律求解的值． 若两点在直线（、不同时为 ）的异侧，则．先将化为一般式，再把点，代入并根据异侧条件列不等式求解的取值范围． 【解答】 解：直线向上平移个单位后，根据“上加下减”原则，其解析式变为， 的解析式为， 可得方程． 方程两边可消去，得到，移项可得； 故答案为：； 把移项化为一般式为． 点，在的异侧， ，即． 令，则． 对于二次函数，二次项系数大于，图象开口向上，不等式的解集为． 故答案为：． 15.如图（1），在中，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间之间的函数关系图象如图（2）所示（点为曲线部分的最低点），则的值为___4_____． 【答案】 4 【解析】 此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键。根据图象和图形的对应关系即可求出 CD=3的长，从而求出 AD = CD = 3, CA = 2CD = 6，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出 CP AB时 AP = ，根据勾股定理即可求出PC，即可解答. 【解答】 解： 动点P从点D出发，线段CP的长度为y，运动时间为x的，根据图象可知，当 x=0时， y=3 点D为AC边中点， 由图象可知，当运动时间 时，y最小，即CP最小， 根据垂线段最短，此时 CP AB， 如图所示，此时点P运动的路程 在Rt 中， 即 . 故答案为：4 16.如图，在平面直角坐标系中，点，，都在轴上，点，，都在同一条直线上，，，，，都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 本题考查了一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，由等腰直角三角形的性质和勾股定理可得点的纵坐标为，再求出直线的解析式，可得点的横坐标为，即得点的坐标是，进而即可求解，找到点的坐标规律是解题的关键. 【解答】 解：是等腰直角三角形，且， ， 点的纵坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点的纵坐标为， 同理可得点的纵坐标为， ， 点的纵坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得， ，解得， 直线的解析式为， 点在直线上， 点的横坐标为， 点的坐标是， 点的坐标是， 故答案为：． 三、 解答题   17.已知与成正比例，当时，，求： （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求的值． 【答案】 【解析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）将 代入（1）所得的解析式求 即可解答. 【解答】 （1）解：设 关于 的函数表达式 当 ， 时，得 ， 解得： ，即 与 的函数解析式为 （2）解：当 时， ，解得： 18.已知与成正比例，且当时，． （1）求关于的函数解析式； （2）若，是这个函数图象上的两点，请比较与的大小． 【答案】 【解析】 （1）用待定系数法即可得； （2）由一次函数的性质可得答案. 【解答】 （1）解：与成正比例， 设函数解析式为， 当时，， ， 解得， 函数的解析式是； （2）解：， 随的增大而减小， 又, 是这个函数图象上的两点，且， . 19.已知一次函数， （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m，n为何值时，函数图像与y轴交点在x轴的上方？ 【答案】 且 【解析】 （1）根据一次函数的增减性可得一次项系数小于0，据此建立不等式求解即可； （2）求出函数图像与y轴交点的坐标，根据交点在x轴的上方得到交点的纵坐标大于0，据此建立不等式求出n的取值范围，再根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，则可求出m的取值范围。 【解答】 （1）解：在 中，y随x的增大而减小， ， ； （2）解：在 中，当x=0时， ， 一次函数 与y轴交点的坐标为 ， 一次函数 与y轴交点在x轴的上方， ， ； 又， ； 当m≠-3且n>8时，函数图像与y轴交点在x轴的上方. 20.已知直线和直线的图象如图所示，其中直线经过，两点， （1）求直线的函数解析式； （2）已知直线和直线相交于点C，求的面积． 【答案】 6 【解析】 （1）利用待定系数法即可求出结果； （2）联立 和 ，求出点C的坐标，再利用三角形面积公式即可求出结果. 【解答】 （1）解：设直线 函数解析式为： ， 把 ， 两点代入得 ， 解得 直线 的函数解析式为： . （2）解：联立 和 ， 解得 点C的坐标为 ， 21.某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示： 机器人型号 每台机器人分拣包裹数量（件小时） 采购价格（万元台） A 15000 8 B 12000 6 该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件． （1）设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式； （2）在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？ 【答案】 （ 且x为整数）； 购买12台A型机器人总采购费用最少，最少费用为144万元 【解析】 （1）根据总采购费用的数量关系即可推导函数解析式，再根据分拣总量的要求确定自变量的取值范围； （2）利用一次函数的增减性求解最小采购费用. 【解答】 （1）解：由题意可知，购买A型机器人x台，则购买B型机器人（ ）台， 总采购费用 ，即 ， 每小时分拣包裹总量不少于276000件， 解得 ， 又 机器人台数是整数，且 ， 且x为整数， 关于x的函数解析式为 （ 且x为整数）； （2）解：由 可知，一次项系数 ， 随x的增大而增大， 当x取最小值时，y取得最小值， 的最小值为12， 将 代入函数解析式得： （万元）， 答：购买12台A型机器人能使总采购费用最少，最少费用是144万元.  22.如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】 6 【解析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解; （2）先求出A，C，D三点的坐标，再由 求面积; （3）结合图象，利用一次函数与不等式的关系求解. 【解答】 （1）对于直线 当 时， 解得 故 ; 当 时， 即 故 ; 将点 代入 可得 解得 $k=\frac{1}{2}， \therefore m=2,k=\frac{1}{2}.$ （2）由（1）知， 直线 的函数表达式为 由 解得 故 ， （3）直线 与直线 的交点为 当 时直线 的图象在 的上方， 当 时 即 不等式 的解集 . 学科网（北京）股份有限公司 $