精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市实验中学2025-2026学年第二学期期末初二年级数学学业水平质量检测

2025-2026学年第二学期期末初二年级数学学业水平质量检测 满分100分 限时90分钟 注意事顶： 考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡、 本卷满分100分． 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 如图，、是平行四边形对角线上的两点，连接、、、．下列四个条件中不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 6. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 7. 在菱形中，，点分别在边上，且，连接是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 关于一次函数，下列说法正确的有（ ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数绘制成的箱线图如图所示，则这6位同学投篮进球数的第三四分位数为______次． 10. 4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 11. 如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 12. 如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）计算：； （2）计算：． 14. 为增强青少年的身体素质，某校开展了足球、篮球、羽毛球等丰富多彩的活动．该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，图①中的值为__________；统计的这组学生年龄数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生年龄数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校参加活动的学生共有400名，估计其中年龄为12岁的学生人数约为多少？ 15. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时．四边形是矩形吗？如果不是，请说明理由；如果是，请证明． 16. 根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． （1）任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； （2）任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； （3）任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 17. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 18. 根据题意解答下列问题： （1）【探索发现】 如图①．正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，四边形为这两个正方形的重叠部分，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点O怎样转动，、、之间一直存在某种数量关系． ①请你猜想、、之间的数量关系是_______． ②请用几何知识证明你的猜想． （2）【类比迁移】如图②，O是矩形对角线的交点，且O是矩形的一个顶点．与边相交于点与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，矩形可绕点O转动，根据题意将图补全，再判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． （3）【结论应用】如图③，在直角梯形中，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线相交于点，矩形可绕点转动．已知，当时，线段的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末初二年级数学学业水平质量检测 满分100分 限时90分钟 注意事顶： 考生务必将自己姓名、准考证号填涂在答题卡的规定位置． 请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上答题一律无效．考试结束后，交回答题卡、 本卷满分100分． 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题中，只有一个选项符合题目要求） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数． 【详解】解：选项A中根指数为2，被开方数，符合二次根式定义， 选项B中根指数为3，是三次根式，不符合定义， 选项C中被开方数，无意义，不符合定义， 选项D中是多项式，不含二次根号，不符合定义． 2. 故宫太和殿金砖墁地修缮工程中，为符合《明清官式营造技艺》标准，需验证替换金砖切割构件的截面为直角三角形，下列哪组边长（单位：米）符合要求（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形，据此逐项判断即可. 【详解】解：根据三角形三边的关系及勾股定理的逆定理，逐一判断： 选项A，最长边为，，， 不能组成三角形，不符合要求； 选项B，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项C，最长边为，，，， 不是直角三角形，不符合要求； 选项D，最长边为，，，，是直角三角形，符合要求. 3. 若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2）， 可得方程180°（n﹣2）=1080°， 解得：n=8． 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题的关键是根据题意列出一元一次方程． 4. 如图，、是平行四边形对角线上的两点，连接、、、．下列四个条件中不能使四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点O，根据平行四边形的判定和性质及全等三角形的判定和性质依次对选项证明判断即可． 【详解】解：连接，交于点O， A、∵平行四边形， ∴， ∵， ∴即， ∴四边形为平行四边形，故选项不符合题意； B、∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故选项不符合题意； C、无法证明四边形为平行四边形，故选项符合题意； D、∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同选项B得四边形为平行四边形，故选项不符合题意． 5. 太原某农科站，从1号、2号、3号、4号四个晋祠大米试验品种中随机抽取10块试验田，统计了每块田的亩产量（单位：），其平均数及方差如下表所示： 品种 1号 2号 3号 4号 平均数 520 520 660 660 方差 2.1 1.9 1.9 2.1 打算选取一种产量既高产又稳定的品种在晋祠灌区推广种植，应选取的品种是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据平均数和方差的意义解题，高产要求平均亩产量更大，稳定要求方差更小，依次对比四个品种的对应数据即可得到结论． 【详解】解：∵要选取产量既高产又稳定的品种，高产需要平均亩产量更大，稳定需要方差更小，方差越小产量波动越小，越稳定， 又∵由表格得，号、号的平均亩产量为，大于号、号的， ∴号、号产量更高， ∵号的方差为，小于号的方差， ∴号产量更稳定，因此应选取号． 6. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可 【详解】解：由图象可知，小英在内行走了， 小英的速度为， ∵小杰在内行走了， 小杰的速度为， 小英途中停留了， 小英再次出发的时刻为第，此时路程为， 设小英追上小杰的时刻为出发后， 根据题意得：， 解得， 两人从起点出发， 小英追上小杰的时刻是． 7. 在菱形中，，点分别在边上，且，连接是的中点，连接交对角线于点H，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，连接，由菱形的性质得到，，可得是的中位线，得到，，从而证得，得出四边形是平行四边形，进而推出，再说明，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵G是的中点， ∴是的中位线． ∴，． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∵在菱形中，，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． 8. 关于一次函数，下列说法正确的有（ ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 将函数整理为，令，得，即函数恒过定点，的横纵坐标都为负，在第三象限，因此函数一定过第三象限，说法正确，故④符合题意； 综上，正确的说法共3个． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 如图，在“魅力篮球节”活动中，6位同学各投篮10次，进球数绘制成的箱线图如图所示，则这6位同学投篮进球数的第三四分位数为______次． 【答案】9 【解析】 【详解】解：根据箱线图可得：矩形盒子右边框表示第三四分位数， ∴这6位同学投篮进球数的第三四分位数为次． 10. 4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米． 【答案】 16 【解析】 【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果． 【详解】解：设树折断部分的长度为米． 由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形， 其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米． 根据勾股定理，得． 所以树折断之前的高度为米． 11. 如图，四边形是矩形，、．则B点坐标为_____．将沿直线折叠，如图所示，此时点A落在点D处，与交于点E，直线的解析式为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据矩形的性质和点A，C的坐标即可得到B点坐标；由折叠和平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，然后利用待定系数法求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，、 ∴，，， ∴B点坐标为； ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为． 12. 如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，作交的延长线于，由题意可证四边形为平行四边形，则，则，当且仅当三点共线时，最小即的长，用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作交延长线于，连接，作交的延长线于， ∵四边形为矩形，四边形为正方形，点，在直线上， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当且仅当三点共线时，最小即的长， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本题共6小题，共64分） 13. 计算： （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解∶ 14. 为增强青少年的身体素质，某校开展了足球、篮球、羽毛球等丰富多彩的活动．该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为__________，图①中的值为__________；统计的这组学生年龄数据的众数和中位数分别为__________和__________； （2）求统计的这组学生年龄数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校参加活动的学生共有400名，估计其中年龄为12岁的学生人数约为多少？ 【答案】（1）40，15，15，14 （2）14 （3）50人 【解析】 【分析】（1）根据统计图及中位数与众数的定义可进行求解； （2）根据统计图及平均数的定义可进行求解； （3）根据题意可直接列式进行求解． 【小问1详解】 解：由统计图可知：参加活动年龄为12岁的有5人，所占百分比为， ∴，， 根据众数的定义可知：该组数据的众数为15； 根据中位数的定义可知：该组数据的中位数为第20和第21个数据之和的平均数，即为； 【小问2详解】 解：， 这组数据的平均数是14． 【小问3详解】 解：在样本中，年龄为12岁的学生人数学生占， （人）． 答：估计该校在参加活动的学生400名中，其中年龄为12岁的学生人数约为50人． 15. 如图，在平行四边形中，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时．四边形是矩形吗？如果不是，请说明理由；如果是，请证明． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 点是线段的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是矩形，证明如下： 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形且， 四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，然后可证，得到，结合即可证明； （2）根据题意证明，即可得到四边形是矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． （1）任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； （2）任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； （3）任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； （2）24 （3）1.2千米 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； 【小问3详解】 解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 17. 某快递公司因业务拓展，需要招聘快递员，提供了如下两种日工资方案： 方案一：每日底薪50元，每完成一单业务再提成3元； 方案二：每日底薪80元，前30单无提成，超过30单的部分，每完成一单提成5元． 设快递员每日完成的业务量为n单（n为正整数），方案一、二中日工资分别为（单位：元）． （1）分别写出关于n的函数解析式； （2）据统计，若某快递员平均每天的业务量约为50单，仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？说明理由； （3）设某快递员平均每日完成的业务量为n单，从日工资收入的角度考虑，他应该选择哪种日工资方案？试画出日工资收入函数大致图象并直接写出你的选择方案． 【答案】（1）y2 （2） 解：他应该选择方案一．理由如下： 当时，，， ∵， ∴仅从日工资收入的角度考虑，他应该选择方案一． （3）当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）分别根据两个具体方案解答即可； （2）当时，分别计算，的值并比较大小即可； （3）先计算两函数图象的交点坐标，再根据函数关系式画出对应的函数图象，再图象比较，的大小即可． 【小问1详解】 解：（1）， 当时，， 当时， ∴关于n的函数解析式（n为正整数）， 关于n的函数解析式y2． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，解得， 当， 解得， ∴两函数图象的交点坐标为，， 则两函数的图象如图所示： 根据图象，当或时，， 当或时，， 当时，， ∴当或时，他应该选择方案二；当或时，两个方案的日工资相同，任选其一即可；当时，他应该选择方案一． 18. 根据题意解答下列问题： （1）【探索发现】 如图①．正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点，四边形为这两个正方形的重叠部分，连接．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点O怎样转动，、、之间一直存在某种数量关系． ①请你猜想、、之间的数量关系是_______． ②请用几何知识证明你的猜想． （2）【类比迁移】如图②，O是矩形对角线的交点，且O是矩形的一个顶点．与边相交于点与边相交于点F，连接，延长交于点P，连接，矩形可绕点O转动，根据题意将图补全，再判断线段、、之间的数量关系，并写出证明过程． （3）【结论应用】如图③，在直角梯形中，，点E为梯形对角线的中点，四边形为矩形，的两边分别与直线相交于点，矩形可绕点转动．已知，当时，线段的长为______． 【答案】（1）①； ②证明：∵四边形和四边形均为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； （2）补全图形如图所示，； 证明：∵四边形、四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，， ∴； （3）5或20 【解析】 【分析】（1）①根据题意直接进行猜想即可；②先证明，可得，推出，再运用勾股定理即可证得结论； （2）先根据题意画出图形，由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中由勾股定理及等量代换可进行求解； （3）由题意可分当点N在线段上，连接，过点C作，当点N在线段的延长线上时，过点C作交的延长线于点Q，连接，则，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可分： 当点N在线段上，连接，过点C作，如图所示： ∵， ∴，， 在直角梯形中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E为梯形对角线的中点，且四边形是矩形， ∴由（2）可知：， ∴， 解得：； 当点N在线段的延长线上时，过点C作交的延长线于点Q，连接，则， ∴， ∴， ∵点E为梯形对角线的中点， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，，即， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $