精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024−2025学年度第二学期期末八年级学业质量监测 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；因此此题根据二次根式的定义“形如”可进行求解． 【详解】解：A：被开方数为负数，在实数范围内无意义，不是二次根式； B：根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的定义； C：根指数为2，且被开方数恒大于0（无论取何值），满足二次根式的条件； D：根指数为2，但被开方数需满足才有意义，由于题目未限定的范围，无法保证其恒为非负数，因此不能直接判定为二次根式； 故选：C． 2. 已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理逆定理的计算是解题的关键．根据勾股定理逆定理的计算判定即可． 【详解】解：∵， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 3. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，且，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 首先证明，再证出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，①根据电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小判断即可；②根据矩形的面积公式判断即可；③根据蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小判断即可． 【详解】解：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量y随使用时间x的增加而减小，符合题意； ②用长度一定的绳子围成一个矩形，周长一定时，矩形面积是长x的二次函数，不符合题意； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度y与随燃烧时间x的增加而减小，符合题意； 故选：C． 5. 某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩．小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则小鱼同学期末评优的最终得分是（ ） A. 9.1 B. 9.2 C. 9.3 D. 9.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数公式（若个数的权数分别是，那么 ）是解题的关键．先明确各维度的权重，再获取每个维度的得分，最后根据加权平均数公式计算最终得分． 【详解】解：由图可知德、智、体、美、劳的得分分别为、、、、，权重分别为、、、、． 总权重为． 根据加权平均数公式，最终得分 故选：D ． 6. 已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（ ） … 0 1 3 … … 1 5 13 … A. 该函数的图像经过第一、三、四象限 B. 函数值随值的增大而减小 C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据表格信息结合一次函数的图像和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，的值随值的增大而增大，故选项B错误； ∴， 当时，， ∴该函数的图像经过第一、二、三象限，故选项A错误； 当时，，故关于的方程的解不是，故选项C错误； ∵的值随值的增大而增大，且当时，， ∴不等式的解集为；故选项D正确； 故选：D． 7. 如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，，证明、、在同一直线上，得出，设，则，由勾股定理可得，证明，即可得解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ， 由折叠的性质可得：，， ， ∴、、在同一直线上， ， 设，则， 由勾股定理可得，即， 解得：，即， ， ， ， ， ， 则的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是_____，平均数是_____． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查了样本容量和平均数，通过方差公式的结构直接得出样本容量和平均数，需明确样本容量是数据的个数，平均数则是方差计算中统一减去的数值． 【详解】解：方差公式中的求和项：共有4个数据项， 分别为，每个数据点对应一个样本， 样本容量为4， 方差公式中每个数据点均减去同一个数（即平均数）， 根据公式，每个数据点被减去的数为6， 平均数． 故答案为：4，6． 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 【答案】西北方向 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答． 根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可． 【详解】解：由题知，海里，海里，海里，， ， ， 是直角三角形，且， ， “海天”号沿西北方向航行． 故答案为：西北方向 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点，点的横坐标是，则点的坐标是______．点是直线上一动点．当最短时，的面积是______． 【答案】 ①. ②. 4 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、一次函数图象和坐标轴交点问题等知识，数形结合是关键．求出，利用待定系数法求出直线，当时，即可求出的坐标；进一步利用勾股定理和等积法求出的面积即可． 【详解】解：把代入得到，， ∴ 把，代入得到， ， 解得 ∴直线， 当时，， ∴点的坐标是， 在中，， ∴ 当最短，即时， 则 即， ∴， ∴的面积是 故答案为：，4 12. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 逐一分析判断，即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴， 故①正确． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故②正确． ∵，点是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形．故③正确． 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算．因式分解以及代数式求值． （1）先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算． （2）先计算二次根式的乘法，再进行二次根式的加减运算． （3）先对式子进行因式分解，再代入数值计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 当，时， 原式 14. 为切实提升学生体质健康水平，某校开展学生体育综合素质测评工作．学校从七、八年级学生群体中，采用随机抽样的方式，各抽取80名学生的测评成绩（成绩以百分制计分），随后对抽样数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）如图所示： b．七年级80名学生测评成绩在这一组的是71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79． c．七、八年级80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 74.3 m 81 八年级 75 79 78 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中m的值是___________，并补全频数分布直方图． （2）八年级小乐同学的测评成绩是77分，他的成绩高于本年级测评成绩的平均水平，所以他认为自己的成绩高于本年级一半以上学生的成绩．请判断他的说法是否正确，并说明理由． （3）若该校七年级共有560名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估计该校七年级学生测评成绩的合格人数． 【答案】（1）77，图见解析 （2）不正确，理由见解析 （3）462人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数，样本估计总体； （1）根据中位数的定义，结合已知数据，即可求出m，根据第三组的频数补全频数直方图；（2）根据中位数的意义，即可求解． （3）根据样本估计总体，用七年级测试的成绩分60以上的占比乘以560，即可求解． 【小问1详解】 解：七年级这一组的频数为， 将七年级这80名学生的成绩从小到大排列处40位和41位两个数的平均数为， 即中位数， 补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解∶ 小乐的说法不正确， 因为抽取的八年级学生测评成绩的样本中位数为79分，可以估计，在这次体育综合素质测评工作中，八年级大约有一半学生的测评成绩高于79分，一半学生的测评成绩低于79分． 小乐的测评成绩为77分，低于中位数79分，可以推测他的成绩低于本年级一半以上学生的成绩，因此他的说法不正确． 【小问3详解】 解： （人）， 答：据估计该校七年级学生测评成绩的合格人数约为462人． 15. 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． （1）直接写出与的数量关系； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和，等角对等边，含角的直角三角形的性质，勾股定理． （1）由题意可得，根据等角对等边即可得出答案； （2）由（1）知，米，，在中，根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意及图，得 ∴，， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，米， ∴， 在中， （米） 答：旗杆的高度为米． 16. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，由得，即得，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）利用矩形和勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 17. “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 【答案】（1）（2），甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设与的函数表达式为，代入即可求解； （2）设乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐，用含的式子表示利润，根据一次函数的性质分析其最大值即可． 【详解】解：（1）依题意，设与的函数表达式为， 把代入解析式， 得， ∴与的函数表达式为； （2）依题意，乙品牌酸奶的进货量罐，则甲品牌酸奶的进货量罐， ∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐， ∴， 由（1）得， 则， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴当时，最大，最大值为元， （罐）， 即甲品牌酸奶的进货量为罐，乙品牌酸奶的进货量为罐时，获得的利润最大． 18. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 【问题发现】 （1）①线段之间的数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 【答案】（1）①②（2），证明见解析（3）或 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）①根据题型先证明，进而即可得出线段之间的数量关系； ②根据，得出，进而根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，结合勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）①证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 连接，如图2： ∵矩形中心， ∴， 延长交于， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）设， ①当在线段上时，如图3， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又由（2）易知， ∴， ∴， 解得，即， ； ②当点在延长线上时， 同理可证， ∴， 又在中， ， ∴， 解得，即， ； 故的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度第二学期期末八年级学业质量监测 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子是二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知某三角形的三条边长依次为，则该三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点，且，则的长是（ ） A. 5 B. C. 10 D. 15 4. 下面的三个问题中都有两个变量： ①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间； ②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长； ③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间． 其中，变量与变量之间函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 5. 某校在学生期末评优工作中，全面贯彻“五育并举”理念，以德智体美劳全面发展为核心标准，依据的权重配比，对学生德、智、体、美、劳五个维度进行量化评分，综合评定学生的最终成绩．小鱼同学本学期这五方面的得分情况如图所示，则小鱼同学期末评优的最终得分是（ ） A. 9.1 B. 9.2 C. 9.3 D. 9.4 6. 已知一次函数，其中与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（ ） … 0 1 3 … … 1 5 13 … A. 该函数的图像经过第一、三、四象限 B. 函数值随值的增大而减小 C. 关于的方程的解是 D. 关于的不等式的解集为 7. 如图，在矩形纸片中，，点是边上一点，先将沿折叠，使得点落在点处，与交于点；再折叠矩形纸片，使得点与点重合，点落在点处，折痕为，则的面积是（ ） A. 10 B. 8 C. 12 D. 8. 如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程） 9. 小宇在计算某组样本的方差时，列式为：，则该组样本的样本容量是_____，平均数是_____． 10. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿______方向航行． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点，点的横坐标是，则点的坐标是______．点是直线上一动点．当最短时，的面积是______． 12. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，，于点，于点，且，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③当点是的中点，且时，四边形是矩形．其中正确的是______． 三、解答题（本大题共6小题，共64分．解答题应写出文字说明、计算过程或演算步骤） 13. 计算： （1）； （2）； （3）已知，，求的值． 14. 为切实提升学生体质健康水平，某校开展学生体育综合素质测评工作．学校从七、八年级学生群体中，采用随机抽样的方式，各抽取80名学生的测评成绩（成绩以百分制计分），随后对抽样数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．七年级80名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）如图所示： b．七年级80名学生测评成绩在这一组的是71，72，72，73，74，74，75，76，76，77，77，77，77，78，78，79，79，79． c．七、八年级80名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 74.3 m 81 八年级 75 79 78 根据以上信息，回答下列问题． （1）表中m的值是___________，并补全频数分布直方图． （2）八年级小乐同学的测评成绩是77分，他的成绩高于本年级测评成绩的平均水平，所以他认为自己的成绩高于本年级一半以上学生的成绩．请判断他的说法是否正确，并说明理由． （3）若该校七年级共有560名学生，测试的成绩60分及以上为合格，请你估计该校七年级学生测评成绩的合格人数． 15. 在人教版八年级下册数学教材“测量学校旗杆高度”的数学活动里，聪聪设计了一种新颖的测量方法．从点C观察旗杆顶端的仰角为，接着往前走10米到达点D，观察旗杆顶端的仰角为． （1）直接写出与的数量关系； （2）根据聪聪的方法请你求出旗杆的高度．（人的身高忽略不计，结果保留根号） 16. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 17. “中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题． 内容 材料一 某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货总金额（单位：元）与进货量（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐． 材料二 某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低于150罐，且不高于400罐． 任务一 （1）根据图像求出与的函数关系式． 任务二 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利润为元，求出（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量（单位：罐）之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案． 18. 【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，四边形为两个正方形的重叠部分，正方形可绕点转动． 问题发现】 （1）①线段之间数量关系是_______________； ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是____________． 【拓展应用】 （2）如图2，若矩形的一个顶点是矩形对角线的中点，与边相交于点，延长交于点，与边相交于点，连接．矩形可绕点转动，猜想之间的数量关系，并进行证明． 【类比迁移】 （3）如图3，在中，，点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点．可绕点转动，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $