2.2《基本不等式经典题型》分类训练-2026-2027学年高一上学期数学人教版必修第一册

**基本信息** 以四大题型构建基本不等式完整训练体系，从概念辨析到综合应用，层层递进培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|12题|作差比较法、几何直观法|从不等式性质到基本不等式证明，夯实数学抽象基础| |最值求解|13题|直接应用法、配凑法|掌握"一正二定三相等"条件，发展运算推理能力| |"1"的代换|13题|常数代换法、消元法|强化构造思想，提升数学模型构建能力| |恒成立问题|12题|参数分离法、最值转化法|综合应用不等式与函数，培养逻辑推理与问题解决能力|

《基本不等式经典题型》分类训练 （四大题型，共50小题） 题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确 1．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　　） A． B． C． D． 2．已知a＞0，b＞0，则（　　） A．a+b≥2 B． C．a2+b2＞2ab D． 3．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是（　　） A．2ab B． C．a2+b2 D．a+b 4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　） A． B． C． D． 5．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为（　　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 6．（多选）已知a＞0，b＞0，则下列不等式错误的是（　　） A．a2+b2＞2ab B． C． D． 7．（多选）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　　） A．ab≥1 B．a2+b2≥2 C． D． 8．（多选）已知a＞0，b＞0，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（　　） A． B． C． D． 9．设a，b∈R，则a2+b2+2≥2a+2b中等号成立的充要条件是 　 　 ． 10．a＞0，b＞0，且a，b互不相等，，，；则它们大小关系是　 　 ．（用”＜”号连接． 11．已知a，b∈R+，p，q，则p与q的大小关系是　 　 ． 12．（1）已知a＞b＞2，m＞0，求证：． （2）已知a＞0，b＞0，ab＝4，求证：． 题型二：运用基本不等式求最值 13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值为（　　） A．3 B． C． D．2 14．已知a≥0，则的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 15．已知m＞n＞0，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 16．已知a＞0，b＞0，若a+b＝2，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 17．已知正数a，b满足a+3b＝2，则的最小值为（　　） A． B．9 C． D． 18．（多选）若a，b为正实数，a+b＝2，则（　　） A．ab的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为9 D．a2+2b2的最小值为 19．（多选）已知a＞0，b＞0，且a+4b＝2，则下列正确的有（　　） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 20．（多选）已知a，b为正实数，ab+a+2b＝14，则下列说法正确的是（　　） A．a+b＜21 B．的最小值为﹣1 C．a+4b的最小值为12 D．的最小值为 21．已知0＜a＜2，则的最小值是　 　 ． 22．已知x，y均为非负数，且x+2y＝1，则的最小值为　 　 ． 23．（1）已知x＞3，求的最小值； （2）求的最大值． 24．（1）若x＞0，y＞0，求证：； （2）若x＞0，y＞0，且x+8y＝2xy，求x+y的最小值． 25．解答下列各题． （1）若x＞3，求的最小值． （2）若正数x，y满足9x+y＝xy， ①求xy的最小值． ②求2x+3y的最小值． · 题型三：运用“1”的代换构造基本不等式 26．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D． 27．已知正数a，b满足，则a+4b的最小值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 28．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 29．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　） A．9 B．6 C．4 D．3 30．（多选）设正实数x，y满足2x+y＝1，则（　　） A．xy的最大值是 B．的最小值为9 C．4x2+y2的最小值为 D．的最大值为2 31．（多选）设正实数a，b满足a+b＝1，则（　　） A．有最小值4 B．ab有最大值 C．有最小值 D． 32．（多选）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则下列说法中正确的是（　　） A．xy有最大值为 B．有最小值为9 C．x2+2y2有最小值为 D．有最小值为3 33．（多选）已知实数x，y满足x＞2y＞0，且x+y＝1，则的值可以为（　　） A． B．8 C． D．10 34．若m＞0，n＞0，且2m+n﹣1＝0，则的最小值为　 　 ． 35．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值等于　 　 ． 36．若正数a，b满足4a+b＝9，则的最小值为 　 　 ． 37．已知正数x，y满足2xy3+y2＝4x2，则的最小值为　 　 ． 38．求下列函数的最值． （1）已知x＞2，求的最小值； （2）已知：x＞0，y＞0，且2x+y＝1，求的最小值． 题型四：基本不等式中的恒成立问题 39．正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 40．已知x＞0，y＞0，，若不等式x+3y＞m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜﹣3或x＞4} 41．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝3，若不等式x+y≥m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A．﹣2≤m≤1 B．﹣1≤m≤2 C．m≤﹣2或m≥1 D．m≤﹣1或m≥2 42．正数a，b满足，，若不等式a+b≥﹣x2+6x+10﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．[10，+∞） B．[﹣8，3] C．[﹣8，6] D．[3，+∞） 43．若正实数x、y满足，且恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|﹣2≤a≤8} B．{a|﹣9≤a≤1} C．{a|﹣1≤a≤9} D．{a|﹣8≤a≤2} 44．若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 　 　 ． 45．已知正实数x，y满足2x+3y＝xy，若2x+3y≥t恒成立，则实数t的范围是　 　 ． 46．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1且x+y≥k2﹣3k恒成立，则k的取值范围是　 　 ． 47．若正实数x，y满足2x+y＝xy，且2x+y＞a2+a恒成立，求实数a的取值范围． 48．已知x，y都是正数，且x+y＝1．且恒成立，求m的取值范围． 49．已知两个正实数x，y满足，并且x+2y≥m2﹣2m恒成立，求实数m的范围． 50．若两个正实数x，y，满足． （1）求的最小值，并说明此时x，y的值； （2）若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则实数m的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 《基本不等式经典题型》分类训练 （四大题型，共50小题） 题型一：由已知条件判断所给不等式是否正确 1．设a，b∈R，且a＜b＜0，则（　D　） A． B． C． D． 【解析】 对于A：因为a＜b＜0，所以，故A错误；对于B：因为a＜b＜0，所以a+b＜0，b﹣a＞0，ab＞0，所以0，即，故B错误；对于C：因为a＜b＜0，所以，，所以，故C错误；对于D：因为a＜b＜0，所以，所以，当且仅当即a＝b时，等号成立，又a＜b，所以，故D正确． 2．已知a＞0，b＞0，则（　A　） A．a+b≥2 B． C．a2+b2＞2ab D． 【解析】 a＞0，b＞0，则a+b≥2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；当a＝b时，B错误；当a＝b时，C错误；因为a+b，当且仅当a＝b时取等号，所以，D错误． 3．若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是（　A　） A．2ab B． C．a2+b2 D．a+b 【解析】 因为0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，所以，0＜ab＜1，所以，所以，所以，2ab＜a2+b2，所以a+b，，2ab，a2+b2中最小的一个是2ab． 4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　A　） A． B． C． D． 【解析】 设从甲地到乙地的距离为c，则小王从甲地到乙地往返的时间分别是和，所以全程的平均时速，，由0＜a＜b，则，即a＜v，故A正确；由0＜a＜b，则，可得，即，故B错误；由，则，，显然C、D错误． 5．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点O作AB的垂线交半圆于D，连接CD，则该图形可以完成的无字证明为（　D　） A． B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C． D． 【解析】 AC＝a，BC＝b，则，，，而CD≥OD（C，O重合时取等号），故（a＞0，b＞0）． 6．（多选）已知a＞0，b＞0，则下列不等式错误的是（　ABD　） A．a2+b2＞2ab B． C． D． 【解析】由题意，a＞0，b＞0，对于A：当a＝b时，a2+b2＝2ab，故A错误；对于B和D：，此时，，故B和D错误；对于选项C，a＞0，b＞0，由基本不等式可得，故C正确． 7．（多选）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则下列不等式恒成立的是（　BD　） A．ab≥1 B．a2+b2≥2 C． D． 【解析】 因为a＞0，b＞0，a+b＝2，又，则ab≤1，当且仅当a＝b＝1时取等号，故A错误；因为，当且仅当a＝b＝1时取等号，故B正确；令a＝b＝1，则不成立，故C错误；因为，当且仅当a＝b＝1时取等号，故D正确． 8．（多选）已知a＞0，b＞0，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（　ABD　） A． B． C． D． 【解析】 对于A：∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；对于B：∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当，即a＝b时等号成立，故B正确；对于C：∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b时等号成立，故C错误；对于D：∵a＞0，b＞0，∴（a2+b2）2﹣ab（a+b）2＝（a﹣b）（a3﹣b3）＝（a﹣b）2（a2+ab+b2）≥0，∴（a2+b2）2≥ab（a+b）2，∴，∴，故D正确． 9．设a，b∈R，则a2+b2+2≥2a+2b中等号成立的充要条件是 　 ．a＝1且b＝1 【解析】因为a2+b2+2﹣2a﹣2b＝（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，当a＝1，b＝1时取等号． 10．a＞0，b＞0，且a，b互不相等，，，；则它们大小关系是　　 ．（用”＜”号连接）． 【解析】 根据题意，由基本不等式可得，又由a，b互不相等，则有，而（）2﹣（）20，则有（）2＜（）2，即有，又由，则有，即，综合有 11．已知a，b∈R+，p，q，则p与q的大小关系是____________ ．q≥p 【解析】 ∵a，b∈R+；∴p，q∈R+；；∴； ∴q2≥p2；∴q≥p． 12．（1）已知a＞b＞2，m＞0，求证：． （2）已知a＞0，b＞0，ab＝4，求证：． 【解析】 （1）由a＞b＞2，可得a﹣2＞b﹣2＞0，从而有，又m＞0，可得； （2） 由a＞0，b＞0，得，当且仅当2a＝b，即，时取等号．所以． 题型二：运用基本不等式求最值 13．已知x＞0，y＞0，且x+y＝2，则的最小值为（　A　） A．3 B． C． D．2 【解析】 因为x+y＝2，则，当且仅当x＝y＝1时，取等号． 14．已知a≥0，则的最小值为（　A　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解析】 当a≥0时，由，当且仅当时取等号，即a＝0时取等号． 15．已知m＞n＞0，则的最小值为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 因为m＞n＞0，所以m+n＞0，m﹣n＞0，则 ，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 16．已知a＞0，b＞0，若a+b＝2，则的最小值为（　C　） A．2 B． C． D． 【解析】 因为a＞0，b＞0，且a+b＝2，所以，当且仅当即、时等号成立．所以的最小值为． 17．已知正数a，b满足a+3b＝2，则的最小值为（　A　） A． B．9 C． D． 【解析】因为正数a，b满足a+3b＝2，将拆分为，又a+3b＝2，故，则，由基本不等式，，当且仅当且a+3b＝2时取等号，解得，，故的最小值为． 18．（多选）若a，b为正实数，a+b＝2，则（　BD　） A．ab的最小值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为9 D．a2+2b2的最小值为 【解析】 因为a，b为正实数，a+b＝2，所以ab1，当且仅当a＝b＝1时取等号，A错误； 2，当且仅当a＝b＝1时取等号，B正确；（）（a+b）（5）（5+2），当且仅当b＝2a，即a，b时取等号，C错误；因为a＝2﹣b＞0，所以0＜b＜2，a2+2b2＝（2﹣b）2+2b2＝3b2﹣4b+4，结合二次函数性质可知，当b时，上式取得最小值，D正确． 19．（多选）已知a＞0，b＞0，且a+4b＝2，则下列正确的有（　ACD　） A．ab的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为2 【解析】 对于A；因为a＞0，b＞0，a+4b＝2，所以，解得， 当且仅当a＝4b，即时取等号，则ab的最大值为，故A正确；对于B：因为，当且仅当，即时，取等号，所以最小值为，故B错误；对于C：因为，当且仅当，即，时取等号，故C正确；对于D：因为，由A可知ab最大值为，所以的最大值为4，所以的最大值为2，故D正确． 20．（多选）已知a，b为正实数，ab+a+2b＝14，则下列说法正确的是（　ABD　） A．a+b＜21 B．的最小值为﹣1 C．a+4b的最小值为12 D．的最小值为 【解析】 由ab+a+2b＝14，可得（a+2）（b+1）＝16，对于A：令x＝a+2，y＝b+1，则a＝x﹣2，b＝y﹣1且xy＝16，可得2＜x＜16．则，因为函数在（2，4]上单调递减，在[4，16）上单调递增，可得f（x）＜f（16）＝17，所以a+b＝x+y﹣3＜14，所以A正确；对于B；由（a+2）（b+1）＝16，可得，则，当且仅当a＝2时，取得最小值﹣1，所以B正确；对于C：由，当且仅当x＝4y时，即x＝8，y＝2时，即a＝6，b＝1时，等号成立，所以C不正确；对于D：由（a+2）（b+1）＝16，可得，当且仅当时，即a＝2，b＝3时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确． 21．已知0＜a＜2，则的最小值是　　 ． 【解析】 因为0＜a＜2，所以（）（a+2﹣a）（5），当且仅当，即a时取等号． 22．已知x，y均为非负数，且x+2y＝1，则的最小值为　　 ．2 【解析】 x，y均为非负数，且x+2y＝1，所以，由于，当且仅当，即x＝1，y＝0时取等号，所以，则的最小值为2． 23．（1）已知x＞3，求的最小值； （2）求的最大值． 【解析】 （1）因为x＞3，，当且仅当时，即x＝5时取等号，所以的最小值是7． （2）由题意知2x（4﹣x）≥0，解得0≤x≤4，所以，当且仅当x＝4﹣x，即x＝2时取得等号，所以的最大值是． 24．解答下列各题． （1）若x＞3，求的最小值． （2）若正数x，y满足9x+y＝xy， ①求xy的最小值． ②求2x+3y的最小值． 【解析】 （1）由题．当且仅当，即x＝5时取等号； （2）①由9x+y＝xy结合基本不等式可得：，又x，y为正数，则，当且仅当9x＝y，即x＝2，y＝18时取等号； ②由9x+y＝xy可得，则．当且仅当，又9x+y＝xy，即时取等号． 25．（1）若x＞0，y＞0，求证：； （2）若x＞0，y＞0，且x+8y＝2xy，求x+y的最小值． 【解析】 （1）证明：因为x＞0，y＞0，则， 所以． （2）因为x＞0，y＞0，x+8y＝2xy，所以，所以，当且仅当x＝2且x+8y＝2xy，即x＝4，y时，等号成立，所以x+y的最小值为． · 题型三：运用“1”的代换构造基本不等式 26．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，则的最小值为（　C　） A．2 B．3 C．4 D． 【解析】 因为x+2y＝1，x＞0，y＞0，所以， 当且仅当即x＝y时取等号，此时联立x+2y＝1可得．即的最小值为4． 27．已知正数a，b满足，则a+4b的最小值为（　D　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】 因为，a，b均为正数，所以a+4b，当且仅当，即时取等号，所以a+4b的最小值为9． 28．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值为（　B　） A．2 B． C．3 D． 【解析】 由正数x，y满足4x+y＝4，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为． 29．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为（　A　） A．9 B．6 C．4 D．3 【解析】 正数a，b满足，则，当且仅当且，即a＝3，b＝3，故a+2b取得最小值9． 30．（多选）设正实数x，y满足2x+y＝1，则（　ABC　） A．xy的最大值是 B．的最小值为9 C．4x2+y2的最小值为 D．的最大值为2 【解析】 对于A：正实数x，y满足2x+y＝1，xy•2xy•（）2，当且仅当2x＝y，即x，y时取等号，故A正确；对于B：（）（2x+y）＝55+4＝9，当且仅当，即x＝y时取等号，故B正确；对于C：4x2+y2，当且仅当2x＝y，即x，y时取等号；故C正确；对于D：（）2＝2x+y+21+1＝2，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故D错误． 31．（多选）设正实数a，b满足a+b＝1，则（　ABD　） A．有最小值4 B．ab有最大值 C．有最小值 D． 【解析】 正实数a，b满足a+b＝1，对于A：，当且仅当时取等号，故A正确；对于B：，解得，当且仅当时取等号，故B正确；对于C：，当且仅当时取等号，故C错误； 对于D，，当且仅当，即时取等号，故D正确． 32．（多选）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，则下列说法中正确的是（　ABD　） A．xy有最大值为 B．有最小值为9 C．x2+2y2有最小值为 D．有最小值为3 【解析】 由x＞0，y＞0，且x+y＝1，则，当且仅当 时取等号，故A正确；，当且仅当 且x+y＝1，即 时取等号，故B正确；由x＞0，y＞0，且x+y＝1，可知0＜x＜1，故x2+2y2＝x2+2（1﹣x）2＝3x2﹣4x+2，根据二次函数的性质可知，当x时，x2+2y2＝3x2﹣4x+2取得最小值为，故C错误；，当且仅当，且x+y＝1，即时取等号，D正确， 33．（多选）已知实数x，y满足x＞2y＞0，且x+y＝1，则的值可以为（　BCD　） A． B．8 C． D．10 【解析】 令m＝2x+5y，n＝x﹣2y，由x＞2y＞0，且x+y＝1，得m＞0，n＞0，且m+n＝3x+3y＝3， 则，当且仅当m＝3n，即n，m时等号成立，由，解得x，y，此时，由，故A错误；故BCD正确． 34．若m＞0，n＞0，且2m+n﹣1＝0，则的最小值为　　 ．6 【解析】 由2m+n﹣1＝0，得到2m+n＝1，所以，当且仅当，即时取等号． 35．若正数x，y满足4x+y＝4，则的最小值等于　　 ． 【解析】 ∵x＞0，y＞0，4x+y＝4，∴，（当且仅当，即，时取等号），则的最小值等于． 36．若正数a，b满足4a+b＝9，则的最小值为 　　 ． 【解析】 正数a，b满足4a+b＝9，则，当且仅当，即时取等号． 37．已知正数x，y满足2xy3+y2＝4x2，则的最小值为　　 ．2 【解析】 因为2xy3+y2＝4x2，两边同除xy2可得，所以，当且仅当即时取等号，所以的最小值为2． 38．求下列函数的最值． （1）已知x＞2，求的最小值； （2）已知：x＞0，y＞0，且2x+y＝1，求的最小值． 【解析】 （1）因为，又，当且仅当x＝3时取等号，所以最小值为4； （2）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝1，又，当且仅当时取等号，又2x+y＝1，即，，所以最小值为． 题型四：基本不等式中的恒成立问题 39．正数x、y满足，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　D　） A．m≤﹣2或m≥4 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2 【解析】 ∵正数x、y满足，∴x+2y＝（x+2y）48，当且仅当，即x＝2y＝4时取等号．∵x+2y＞m2+2m恒成立，∴m2+2m＜8，解得﹣4＜m＜2．故实数m的取值范围是﹣4＜m＜2． 40．已知x＞0，y＞0，，若不等式x+3y＞m2+m恒成立，则实数m的取值范围是（　B　） A．{x|x＜﹣4或x＞3} B．{x|﹣4＜x＜3} C．{x|﹣3＜x＜4} D．{x|x＜﹣3或x＞4} 【解析】 因为x＞0，y＞0，，所以，当且仅当，即x＝6，y＝2时取等号，故（x+3y）min＝12，所以，要使x+3y＞m2+m恒成立，则，所以m2+m＜12，即m2+m﹣12＜0，解得﹣4＜m＜3，则实数m的取值范围是{m|﹣4＜m＜3}． 41．已知x＞0，y＞0，且x+y+xy＝3，若不等式x+y≥m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围为（　B　） A．﹣2≤m≤1 B．﹣1≤m≤2 C．m≤﹣2或m≥1 D．m≤﹣1或m≥2 【解析】 x＞0，y＞0，且x+y+xy＝3，∴3﹣（x+y）＝xy，当且仅当x＝y＝1时等号成立， 解得x+y≥2，即（x+y）min＝2．∵不等式x+y≥m2﹣m恒成立，∴m2﹣m≤（x+y）min，∴m2﹣m≤2，解得﹣1≤m≤2． 42．正数a，b满足，，若不等式a+b≥﹣x2+6x+10﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　A　） A．[10，+∞） B．[﹣8，3] C．[﹣8，6] D．[3，+∞） 【解析】 因正数a，b满足，故 由基本不等式，，因此a+b≥5+4＝9，当且仅当且时取等号，解得a＝3，b＝6．不等式a+b≥﹣x2+6x+10﹣m对任意实数x恒成立，等价于9≥﹣x2+6x+10﹣m对任意x恒成立，整理得m≥﹣x2+6x+1．将﹣x2+6x+1配方为﹣（x﹣3）2+10，其最大值为10（当x＝3时取得），故m≥10． 43．若正实数x、y满足，且恒成立，则实数a的取值范围是（　C　） A．{a|﹣2≤a≤8} B．{a|﹣9≤a≤1} C．{a|﹣1≤a≤9} D．{a|﹣8≤a≤2} 【解析】 正实数x、y满足，所以4x（4x）（）＝55+29， 当且仅当时，即y＝10x，即时，等号成立，即的最小值为9，而恒成立，所以，即9≥a2﹣8a，解得﹣1≤a≤9，所以实数a的取值范围是{a|﹣1≤a≤9}． 44．若两个正实数x，y满足x+y＝3，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为 ___　　 ．{m|m≤9} 【解析】 由两个正实数x，y满足x+y＝3，因此，当且仅当，即时取等号，所以m≤9． 45．已知正实数x，y满足2x+3y＝xy，若2x+3y≥t恒成立，则实数t的范围是　　 ．{t|t≤24} 【解析】 正实数x，y满足2x+3y＝xy，即1，所以2x+3y＝（2x+3y）（）＝1212+224，当且仅当2x＝3y，即y＝4，x＝6时取等号，若2x+3y≥t恒成立，则实数t≤24． 46．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1且x+y≥k2﹣3k恒成立，则k的取值范围是　　 ．[1，2] 【解析】 因为x2+y2﹣xy＝（x+y）2﹣3xy＝1，得，当且仅当x＝y时等号成立，所以，即，解得﹣2≤x+y≤2，要使x+y≥k2﹣3k恒成立，即﹣2≥k2﹣3k成立，解得k∈[1，2]． 47．若正实数x，y满足2x+y＝xy，且2x+y＞a2+a恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】 正实数x，y满足2x+y＝xy，则，故； 由基本不等式（当且仅当，即y＝2x时取等号），故2x+y≥4+4＝8；因为2x+y＞a2+a恒成立，所以a2+a＜（2x+y）min＝8，即a2+a﹣8＜0，解得，故a的取值范围为{a|}． 48．已知x，y都是正数，且x+y＝1．且恒成立，求m的取值范围． 【解析】 正数x，y，且x+y＝1，则，当且仅当时取得最小值为3+2，又因为恒成立，只需m，则，所以m的取值范围为（]． 49．已知两个正实数x，y满足，并且x+2y≥m2﹣2m恒成立，求实数m的范围． 【解析】 ∵x+2y≥m2﹣2m恒成立，∴，，当且仅当x＝2y，即x＝4，y＝2时等号成立，解m2﹣2m≤8得﹣2≤m≤4，∴实数m的范围是[﹣2，4]． 50．若两个正实数x，y，满足． （1）求的最小值，并说明此时x，y的值； （2）若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则实数m的取值范围． 【解析】 两个正实数x，y，满足． （1）由题意可得xy＝x+y，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以2，即的最小值为2，此时x＝2，y＝2； （2）因为4x+y＝（4x+y）（）＝59，当且仅当y＝2x，即x，y＝3时取等号，若不等式4x+y≥m2﹣2m+1恒成立，则9≥m2﹣2m+1，解得﹣2≤m≤4，故实数m的取值范围为[﹣2，4]． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/10 10:20:37；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $