精品解析：黑龙江省大庆市让胡路区大庆第一中学2025-2026学年下学期七年级期末考试数学试卷

2025—2026学年初一年级下学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 黑龙江省大庆油田产出的天然气主要成分为甲烷，一个甲烷分子直径约为m．用科学记数法表示的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值小于1的正数的科学记数法的表示规则即可求解，绝对值小于的数的科学记数法形式为，其中，等于原数小数点移动到第一个非零数字后时，小数点移动的位数． 【详解】解：∵ 将的小数点移动到第一个非零数字的后面， 得到，满足，小数点共向右移动了位， ∴ ， 即． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方、同底数幂的乘除法、合并同类项的法则进行计算，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵，∴ A错误； 选项B：∵，∴ B错误； 选项C：∵与不是同类项，不能合并同类项，∴ C错误， 选项D：∵，∴ D正确． 3. 若，，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式分解所求多项式，直接代入已知条件计算，无需分别求解，的值，简化运算过程． 【详解】解：由平方差公式可得，， ，， 代入得． 4. 如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 5. 如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 6. 清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用读书人携带的总钱数不变作为等量关系，分别用两种购买情况表示总钱数，即可列出方程． 【详解】解：每个瓜售价为文，读书人携带的总钱数固定，则总钱数可表示为文，总钱数可表示为文， ∵总钱数相等， ∴可列方程． 7. 如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向可以描述为（ ） A. 北偏西 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 北偏西 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方向角，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解决本题的关键． 根据题意可得：，，从而利用角的和差关系可得，然后根据角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系可得，再根据方向角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 解：∵为北偏东， ∴， ∵为南偏西， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴的方向为北偏西． 故选：B． 8. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为；②；③若，则OC是的平分线；④各边都相等的多边形叫做正多边形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据钟表角度计算、度分秒换算、角平分线定义、正多边形定义，需逐个判断每个说法的正误，统计正确个数即可． 【详解】解：① 钟表一圈为，时针每小时走，分针每分钟走， ∵11时20分时，时针总角度为，分针总角度为， ∴较小夹角为，①正确； ②∵， ∴，即，②错误； ③若在外部，即使满足，也不是的平分线，③错误； ④正多边形的定义是各边相等且各内角相等，仅各边相等不能判定为正多边形，如菱形各边相等但不是正四边形，④错误． 综上，正确的说法只有1个． 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过移项配方将已知等式转化为两个平方和的形式，利用平方的非负性求出和的值，再计算即可． 【详解】解： 移项，得 对等式左侧配方，得 ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数均为， ∴，， 解得，， ∴． 10. 对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式的“积差操作”，需要列出所有可能的操作组合，计算结果，并判断各说法的正确性． 【详解】解：； ； ； ； ； 结果中，有不同结果有5种：0、、、、． 说法：存在结果为0的操作，0总是3的倍数，正确． 说法：存在结果为0的操作，错误． 说法：有5种不同结果，正确． 正确个数为2． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 若无意义，则x应满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂无意义的条件是底数，求解即可． 【详解】解∶∵无意义， ∴， 即． 12. 过六边形的一个顶点的所有对角线，可将这个六边形分成_________个三角形． 【答案】4 【解析】 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形，依此作答． 【详解】解：过六边形的一个顶点的所有对角线可将六边形分成6-2=4个三角形． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为n-2． 13. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度． 【答案】70 【解析】 【分析】根据图中的角的等量关系即可求出答案． 【详解】解： ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴∠AOC=∠CEA，∠BED=∠BOD， ∵∠CEA=∠BED， ∴∠AOC=∠BOD， ∵∠AOD=110°， ∴∠AOC+∠COD=110°， ∴∠AOC=20°， ∴∠BOC=90°-∠AOC=70°, 故答案为：70°． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质，本题属于基础题型． 14. 已知：，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为： ． 15. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 17. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据杨辉三角的系数规律推导出时的各项系数，结合多项式展开式的特征，确定含项的系数，即可求解． 【详解】解：根据杨辉三角的规律，每一行的首尾数字均为，中间的每个数字等于它上方两数之和． 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 第行的“杨辉三角”数为：， 展开式为， 则展开式为， 含项的系数是． 18. 如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，，  ，  当射线在内部时，则，  ，  ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则，  平分，  ，  ； ②当射线在直线下方时，如图， 则，  平分，  ，  ；  当射线在外部时，则， ，  ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则，  平分，  ，  ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则，  平分，  ，  ；  综上所述，的度数为或或或． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可求解． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 20. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】首先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再去括号、合并同类项，然后将，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 22. 小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： （1）若，则______，______； （2）已知，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用多项式乘多项式法则展开等式左侧，对比对应项系数得到的值； （2）先展开等式左侧得到与的值，再展开所求式子，整体代入计算得到结果． 【小问1详解】 解：展开等式左侧得：， ∵，对应项系数相等， ∴； 【小问2详解】 展开等式左侧，得， ∵，对应项系数相等， ∴， ∴ ． 23. 为弘扬中华优秀传统，传承“非遗”文化，某校准备开设剪纸、书法、珠算、太极拳4门课外活动课程，每名学生只能在这4门课外活动课程中选择1门．学校随机抽取部分学生，对其进行了“我意愿参加的活动课程”问卷调查，将这部分学生的问卷进行整理，绘制如图所示的统计图．请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共随机抽取了______名学生； （2）在扇形统计图中，“剪纸”类所对应的扇形圆心角度数为______度； （3）请直接补全条形统计图； （4）若该校共有1200名学生，根据抽样调查结果，请你估计全校学生中“意愿参加珠算”的学生有多少名． 【答案】（1）120 （2）108 （3） （4）补全统计图如下： （5） （6）180名 【解析】 【分析】（1）根据意愿参加剪纸课程的学生的人数及其所占的百分比可得答案； （2）“剪纸”类所占的百分比乘以可得答案； （3）先求出意愿参加书法课程的人数，再补全统计图即可； （4）用总人数乘以意愿参加“珠算”的学生人数所占的百分比即可解． 【小问1详解】 解： ， 所以本次调查抽取了120人； 【小问2详解】 解： ， 所以“剪纸”类所对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：，统计图略； 【小问4详解】 解：， 所以全校学生中“意愿参加珠算”的学生有180名． 24. 若的积中不含x与项， （1）求______，______； （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2）12 【解析】 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴ ． 25. 如图，已知A、O、B三点共线，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义得，即可得出，然后求出，最后根据得出答案； （2）先根据角平分线定义得，再设，则，然后根据列出方程，求出解即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴． ∵， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 26. 某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． （1）求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ （2）若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ （3）由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 【答案】（1）首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克. （2）共获利3300元. （3）糯米糍荔枝是按原价打八五折销售 【解析】 【分析】（1）设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）首先计算妃子笑和糯米糍每千克利润，然后进一步求解即可； （3）设糯米糍荔枝按原价打y折销售，结合题意可知第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为千克，且第二次总利润为元，然后根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设首次购进糯米糍荔枝x千克，则购进妃子笑荔枝千克， 根据题意列方程得：， 整理得：，解得（千克）， ∴（千克）， 答：首次购进妃子笑荔枝140千克，糯米糍荔枝60千克； 【小问2详解】 妃子笑每千克利润为（元），糯米糍每千克利润为（元）， 则总利润为：（元）， 答：共获利3300元； 【小问3详解】 设糯米糍荔枝按原价打y折销售， 第二次妃子笑数量为140千克，糯米糍数量为（千克）， 第二次总利润为（元）， 根据题意列方程得：， 解得， 答：糯米糍荔枝是打八五折销售． 27. 如图1，两个边长分别为a和b的正方形如图方式放置，阴影部分的面积为；若图1中的一个边长为b的小正方形摆放在大正方形的左下角，使两个正方形相邻的两边夹角为(如图2），阴影部分的面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示______，______； （2）若，，求的值； （3）如图3，已知在长方形中，，点A在线段上，射线上有一点R，当，且，分别以两边作正方形和正方形．如果长方形的面积为10，则图中正方形和正方形的面积和为______． 【答案】（1） （2）142 （3）304或44 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积可解答，再构造大正方形，并用大正方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （2）先解方程组求出解，再将数值代入计算即可； （3）设正方形的边长是x，正方形的边长是y，再分两种情况：当点R在线段上时，根据题意得，然后根据完全平方公式求出解；当点R在射线上时，根据题意得，仿照上述求出解． 【小问1详解】 解：； 如图构造新的正方形，且边长为，则； 【小问2详解】 解： 根据题意，得， ，得，解得； 将代入①，得， ． ∴原式； 【小问3详解】 解：设正方形的边长是x，正方形的边长是y， 当点R在线段上时，根据题意，得， 整理，得， ∴； 当点R在射线上时，根据题意，得， 整理，得， ∴， 所以正方形和正方形的面积和为304或44． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年初一年级下学期期末考试数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分） 1. 黑龙江省大庆油田产出的天然气主要成分为甲烷，一个甲烷分子直径约为m．用科学记数法表示的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，，则的值为（ ） A. B. 12 C. D. 7 4. 如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 清代宫廷档案中有这样一个问题：“士人携钱入市购贡瓜．若购四瓜，则余钱四百八十文；若购六瓜，则不足三百二十文．瓜价恒定，问一瓜值几何？”意思是：有一位读书人带钱去集市购买贡瓜．如果买4个瓜，身上还剩余480文钱；如果买6个瓜，身上还差320文钱，每个瓜的单价不变，请问一个瓜价值多少文？设每个瓜售价为x文，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向可以描述为（ ） A. 北偏西 B. 北偏西 C. 南偏西 D. 北偏西 8. 下列说法中，正确的个数有（ ） ①钟表盘上指示的时间是11时20分，此刻时针与分针之间的夹角为；②；③若，则OC是的平分线；④各边都相等的多边形叫做正多边形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于多项式：用任意两个多项式的积，再与剩余两个多项式的积作差，称之为“积差操作”，例如：下列说法： ①存在一种“积差操作”使得操作后的结果，无论x取何值，都能被3整除； ②不存在任何“积差操作”，使其结果为0； ③所有“积差操作”共有5种不同结果． 其中正确的个数是（    ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 11. 若无意义，则x应满足的条件是______． 12. 过六边形的一个顶点的所有对角线，可将这个六边形分成_________个三角形． 13. 将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD＝110°，则∠COB＝_____度． 14. 已知：，，则________． 15. 若，则______． 16. 已知代数式是一个完全平方式，则实数的值为______． 17. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了 (为正整数）的展开式的如图所示系数规律（按的次数由大到小的顺序），请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 18. 如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 三、解答题（本大题共9小题，共66分） 19. 解方程：． 20. 计算： （1）； （2）； （3）． 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 小明学习完《多项式乘多项式》的知识后，通过习题巩固知识，请你帮小明解决下列问题： （1）若，则______，______； （2）已知，求的值． 23. 为弘扬中华优秀传统，传承“非遗”文化，某校准备开设剪纸、书法、珠算、太极拳4门课外活动课程，每名学生只能在这4门课外活动课程中选择1门．学校随机抽取部分学生，对其进行了“我意愿参加的活动课程”问卷调查，将这部分学生的问卷进行整理，绘制如图所示的统计图．请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次共随机抽取了______名学生； （2）在扇形统计图中，“剪纸”类所对应的扇形圆心角度数为______度； （3）请直接补全条形统计图； （4）若该校共有1200名学生，根据抽样调查结果，请你估计全校学生中“意愿参加珠算”的学生有多少名． 24. 若的积中不含x与项， （1）求______，______； （2）求代数式的值． 25. 如图，已知A、O、B三点共线，平分，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 26. 某水果店主营两款应季荔枝：妃子笑和糯米糍．已知妃子笑荔枝进价每千克25元，糯米糍荔枝每千克进价30元，老板首次采购共花费5300元，采购妃子笑荔枝的千克数比糯米糍荔枝的千克数的2倍还多20千克． （1）求首次购进妃子笑荔枝和糯米糍荔枝各多少千克？ （2）若妃子笑荔枝每千克售价40元，糯米糍荔枝每千克售价50元，当首次荔枝货品全部售完后，共获利多少元？ （3）由于糯米糍荔枝畅销，第二次采购时，妃子笑荔枝数量保持不变，糯米糍荔枝采购数量是第一次的4倍．根据（2）中的条件，妃子笑荔枝售价不变，糯米糍荔枝售价在此基础上计划打折出售，第二次总利润比首次总利润多1800元，求糯米糍荔枝是打几折销售？ 27. 如图1，两个边长分别为a和b的正方形如图方式放置，阴影部分的面积为；若图1中的一个边长为b的小正方形摆放在大正方形的左下角，使两个正方形相邻的两边夹角为(如图2），阴影部分的面积为． （1）用含a、b的代数式分别表示______，______； （2）若，，求的值； （3）如图3，已知在长方形中，，点A在线段上，射线上有一点R，当，且，分别以两边作正方形和正方形．如果长方形的面积为10，则图中正方形和正方形的面积和为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $